Диф исчисление

1. Дифференциальное исчисление

2. Производная функции

3.

Пусть задана функция y f ( x ) , определенная на
некотором промежутке. При каждом значении
аргумента х из этого промежутка функция принимает
определенное значение.
Пусть аргумент х получил некоторое приращение,
тогда функция также получит некоторое приращение.
x
y f ( x)
x x
y y f ( x x)

4.

Тогда приращение функции выразится формулой:
y f x x f ( x)
Рассмотрим отношение вида:
y f ( x x) f ( x)
x
x
Определение: Производной функции y f x по
аргументу х называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента,
когда последнее произвольным образом стремится к
нулю:
f x x f x
y
y lim
lim
.
x 0 x
x 0
x

5.

Обозначения производной:
dy
y , f x , f x0 , y x0 ,
dx
Для каждого значения х производная функции
имеет определенное значение, то есть производная
также является функцией от аргумента х.
Операция вычисления производной называется
дифференцированием функции.

6.

Пример: В произвольной точке х вычислить
2
производную функции y x .
Решение:
Определим приращение функции y , для этого
аргументу х придадим некоторое приращение:
õ
x x
y x
2
y y ( x x)2

7.

Тогда приращение функции:
y x x x 2 х х х х х х x(2 х x).
2
Найдем производную функции:
y
x(2 x x)
y lim
lim
lim 2 x x 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
Следовательно, по определению ( x 2 ) 2 x.

8.

Геометрический смысл производной: значение
производной f x0 в точке х0 равняется тангенсу
угла наклона касательной, проведенной к графику
функции y=f(x) в точке М0(х0; у0):
tg f x0
или k f x0 .
Механический смысл производной: производная от
пути по времени есть скорость движения в данный
момент времени.
S
S (t1 t ) S (t1 )
vì ãí lim
lim
.
t 0 t
t 0
t

9.

Пример:
Найти
уравнения
касательных
проведенных к графику функции y x 2 в точках:
1 1
M 1 ; и M 2 1;1 .
2 4
Решение:
Запишем уравнение
касательной в общем виде:
y y0 f ( x0 )( x x0 )

10.

y x 2 , y 2 x.
Тогда уравнение касательной в точке
1
1
y 2 1
2
2
1 1
M1 ; :
2 4
1
1
y 1 x èëè 4 x 4 y 1 0.
4
2
Уравнение касательной в точке
M 2 1;1 :
y ( 1) 2( 1) 2.
y 1 2 x 1 èëè 2 x y 1 0.

11. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция y f u , где
u x , то есть функция вида y f x .
Теорема: Если функция u x имеет в точке х
производную u x x , а функция y f u имеет
при соответствующем значении u производную
yu f u , то сложная функция y f x в точке
х также имеет производную, которая определяется
по формуле:
y x fu u x x .

12. Таблица производных основных функций

1. C 0, C const
2.
3.
n
u
n u n 1 u
u
u
a
a
ln a u
4. log a u
5.
6.
1
u
2
cos u
8. ctg u 1 u
sin 2 u
9. (arctg u ) 1 u
1 u2
10. arcctg u 1 u
1 u2
sin u cos u u
11. arcsin u
cos u sin u u
12. arccos u
1
u
u ln a
7. tg u
1
1 u
2
u
1
1 u
2
u

13.

При вычислении производных достаточно часто
встречаются производные следующих функций,
которые следует запомнить:
x 1
1
1
1
u
u
2 u
2 u
u
u
e e u
u
u
1
ln u u
u

14.

2
5
y
(3
x
1)
.
Пример. Вычислить производную
Решение:
Данная функция является степенной функцией
y 5(3x 2 1)4 (3x 2 1) 5(3x 2 1) 4 (6 x 0)
30 x(3x 2 1) 4 .
Пример. Вычислить производную y sin(ln 3 x).
Решение:
Данная функция является тригонометрической
функцией
y cos(ln 3 x) (ln 3 x) cos(ln 3 x) 3ln 2 x (ln x)
1
3
2
cos(ln x) 3ln x .
x

15. Основные правила дифференцирования

1.Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
C u C u , C const.
2. Производная суммы функций равна сумме
производных функций: (u v) u v .
3. Производная произведения двух функций
определяется по формуле: (uv) u v v u.
4.
Производная
частного
двух
функций
определяется по формуле: u u v v u
.
2
v
v

16.

