Похожие презентации:
Электростатика (продолжение)
1. Электростатика (продолжение)
Лекция 22. План
CEEПоток вектора напряженности
электростатического поля.
Теорема Остроградского ─ Гаусса.
Применение теоремы Остроградского
─ Гаусса для расчета электрических
полей.
3. Поток вектора напряженности
CEEРассмотрим
простейший
случай
однородного
поля
(напряженность Е которого одинакова во всех точках
пространства), которое пронизывает некоторую плоскую
поверхность площади S.
Тогда скалярное произведение
будет
называться
потоком
вектора напряженности через
поверхность S:
ФЕ ES ES cos En S
(1)
где
- есть вектор, равный произведению величины площади
на нормаль к этой поверхности, Еn - проекция вектора напряженности
на нормаль к площадке.
4.
Поток вектора напряженностиCEE
Ориентация в пространстве
площадки
характеризуется
перпендикулярным
к
ней
вектором нормали .
При этом сторона площадки, из
которой
выходит
нормаль,
называется положительной, а
противоположная
сторона
–
отрицательной.
Выбор положительного направления нормали условен.
Если площадка ограничивает некоторый объем, то нормаль
обычно направляют наружу по отношению к этому объему.
5. Поток вектора напряженности
CEEdS
В общем случае поле может быть
неоднородным,
поверхность
неплоской.
В
этом
случае
поверхность можно мысленно
разбить на бесконечно малые
элементарные
площадки
dS,
которые
можно
считать
плоскими, а поле вблизи них
однородным.
В таком случае поток
элементарную площадку
dФЕ EdS EdS cos En dS
через
(2)
6.
Поток вектора напряженностиCEE
Полный поток вектора напряженности
через поверхность S
ФЕ dФЕ EdS EdS cos En dS
S
S
S
B 2
ФЕ м B м
м
S
(3)
7.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Эта теорема позволяет определить
поток вектора напряженности через
произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находятся
электрические заряды.
8.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Найдем
поток
вектора
напряженности электрического поля, создаваемого
точечным зарядом q, через
сферическую поверхность
радиуса r.
Площадь ее поверхности S=4 r2.
Согласно (3),
можно записать:
ФЕ EdS cos α En dS
S
S
9.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Силовые линии электрического поля идут по радиусам к
поверхности сферы и поэтому угол между вектором
напряженности и нормалью равен нулю (cos = 1).
Следовательно,
ФЕ En dS EdS
S
Используя формулу
напряженности поля
точечного заряда
S
1 q
E
2
4π 0 r
и, учитывая, что в силу сферической симметрии E = const, можно
записать :
(4)
ФЕ E dS ES
S
q
4 0 r
2
S
q
4 0 r
4 r
2
2
q
0
10.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой
формы.
Так, если окружить сферу
произвольной замкнутой поверхностью,
то
каждая
линия
напряженности, пронизывающая
сферу, пройдет и сквозь эту
поверхность.
11.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Если замкнутая поверхность
не охватывает заряда, то поток
сквозь нее равен нулю, т.к.
число линий напряженности,
входящих
в
поверхность,
равно числу линий напряженности выходящих из нее.
12.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Рассмотрим
поток,
создаваемый
системой зарядов, сквозь замкнутую
поверхность произвольной формы,
внутри которой они находятся.
ФЕ EdS
S
Согласно принципу суперпозиции
E E1 E2 ...En
13.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Поэтому ФЕ EdS E1dS E2 dS ... En dS
S
S
S
S
n
q1
0
q2
0
...
qn
0
q
i 1
0
i
14.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
n
q
i
i 1
ФЕ EdS
S
(5)
0
Математическое выражение теоремы
Остроградского – Гаусса
15.
Теорема Остроградского ─ ГауссаCEE
Поток
вектора
напряженности
электростатического
поля
через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме
зарядов, расположенных внутри этой
поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
16. Следствия теоремы Остроградского ─ Гаусса
CEEлинии вектора напряженности электростатического поля
(силовые линии) нигде, кроме зарядов, не начинаются и
не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в
бесконечность для положительного заряда, либо,
приходя из бесконечности, заканчиваются на
отрицательном заряде;
если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых
замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток
через эту поверхность равен нулю;
если замкнутая поверхность проведена в поле так, что
внутри нее нет зарядов, то число входящих линий
вектора напряженности равно числу выходящих и
поэтому полный поток через такую поверхность равен
нулю.
