Элементы комбинаторики и их применение для нахождения вероятности событий. Бином Ньютона

1.

Тема: Элементы комбинаторики и их
применение для нахождения
вероятности событий. Бином Ньютона
(с натуральным показателем) для
приближённых вычислений

2.

Цели обучения:
10.3.1.1 - различать понятия: «перестановки»,
«размещения» и «сочетания» без повторений
и с повторениями;
10.3.1.2 - применять формулы для вычисления
перестановок, сочетаний, размещений без
повторений;
10.3.1.3 - применять формулы для вычисления
перестановок, сочетаний, размещений с
повторениями;
10.3.1.5 - применять Бином Ньютона для
приближённых вычислений (с натуральным
показателем);

3. Критерии оценивания

Знает определение правил комбинаторики
(суммы и произведения)
Применяет правило суммы и произведения при
решении задач
Знает определение факториала числа
Выполняет арифметические действия с факториалом
числа
знает формулы комбинаторики для вычисления числа
перестановок, размещений, сочетаний без повторений

4.

Задача №1.
Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают
3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
Это важно
9способов
Важно помнить, что выбирается не просто красная, белая или желтая
роза, а одна конкретная роза: эта красная или эта белая, или эта
желтая роза.
Правило суммы

5.

Правило суммы
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а
элемент В – m способами, то выбор «либо А, либо В» можно
сделать n + m способами.
A – n способов
В – m способов
А или В – (n + m)способов

6.

Задача №2.
В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов
обеда из 2 блюд можно заказать?
Первое блюдо:
2
Второе блюдо:
3
3 + 3 = 2 ∙ 3 = 6 способов
Правило произведения

7.

Правило произведения
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а
элемент В – m способами, то пару А и В можно выбрать n ∙ m
способами.
A – n способов
В – m способов
А и В – (n ∙ m)способов

8.

Задача №3.
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.
в) Сколькими способами можно взять два фрукта
с разными названиями?
Применяются оба правила.
Правило произведения
Выбирается пара.
Правило суммы
Пара рассматривается
как единое целое.
8 ∙ 3 + 8 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 24 + 32 +12 = 68 способов

9.

Задача №4.
Проверка(5)
Самостоятельная работа.
В пакетике драже лежат 9 красных, 10 синих
и 12 зеленых конфет.
а) Сколькими способами можно взять 1 конфету?
а)
9 + 10+ 12 = 31способ
б) Сколькими способами можно взять:
конфеты
б)•красную
9 ∙ 10 и=синюю
90 способов
•красную
конфеты
9 ∙ 12 =и зеленую
108 способов
•синюю и зеленую конфеты
10∙ 12 = 120 способов
в) Сколькими
конфеты
разного цвета?
в)
9 ∙ 10 +способами
9 ∙ 12 +можно
10 ∙ взять
12 =две318
способов

10. Факториал

11. Вычислить:

12.

13.

Перестановками из n элементов
называются соединения (комбинации),
которые состоят из одних и тех же n
элементов и отличаются одно от
другого только порядком их
расположения.
Задача 1: Сколькими способами можно поставить
рядом на полке 4 различные книги?
Решение:
4
Х
3
Х
Ответ:
2
Х
24
1
= 24

14.

Число перестановок:
Pn = n(n –1)(n – 2) 3 2 1
(1)
n! = 1 2 3 (n –2)(n–1)n
(2)
Pn = n!
(3)

15. Проверь себя

Сколько различных слов можно составить,
переставляя местами буквы в слове
«треугольник» (считая и само это слово)?
39916800

16.

17.

Сколько различных двузначных чисел
можно записать с помощью цифр 1, 2,
3, 4 при условии, что в каждой записи
нет одинаковых цифр?
12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41, 42, 43.
Из задачи видно, что любые два соединения
отличаются либо составом элементов (12 и 24), либо
порядком их расположения (12 и 21). Такие соединения
называют размещениями.
п
о
в
т
о
р
е
н
и
е

18.

Размещениями из n элементов по m
элементов (m ≤ n) называются такие
соединения, каждое из которых содержит
n элементов, взятых из данных m разных
элементов, и которые отличаются одно от
другого либо самими элементами, либо
порядком их расположения.
Обозначение:
читают «А из эн по эм»:
= 12.

19.

=
п!
А
(n k )!
k
n
Сколькими способами можно обозначить данный
вектор, используя буквы A, B, C, D, E, F?
= 6 • 5 = 30
(1)

20. Проверь себя

В классе изучаются 7 предметов. В среду 4
урока, причем все разные. Сколькими способами
можно составить расписание на среду?
РЕШЕНИЕ

21. Проверь себя

В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока,
причем все разные. Сколькими способами можно
составить расписание на среду?
Решение.
7!
А=
=840
3!
4
7

22.

23. Сочетания

Сочетания – соединения, содержащие по m
предметов из n, различающихся друг от друга
по крайней мере одним предметом.
Сочетания – конечные множества, в
которых порядок не имеет значения.

24.

Пример:
Сколькими способами можно выбрать двух
дежурных из класса, в котором 25 учеников?
Решение:
m = 2 (необходимое количество дежурных)
n = 25 (всего учеников в классе)

25.

Проверь себя!
В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика. Сколькими
способами можно выбрать из состава школьного хора
2 девочек и 1 мальчика для участия в выступлении
окружного хора?

26.

Проверь себя!
В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика. Сколькими
способами можно выбрать из состава школьного хора
2 девочек и 1 мальчика для участия в выступлении
окружного хора?
Решение:

27.

Проверь себя!
Сколько различных чисел, не содержащих
одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр
1,2,3,4,5 так, чтобы:
1) последней была цифра 3;
2) первой была цифра 5, а второй – цифра 1;
3) первыми были цифры 3 и 4,
расположенные в любом порядке?
Решение:
1)
4
3
2
1
1
= 24
2)
1
1
3
2
1
= 6
3)
2
1
3
2
1
= 12

28. Reflection