Пример. Вычислить производную y tgx.
Решение:
Воспользуемся формулой производной частного
двух функций:
(sin
x
)
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
y tgx
2
cos x
cos x
cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x sin 2 x
1
.
2
2
2
cos x
cos x
cos x

17.

Пример: Вычислить производную
y x 3 1 arctg 2 x ln 2.
Решение:
Воспользуемся
формулами
производной
произведения и суммы двух функций:
3
y x 1 arctg 2 x x 3 1 arctg 2 x ln 2
1
2 x3 1
3
x 1 arctg 2 x x 1
3
3x 2 arctg 2 x
2 x3 1
2 x3 1
.
2
1 4x
1
2
x
1 (2 x) 2

18. Производная неявной функции

Пусть функция задана уравнением F ( x; y ) 0.
При вычислении производной функции, заданной в
неявном виде, необходимо продифференцировать обе
части уравнения по аргументу х, считая, что у есть
функция от х.

19.

Пример: Вычислить производную y 6 y x 2 0.
Решение:
Продифференцируем обе части уравнения по х:
6 y 5 y y 2 x 0.
Сгруппируем слагаемые, содержащие y , получим
2x
y 6 y 1 2 x y 5 .
6 y 1
5
Замечание: Для вычисления производной неявной
функции при данном значении аргумента х нужно
знать и значение функции у при данном значении
аргумента х.

20.

При вычислении производной логарифмической
функции иногда возможно функцию сначала
упростить, используя свойства логарифмов:
1. log a a 1;
2. log a 1 0;
3. log a b n n log a b;
4. log a b c log a b log a c;
b
5. log a log a b log a c.
c

21.

2
1
5
x
Пример: Вычислить производную y ln 5 5 .
2x 3
Решение:
Преобразуем данную функцию:
1
5
2
2
2
1
5
x
1
5
x
1
1
5
x
5
y ln
ln 5
ln 5
5
2x 3
5 2x 3
2x 3
1
ln(1 5 x 2 ) ln(2 x5 3) .
5
Тогда
1 1
1
2
5
y
(1 5 x ) 5
(2 x 3)
2
5 1 5 x
2x 3
1
1 10 x
10 x 4
x3
5
2 x
5
.
2
2
5 1 5 x 2 x 3
1 5 x 2 x 3

22. Логарифмическое дифференцирование

Определение: Сложной показательной функцией
называется функция, у которой и основание и
показатель степени являются функциями аргумента
v( x)
х: y u ( x) .
Для
вычисления
производной
сложной
показательной функции прологарифмируем функцию
ln y ln u ( x)v ( x ) v( x) ln u ( x)
Дифференцируем полученное равенство по х,
считая у(х): 1
1
y v ln u v u .
y
u

23.

Домножим на у левую и правую часть выражения:
1
y y v ln u v u .
u
Подставим вместо у выражение y u v , получим:
1
v
y u v ln u v u .
u
Прием вычисления производной при котором
функцию сначала логарифмируют, а затем
дифференцируют называется логарифмическим
дифференцированием.

24.

x
Пример: Вычислить производную y x 4 .
3
Решение:
Прологарифмируем данную функцию:
ln y ln x 4 x ln x 4 .
x
3
3
Продифференцируем левую и правую часть
полученного выражения:
1
1
3
3
y ln x 4 x 3
x 4 ;
y
x 4
2
3x
3
y y ln x 4 x 3
;
x 4
3
x
3
x
3
3
Тогда
y x 4 ln x 4 3
.
x 4

25. Производная обратной функции

y f ( x ) , которая
Пусть задана функция
определена, непрерывна и монотонна на промежутке
Х. Функция
является для нее обратной.
x ( y)
Теорема: Если функция y f ( x )
имеет в точке
х0 производную f ( x0 ) 0 , то обратная функция
x ( y ) также имеет в соответствующей точке
y0 f ( x0 ) производную, которая определяется по
формуле:
1
( y0 )
.
f ( x0 )

26.