17.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Введем понятие о плотности распределенных
зарядов.
dq
Линейная плотность
заряда
dl
Кл
м
При равномерном распределении зарядов
линейная плотность равна
q
l
(6)
18.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Поверхностная
плотность заряда
dq
dS
Кл
2
м
При равномерном распределении зарядов по
поверхности поверхностная плотность равна
q
S
(7)
19.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Объемная
плотность заряда
dq
dV
Кл
3
м
При равномерном распределении зарядов по
всему объему объемная плотность равна
q
V
(8)
20.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
r0
Рассмотрим равномерно
заряженную ( = const)
сферическую поверхность
радиуса r0.
Поток вектора напряженности через
r1
поверхность сферы радиуса r1,
которая окружает заряженную сферу,
имеющую радиус
равен
r0,
при
r1 ≥ r0,
ФЕ En S E 4 r
2
1
21.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
По теореме
Остроградского-Гаусса
r0
r1
ФЕ
E 4 r1
2
q
0
q
0
Тогда
=> E
q
4 0 r1
2
22.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
Т.е. вне заряженной сферы поле
такое же, как и поле точечного
заряда
той
же
величины,
помещенного в центре сферы.
r2
r0
Внутри сферы нет зарядов и
поэтому поле там отсутствует, т.е.
r1
при r2 <
нулю.
r0
напряженность равна
Это свойство используют для экранирования от полей
внешних зарядов.
23.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
На поверхности сферы, т. е, при
r1 = r0 напряженность равна
r2
r0
r1
E
q
4 0 r0
2
Или, учитывая (7), получим:
4 r0
S
E
2
2
0
4 0 r0
4 0 r0
2
(9)
24.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
График зависимости Е = f(r)
Е
r2
r0
r1
1
~ 2
r
0
r0
r
25.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
Рассмотрим
поле,
создаваемое бесконечной плоскостью,
заряженной
равномерно, т. е. = const.
Пусть заряд, распределенный по поверхности
плоскости,
равен +q.
26.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
Из соображений симметрии следует,
что
линии
напряженности
электрического поля в любой точке
будут
перпендикулярны
этой
плоскости.
Кроме
того,
в
симметричных
относительно
плоскости
точках,
напряженность поля будет одинакова
по величине и противоположна по
направлению.
27.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
E
nбок
S
Построим цилиндр, ось которого
перпендикулярна к поверхности,
и применим теорему Остроградского-Гаусса.
S
E
n
S
28.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
E
nбок
q
ФЕ EdS EdSбок 2 ESоcн
E
0
S
n
S
S
S
0
E
d
S
EdS
cos
90
т.к.
бок
бок
тогда
q
ФЕ 2 ES оcн 2 ES cos 0 2 ES
E
=>
0
2 0 S 2 0
q
(10)
29.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля между двумя
бесконечно протяженными, разноименно заряженными
параллельными плоскостями
Вне внутреннего промежутка
напряженность равна нулю, т.к.
поля, созданные разноименно
заряженными параллельными
пластинами, направлены противоположно друг другу.
Между плоскостями
E 0
E E E
E 0
E
2 0 2 0 0
(12)
30.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность
электрического поля
равномерно заряженного,
бесконечного цилиндра
31.
CEEЗаряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.
32.
CEEЗаряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.
33.
CEEЗаряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.
34.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженного, бесконечного цилиндра
Поток вектора напряженности
через
основания равен нулю, т.к. E nосн .
nосн — внешняя нормаль к
основаниям цилиндра.
Поток через боковую поверхность
ФE ESбок E 2 rl
где l ─ высота
цилиндра.
35.
Применение теоремы Остроградского ─Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженного, бесконечного цилиндра
Согласно теореме ОстроградскогоГаусса при r ≥ R:
E 2 rl
q
0
1 q
E
,
2 r 0 l 2 r 0
(11)
где τ=q/l ─ линейная плотность
заряда.
Когда r < R, то
E 0.
36.
CEEЛекцию подготовила к.п.н.
доцент Симдянкина Е.Е.