Модель водородоподобного атома по теории Бора

1. Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

4. (0). Модель водородоподобного
атома по теории Бора.

2. Водородоподобный атом

Водородоподобным называется атом,
имеющий один электрон в электронной
оболочке. Это атом обычного (легкого)
водорода, атом тяжелого водорода
(дейтерия), сверхтяжелого водорода
(трития), однократно ионизированный
атом гелия, двухкратно ионизированный
атом лития и т.д.

3. Теория Бора

Рассмотрим водородоподобный атом, т.е. систему
из ядра с зарядом +Ze и одного электрона. При
Z=1 это водород, при Z=2 – однократно ионизированный атом гелия, при Z=3 – двукратно ионизированный атом лития и т.д.).
Предположим, что электрон движется вокруг ядра
по круговой орбите радиуса r со скоростью v.
Приравнивая кулоновскую силу и центробежную
силу, находим:
me v 2
Ze2
2
r
4 0 r
(4.1)

4.

Второе соотношение, связывающее радиус орбиты
электрона и его скорость дает правило квантования:
(4.2)
me vr n
Решаем совместно уравнения (4.1) и (4.2). Возведем в квадрат обе части уравнения (4.2) и выразим из него квадрат скорости v:
2 2
n
v2 2 2
me r
(4.3)
Подставляя в (4.1), находим радиус орбиты электрона:
2
4 0
rn n
2
me Ze
2
(4.4)
Например, для водорода r1 = 0.53 Å, что совпадает
с экспериментом в пределах его точности.

5.

Найти кинетическую энергию электрона проще всего из формулы (4.1), сократив в
обеих ее частях в знаменателе r и разделив обе части на 2:
2
2
me v
Ze
(4.5)
T
2
8 0 r
Суммируя кинетическую и потенциальную
энергию электрона, находим его полную
энергию:
Ze 2
Ze 2
Ze 2
(4.6)
En = T +U =
=8 0 r 4 0r
8 0r

6.

Подставляя в формулу (4.6) радиус из формулы (4.4), находим:
2
4
1 Z mee
(4.7)
E =n
n
2
8h ε
2 2
0
Например, для водорода E1 = - 13.56 эВ, что совпадает с экспериментом в пределах его точности.
Подставляя (4.7) в формулу (3.6), получаем:
4
Em En 1 1 Z 2mee4 1 Z 2mee4
m
e
1
1
2
e
k
2
- 2
Z
2
2 2
2 2
3
2 2
hc hc hc n 8h ε0 m 8h ε0
8h cε0 n m
Сравнивая с обобщенной формулой Бальмера (3.3), получаем теоретическую формулу для постоянной Ридберга:
me e4
1
R =
109740
см
(4.8)
3 2
8ch ε0
которая хорошо совпадает с экспериментальным значением
Rexp = 109677,6 см-1

7.

Согласие с экспериментом будет еще лучше, если
учесть, что при выводе этих формул мы считали ядро
неподвижным, т.е. считали массу ядра бесконечно
большой. На самом деле, хотя масса ядра на 3 порядка больше массы электрона, она все же не бесконечна. Для учета массы ядра М надо во все полученные формулы вместо массы электрона подставить
приведенную массу
me M
me
me M 1 me / M
(4.9)
Тогда формула для постоянной Ридберга примет
вид:
e4
mee4
R
1
R=
109677,6
см
8ch 3 ε02 8ch 3 ε02 1 me / M 1 me / M
(4.10)
что полностью совпадает с экспериментом.

8. Изотопический сдвиг

Более того, полученные формулы позволяют объяснить такой тонкий эффект, как изотопический
сдвиг спектральных линий в спектре водорода и
других водородоподобных атомов. У всех элементов таблицы Менделеева есть изотопы (стабильные или радиоактивные), ядра которых содержат
одинаковое количество протонов, но разное число нейтронов, т.е. имеют разную массу. Например, у водорода есть стабильный изотоп дейтерий (или тяжелый водород), ядро которого состоит из протона и нейтрона, и радиоактивный изотоп тритий (сверхтяжелый водород), ядро которого состоит из протона и двух нейтронов.

9. Изотопический сдвиг

Поэтому значения постоянной Ридберга по
формуле (4.10) для разных изотопов, хотя
и немного, но различаются. Например,
длина волны первой линии (альфа-линии)
в серии Лаймана у обычного (легкого) воo
дорода равна H 1215,334 A , а у дейтерия
o
(тяжелого водорода) D 1215,664 A ; разниo
ца составляет DH 0,33A .
Эти значения в точности совпадают с экспериментальными.

10. Водородоподобный атом

Итак, радиус n-ой стационарной орбиты и энергия
электрона на этой орбите в водородоподобном
атоме, вычисленные по формулам (4.4) и (4.7):
2
4
0
rn n 2
me Ze2
1 Z 2mee4
En = - 2
n 8h 2 ε02
дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Постоянная Ридберга с учетом конечной
массы ядра
R
R
1 me / M
с точностью до 7-й значащей цифры совпадает с
экспериментальным значением 109677,6 см-1, что
позволяет объяснить такой тонкий эффект, как
изотопический сдвиг спектральных линий.

11.

Таким образом, для водородоподобных атомов теория, основанная на постулатах Бора, дает результаты, с высокой точностью
совпадающие с экспериментом. Это не оставляет сомнений в правильности полученных формул. Однако теория Бора, позволяя
вычислить длины волн спектральных линий, не дает формул для вычисления их
интенсивностей.
К полной неудаче приводят попытки применить эту теорию для объяснения свойств
более сложных атомов, например, атома
гелия с двумя электронами, не говоря уже о
многоэлектронных атомах.

12.

Еще раз повторим, что теория Бора - это
приближенная полуклассическая теория,
промежуточный этап в истории создания
квантовой физики.
Однако благодаря своей простоте эта теория до сих пор используется в тех случаях, когда надо наглядно объяснить какое-либо явление или эффект, и получить
оценку характерных параметров задачи по
порядку величины.