Например, вычислим производную функции
y arcsin x.
Функция
y arcsin x является обратной для
функции x sin y.
Так как x ( y ) sin y cos y, то по теореме о
производной обратной функции получим:
1
1
1
1
y ( x)
.
x ( y ) cos y
1 sin 2 y
1 x2
Таким образом,
arcsin x
1
1 x
2
.

27. Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими
уравнениями: x (t ), y (t ), t1 t t2 .
Предположим,
что
эти
функции
имеют
производные и функция x (t ) имеет обратную
функцию t Ô ( x ), которая также имеет производную.
Тогда y (t ) можно рассматривать как сложную
функцию: y Ô ( x) , где t Ô ( x).

28.

По правилу дифференцирования сложной функции
y x yt t x t t Ô x x .
На основании теоремы о дифференцировании
обратной функции следует, что Ô ( x) 1 , тогда
x
t (t )
yt
t t
y x .
y x
или
xt
t t
Полученная формула дает возможность вычислять
производную y x функции, заданной параметрически,
не находя выражения непосредственной зависимости
у от х.

29.

Пример: Вычислить производную функции,
заданной параметрически: x a(t sin t );
y a(1 cos t ).
Решение:
y
t
На основании формулы y x . вычислим:
xt
yt a(1 cos t ) a sin t
x a(t sin t ) a(1 cos t )
t
t
t
t
2sin cos
cos
a sin t
sin t
t
2
2
2
y x
ctg .
t
a (1 cos t ) 2sin 2 t
2
2 t
2sin
sin
2
2
2

30. Дифференциал функции

31.

Пусть функция y f ( x ) дифференцируема на
отрезке [a; b]. Производная этой функции в точке х
определяется равенством: lim y f ( x).
x 0 x
y
f ( x) ( x) , где ( x ) бесконечно
Тогда
x
малая величина при x 0.
Откуда приращение функции принимает вид:
y f ( x) x ( x) x.
f ( x) x – главная часть приращения,
( x) x – бесконечно малая величина более
высокого порядка.

32.

Определение: Дифференциалом функции y f ( x )
называется произведение производной функции на
приращение аргумента: dy f ( x) x.
Рассмотрим функцию y x , тогда дифференциал
этой функции, с одной стороны равен dy dx , а с
другой стороны, по определению: dy ( x) x x.
Следовательно, приращение аргумента равняется
дифференциалу аргумента: x dx.

33.

Тогда, согласно определению, дифференциал
функции равен произведению производной функции
на дифференциал аргумента:
dy f ( x) dx.
Пример: Найти дифференциал функции y tgx.
Решение:
dx
dy tgx dx
.
2
cos x

34.

Так как y f ( x) x ( x) x, а ( x) x –
бесконечно малая величина более высокого порядка,
то ею при вычислениях можно пренебречь, откуда
получаем, что y f ( x) x или y dy.
Так как y f ( x x) f ( x) , то
f ( x x) f ( x) f ( x) x.
f ( x x) f ( x) x f ( x) – формула приближенных
вычислений.

35.

Пример: Вычислить 4 15,8.
Решение:
4
Имеем f ( x) x .
Введем обозначения x x 15,8, , õ 16 , тогда
x 15,8 x 15,8 16 0,2, f (16) 4 16 2.
1
f ( x) x
4
3
4
1
,
1
1
f (16)
.
3
4
32
4 16
4 4 x3
Исходя из формулы приближенных вычислений
имеем:
4
1
15,8 f (16) x f (16) ( 0,2) 2 1,99375.
32

36. Производные и дифференциалы высших порядков

37. Производные высших порядков

Пусть функция y f ( x )
дифференцируема на
некотором отрезке [a; b]. Значения производной этой
функции f ( x) зависят от х, то есть производная
представляет собой функцию аргумента х.
Дифференцируя эту функцию, получаем так
называемую вторую производную от функции f ( x ).
Определение: Производной второго порядка
(второй производной) функции y f ( x ) называется
производная от её производной: y y .
Вторая производная обозначается y , f x .

38.

Производная от второй производной называется
производной третьего порядка или третьей
производной и обозначается: y или f x .
Производные четвертого, пятого и высших
порядков обозначают при помощи римских цифр
или в круглых скобках: y IV , yV , yVI или y 4 , y 5 , y 6 .
Определение: Производной n-го порядка от
функции y f ( x )
называется производная от
производной (n–1)-го порядка:
y
n
y
n 1
.

