Уравнение Шредингера

1. Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

9 (1). Уравнение Шредингера.

2.

Найдем уравнение, которому подчиняются волны деБройля. Сначала рассмотрим свободную нерелятивистскую частицу. Для такой частицы имеем
уравнения де-Бройля (5.2) и (5.3):
E h ;
p
h
hk
а также формулу для кинетической энергии, которая
в данном случае совпадает с полной энергией, т.к.
у свободной частицы потенциальная энергия = 0:
2
2
p
1
h
2
2
2
2
2
2
E T
px p y pz
kx k y kz .
2m 2m
2m
Сравнивая оба выражения для энергии E, находим
2
h
2
2
2
h
kx k y kz .
2m
(9.1)

3.

Свободной частице соответствует плоская волна
де-Бройля:
2 i ( t kr )
Ae
Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z:
2 2
2 i i ;
4 k x ;
2
t
x
2
2 2
4 k y ;
2
y
2
2 2
4
k z ;
2
z
и выразим отсюда , kx, ky, kz
2

4.

1 1
1 1
2
; kx
2 i t
4 2 x 2
2
2
1
1
1
1
2
2
ky
kz
2
2
4 y
4 2 z 2
2
Подставляя это в формулу (9.1), получаем:
ih
h2 1 1 2 2 2
2 2
2
2
2 t
2m 4 x
y
z
или
2
2
2 2 2
i
2 2 2
t
2m x
y
z
2m

5.

Это и есть искомое волновое уравнение для свободной нерелятивистской частицы (уравнение Шредингера в простейшей форме):
2
i
t
2m
(9.2)
Для частицы, движущейся в потенциальном поле кинетическая энергия T = E - U, поэтому уравнение
(9.2) должно быть записано (обобщено) в виде:
i
U
t
2m
2
(9.3)
Это общее нестационарное (содержащее время)
уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г., нобелевская премия 1933г) для частицы в потенциальном поле U.

6.

E
Зависимость волновой функции от
i t
i t
времени выражается множителем:
e e
Поэтому волновая функция может быть представi
лена в виде
Et
( x, y, z, t ) 0 ( x, y, z )e
откуда
i
E 0e
t
i
Et
(9.4)
Подставляя (9.4) в (9.2) и (9.3), находим:
0
2m
2
E 0 0
и 0
2m
2
( E U ) 0 0
Это стационарное (не зависящее явно от времени)
уравнение Шредингера для свободной частицы и
для частицы в потенциальном поле U.

7. Уравнение Шредингера

Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения
Шредингера:
Нестационарное
для свободной частицы
Нестационарное для
частицы в потенциальном поле U
Стационарное
для свободной частицы
Стационарное для
частицы в потенциальном поле U
2
i
t
2m
(9.2)
2
i
U
t
2m
(9.3)
2m
(9.5)
0
0
2m
2
2
E 0 0
( E U ) 0 0 (9.6)

8.

Приведенные рассуждения следует рассматривать как пояснения к тому, каким
образом было установлено уравнение
Шредингера, но не как “вывод” этого уравнения. Как и все основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла и
т.д.), уравнение Шредингера не “выводится”, а устанавливается, являясь, по существу, обобщением опытных фактов. Справедливость этого уравнения подтверждается согласием результатов, получаемых с
его помощью, с данными экспериментов.

9.

Уравнение Шредингера содержит первую
производную по времени и вторые по
координатам. Поэтому никаких реальных
волн, распространяющихся в физической
среде, оно не описывает. Это еще один
(третий) аргумент против гипотезы волнового пакета и подтверждение статистической интерпретации волновой функции:
dW
2
dV

10. Терминология

Уравнение Шредингера в зависимости от
вида функции U может иметь решения,
удовлетворяющие естественным условиям (конечности, однозначности, непрерывности, нормировки) либо при любых
значениях E, либо лишь при некоторых
дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравнение
Шредингера имеет решение, называются собственными значениями.

11.

В частности, очень важным является условие
нормировки: то, что частица где-то находится, есть достоверность, поэтому
|
|
dV
1
2
или
* dV
1
Это условие позволяет в процессе решения
определить значения коэффициентов при
собственных функциях.

12. Терминология

Совокупность собственных значений образует энергетический спектр; он может
быть непрерывным (если решения есть
при любом E), или дискретным. Если движение частицы не ограничено в пространстве, то ее энергетический спектр непрерывен, в противном случае спектр дискретен. Функция Ψ(x,y,z), являющаяся решением уравнения при данном значении E
называется собственной функцией, соответствующей данному собственному
значению E.