Аттракторы

1.

Аттракторы
Маринюк Никита ПИб-212

2.

Термин
Аттрактор-компактное подмножество фазового пространства динамической
системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему
при времени, стремящемуся к бесконечности.

3.

Визуальное отображение аттрактора

4.

1.
2.
Классификация
3.
Формализации понятия стремления:
различают максимальный аттрактор,
неблуждающее множество, аттрактор
Милнора, центр Биркгофа, статистический
и минимальный аттрактор.
Регулярности самого аттрактора:
аттракторы делят на регулярные
(притягивающая неподвижная точка,
притягивающая периодическая
траектория,многообразие) и странные
(нерегулярные — зачастую фрактальные
и/или в каком-либо сечении устроенные как
канторово множество; динамика на них
обычно хаотична).
Локальности («притягивающее
множество») и глобальности (здесь же —
термин «минимальный» в значении
«неделимый»).

5.

Свойства и
связанные
определения
При всех определениях аттрактор полагается замкнутым
и (полностью) инвариантным множеством.
С понятием аттрактора также тесно связано понятие
меры Синая-Рюэлля-Боуэна: инвариантной меры на нём,
к которой стремятся временные средние типичной (в
смысле меры Лебега) начальной точки либо временные
средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера
существует не всегда (что иллюстрирует, в частности,
пример Боуэна).
Фазовый пример Боуэна

6.

Виды
формализации
определения
Поскольку всё фазовое пространство в любом
случае сохраняется динамикой, формальное
определение аттрактора можно давать, исходя из
философии, что «аттрактор это наименьшее
множество, к которому всё стремится» — иными
словами, выкидывая из фазового пространства всё,
что может быть выкинуто.

7.

Максимальный аттрактор
_
Пусть для динамической системы задана область U которая переводится строго внутрь себя динамикой:f(U)⊂U
Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:
∞
⋂
f^n(U)
n=1
Amax=
То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток,
на границе области было направлено строго внутрь неё.
Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным
аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными.
У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая
область была выбрана неудачно — скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания — то в
максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор
области этого «не чувствует».

8.

Аттрактор Милнора
По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению
замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега.
Иными словами — это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки

9.

Неблуждающее множество
Точка x динамической системы называется блуждающей, если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:
⋂
∀n>0 f^n(U) U=∅
Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество
всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

10.

Странные аттракторы
Странный аттрактор — это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической
системы. В отличие от аттрактора, не является многообразием, то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного
аттрактора фрактальна. Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые
отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых
возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной
спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.
Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является
дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.

11.

Аттрактор Лоренца
Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:
x=σ(y-x)
y=x(r-z)-y
z=xy-bz
при следующих значениях параметров:σ=10 r=28 b=8/3.
Аттрактор Лоренца не является классическим. Он также не является странным в смысле Смейла.

12.

Соленоид Смейла-Вильямса
Соленоид Смейла-Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения
на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается;
откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и
максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей»,
наматывающихся вдоль полнотория.

13.

Статический аттрактор
Статистический аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество Astat в окрестности которого почти все точки
проводят почти всё время: для любой его окрестности U для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x выполнено:
1/N#{i⩽N|f^i(x)∈U} →1 N→∞

14.

Спасибо за внимание