39.

5
y
x
Пример: Для функции
найти y , y , y ,
Решение:
y 5 x 4 ,
y 20 x3 ,
y 60 x 2 ,
y (4) 120 x,
y (5) 120,
y (6) 0,
y (7) y (8)
0.
kx
y
e
, (k const )
Пример: Для функции
выражение ее производной любого порядка.
Решение:
y ekx ,
y k ekx ,
Следовательно,
y k 2 ekx ,
y ( n ) k n ekx .
найти
y k 3 e kx ,

40.

x (t );
Если функция задана параметрически:
,
y (t ).
то ее производные вычисляются по формулам:
y
y
yt
x t
xx t
, y xx
, y xxx
и так далее.
y x
xt
xt
xt
Производную второго порядка можно вычислить
по формуле:
ytt xt xtt yt
y xx
.
2
xt

41. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция y f ( x ) , где х – независимая
переменная. Дифференциал этой функции dy f ( x)dx
есть функция аргумента х, но от х может зависеть
только первый сомножитель, второй – является
приращением независимой переменной х (dx x) и
от значения этой переменной не зависит.
Определение: Дифференциал от дифференциала
функции называется вторым дифференциалом или
дифференциалом второго порядка этой функции:
d (dy ) d 2 y.

42.

В силу определения дифференциала функции:
d 2 y d (dy ) f ( x)dx dx f ( x)dx 2 .
Дифференциал от дифференциала второго
порядка называется третьим дифференциалом этой
функции: d (d 2 y ) d 3 y.
3
2
2
d y d (d y ) f ( x)dx dx f ( x )dx 3 .
Определение: Дифференциалом n-го порядка
называется дифференциал от дифференциала (n–1)
порядка:
n
n 1
( n 1)
n 1
d y d (d y ) f
( x)dx dx f ( n ) ( x)dx n .

43.

Пользуясь дифференциалами различных порядков,
производную любого порядка можно представить как
отношение
дифференциалов
соответствующих
порядков:
n
dy
d2y
d3y
d
y
(n)
f ( x) , f ( x) 2 , f ( x) 3 , , f ( x) n .
dx
dx
dx
dx
Пример: Вычислить d 3 y функции y x 4 3x 2 4.
Решение:
y 4 x 3 6 x,
y 12 x 2 6,
d 3 y f ( x)dx3 24 x dx 3.
y 24 x.

44. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции

45. Промежутки монотонности функции

f ( x) дифференцируема
Теорема: Если функция
на интервале (а; b) и f ( x) 0 f ( x) 0 на (а; b),
то функция f ( x) не убывает (не возрастает) на (а; b).
Замечание:
Если
производная
функции
положительна f ( x) 0
на интервале (а; b), то
функция возрастает на этом интервале, если
производная отрицательна f ( x) 0 на (а; b), то
функция убывает на этом интервале.
Интервалы возрастания и убывания функции
называют промежутками монотонности функции.

46.

Определение: Точка х0 называется точкой строгого
локального максимума функции f ( x) , если для всех
х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется
неравенство: f ( x) f ( x0 ).
Определение: Точка х0 называется точкой строгого
локального минимума функции f ( x) , если для всех
х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется
неравенство: f ( x) f ( x0 ).

47.

Локальный максимум и локальный минимум
функции объединяются общим названием –
локальный экстремум.
Понятие экстремума носит локальный характер в
том смысле, что неравенство
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
может и не выполняться для всех значений х из
области
определения
функции,
а
должно
выполняться лишь в некоторой δ-окрестности
точки х0.

48.

Функция может иметь несколько локальных
максимумов и несколько локальных минимумов,
причем локальный максимум может быть меньше
локального минимума.
Точка x x1 – точка максимума, а x x4 – точка
минимума, но f ( x1 ) f ( x4 ).

49. Необходимое условие локального экстремума

Теорема: Если функция f ( x) имеет в точке х0
локальный экстремум и дифференцируема в этой
точке, то ее производная в точке равна нулю:
f ( x0 ) 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том,
что если х1, х2, х3, х4 – точки локального экстремума,
то в соответствующих точках касательные к графику
функции параллельны оси Ох.
Такие точки называют стационарными точками
или точками возможного экстремума.

50.

Данное условие является необходимым, но не
является достаточным.
Например, функция y x3 .
y 3 x 2 ,
y 0 3 x 2 0
x 0.
Но в точке x 0 локального экстремума нет.
Поэтому точки в которых производная равна 0
называют точками возможного экстремума.

51. Достаточное условие локального экстремума

Теорема: Пусть функция f ( x) дифференцируема
в некоторой δ-окрестности точки х0. Тогда, если
f ( x) 0 для всех x ( x0 ; x0 ) и f ( x) 0 для всех
x ( x0 ; x0 ) , то в точке х0 функция имеет
локальный максимум. Если f ( x) 0 для всех
x ( x0 ; x0 ) и f ( x) 0 для всех x ( x0 ; x0 ) , то
в точке х0 функция имеет локальный минимум.
Если же при переходе через точку х0 производная
не меняет знак, то в точке х0 локального экстремума
нет.

52.

Пример. Исследовать на экстремум функцию:
y x3 3x.
Решение:
Вычислим производную функции и определим
точки возможного экстремума:
y 3x 2 3 3( x 2 1).
2
y 0, åñëè 3( x 1) 0 èëè x1 1, x2 1.
х
y
у
( ; 1)
+
–1
0
2
( 1; 1)
–
1
0
–2
(1; )
+

53.

Таким образом, при переходе через точку x 1
производная меняет знак с плюса на минус и
точка ( 1; 2) является точкой максимума.
При переходе через точку x 1 производная
меняет знак с минуса на плюс и точка (1; 2)– точка
минимума.
На интервале
на интервале
( ; 1) (1;функция
) возрастает,
( 1;1)убывает.
функция
Замечание: Теорема остается справедливой, если
функция в самой точке х0 не дифференцируема, а
только непрерывна.

54.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции
y наf интервале
( x)
Определение: График функции
(a; b) имеет выпуклость направленную вниз
(вогнутый), если он расположен не ниже любой
касательной, проведенной к графику функции на
этом интервале.

55.

y наf интервале
( x)
Определение: График функции
(a; b) имеет выпуклость направленную вверх
(выпуклый), если он расположен не выше любой
касательной, проведенной к графику функции на
этом интервале.

56.

Теорема: Если функция y f ( x ) на интервале
(а; b)
имеет
вторую
производную
и
f ( x) 0 f ( x) 0 во всех точках этого интервала,
то график функции y f ( x )
на интервале (а; b)
имеет выпуклость направленную вниз (вверх).

57.

Определение: Точка
M x0 ; f ( x0 ) называется
точкой перегиба графика функции y f ( x ) , если
существует такая окрестность точки х0, в пределах
которой график функции f ( x) слева и справа от
точки х0 имеет разные направления выпуклости.

58. Необходимое условие точки перегиба

Теорема: Если график функции y f ( x ) имеет
перегиб в точке M x0 ; f ( x0 ) и функция f ( x) в
точке х0 имеет непрерывную вторую производную,
то она в этой точке равна нулю: f ( x0 ) 0.
Данное условие является необходимым, но не
является достаточным. Не всякая точка, для которой
f ( x0 ) 0 , является точкой перегиба.
Точки M x0 ; f ( x0 ) , для которых
называют критическими точками.
f ( x0 ) 0

59.

Данное условие является необходимым, но не
является достаточным.
4
y
x
.
Например, функция
y 4 x 3 ,
y 12 x 2 .
y 0 12 x 2 0
x 0.
Но в точке x 0
перегиба нет, в этой точке
функция имеет экстремум.

60. Достаточное условие точки перегиба

Теорема: Пусть функция y f ( x ) имеет вторую
производную в некоторой окрестности точки х0.
Тогда, если в пределах указанной окрестности
вторая производная имеет разные знаки слева и
справа от точки х0, то график функции f ( x) имеет
перегиб в точке M x0 ; f ( x0 ) .
Замечание: Теорема верна, если функция y f ( x )
имеет вторую производную лишь в некоторой
окрестности точки х0, за исключением самой точки
х0.

61.

Пример: Найти точки перегиба и определить
интервалы выпуклости и вогнутости графика
3
функции: y x 3x.
Решение:
Определим точки перегиба графика функции:
2
y 3x 3,
y 6 x.
y 0, åñëè
x 0.
6x 0
х ( ; 0)
y
–
0
0
(0; )
+
у
0
Точка О(0; 0) является точкой перегиба.
На интервале ( ; 0) график имеет выпуклость,
направленную вверх, а на (0; ) – выпуклость,
направленную вниз.

62. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на
бесконечности, то есть при x
или вблизи
точек разрыва II рода, часто оказывается, что график
функции сколь угодно близко приближается к той
или иной прямой. Такие прямые называются
асимптотами.
Существует три вида асимптот:
1. вертикальные;
2. горизонтальные;
3. наклонные.

63.

Определение: Прямая
называется
x x0
вертикальной асимптотой графика функции
y f ( x ) , если хотя один из односторонних
пределов lim f ( x) èëè lim f ( x) обращается в
x x0 0
x x0 0
бесконечность.
То есть точка x x0 является точкой разрыва II
рода.
Определение: Прямая
называется
y A
горизонтальной асимптотой графика функции
y f ( x ) , если lim f ( x) A, A .
x
Если А не является конечным числом, то график
функции не имеет горизонтальных асимптот.

64.

Определение: Прямая
y kx b называется
наклонной асимптотой графика функции y f ( x ) ,
f ( x)
если
k lim
x
, ãäå k , k 0;
x
b lim f ( x) kx , ãäå b .
x
Если хотя бы одно из условий не выполняется, то
график функции не имеет наклонных асимптот.

65.

Пример: Найти асимптоты графика функции:
x2 2 x 3
y
.
x 2
Решение:
Точка x 2 является точкой разрыва II рода, так как
x2 2 x 3
4 4 3
5
lim
lim
,
x 2 0
x 2 0 2 á. ì . 2
x 2
á. ì .
x2 2 x 3
4 4 3
5
lim
lim
.
x 2 0
x 2 0 2 á. ì . 2
x 2
á. ì .
Следовательно, прямая x 2 является вертикальной
асимптотой.

66.

x2 2x 3
x2
lim
lim lim x ,
x
x 2
x x x
Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты:
f ( x)
x 2x 3
x
k lim
lim
lim 2 1
x
x x x 2
x x
x
x2 2 x 3
b lim f ( x) kx lim
x
x
x
x 2
2
2
x2 2 x 3 x2 2x
4x 3
4x
lim
lim
lim
4
x
x x 2
x x
x 2
Следовательно, прямая y x 4
является
наклонной асимптотой.

67.

x2 2 x 3
Схематично график функции y
x 2
выглядит следующим образом:

68. Схема полного исследования графика функции

1. Область определения функции;
2. Четность, нечетность функции;
3. Точки пересечения с осями координат;
4. Асимптоты графика функции;
5. Интервалы монотонности и точки экстремума;
6. Интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции и точки перегиба;
7. Построение графика функции на основании
пунктов 1– 6.

69.

Пример: Какие размеры нужно придать открытому
бассейну в основании которого окружность, чтобы
при заданном объеме V площадь его полной
поверхности S была наименьшей?
Решение:
Пусть r – радиус, h –высота бассейна, тогда
S r 2 2 rh, V r 2h.
V
Так как объем задан, то h 2 .
r
Тогда площадь полной поверхности выразится
V
2V
формулой:
2
2
S r 2 r 2 r
.
r
r

70.

Таким образом, представили функцию площади
как функцию переменной r, исследуем эту функцию
на экстремум:
2V
2V
S 2 r 2 , S 0 2 r 2 0.
r
r
2 r 3 2V 0;
2 r 3 2V
V
3
0
r
.
2
r
r 0.
4V
S 2 2V ( 2)r 2 3 .
r
3

71.

V
4V
3
Так как S
2 V 6 0, то в точке
V
функция имеет минимум.
r 3
V
Следовательно, h 2
r
V
3
V
r.
V
3
Таким образом, для того, чтобы при заданном
объеме V площадь его полной поверхности S была
наименьшей необходимо, чтобы высота бассейна
была равна его радиусу.
2