Элементы комбинаторики и теории вероятностей

1.

Элементы
комбинаторики и
теории вероятностей

2.

Комбинаторика.
«комбинаторика»
происходит от латинского
слова combinare –
«соединять, сочетать».
Определение. Комбинаторика – это
раздел математики, посвящённый
задачам выбора и расположения
предметов из различных множеств.

3.

Пример 1. Сколько трёхзначных чисел
можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,
используя в записи числа каждую цифру
не более одного раза?
1
3
5
7
3 5 7
1 5 7
1 3 7
1 3 5
5 3 3
5 1 1
3 1 1
3 1 1
7
7 5
7 7 5
7 7 3
дерево вариантов
5 5 3

4.

Факториал.
Определение. Факториалом натурального
числа n называется произведение всех
натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!
n! 1 2 3 ... (n 1) n
Таблица факториалов:
n 0 1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
n! 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800

5.

Перестановки.
Определение. Перестановкой называется
конечное множество, в котором установлен
порядок элементов.
Число всевозможных перестановок из n
элементов вычисляется по формуле:
Pn = 1 2 3 … n = n!

6.

Пример 2.
Сколькими способами могут
быть расставлены восемь
участниц финального забега на
восьми беговых дорожках?
Решение:
P8 = 8! = 40 320

7.

Пример 3.
Сколько различных четырёхзначных чисел
можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в
каждом числе цифры должны быть разные?
Решение:
Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.

8.

Пример 4.
Имеется 10 различных книг,
среди которых есть трёхтомник
одного автора. Сколькими
способами можно расставить эти
книги на полке, если книги
трёхтомника должны находиться
вместе, но в любом прядке?
Решение: Р8 Р3 8! 3! 241 920

9.

Размещения.
k
Определение. Размещением Аn из n элементов
конечного множества по k, где k n, называют
упорядоченное множество, состоящее из k
элементов.
k
Аn
n!
(n k )!

10.

Пример 5.
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному
человеку для участия в городских олимпиадах
по математике, физике, истории и географии.
Каждый из учащихся участвует только в одной
олимпиаде. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение:
4
А12
12!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9 10 11 12 11 880
(12 4)!
1 2 3 4 5 6 7 8

11.

Пример 6.
Сколько существует
семизначных телефонных
номеров, в которых все цифры
различны и первая цифра
отлична от нуля?
Решение:
7
6 10! 9! 9! 9
А10 А9
544 320
3!
3!
3!

12.

Пример 7.
Сколько существует трёхзначных чисел,
составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без
повторений), которые НЕ кратны 3?
Решение:
6!
3
А6 8 Р3 8 3! 120 48 72
3!

13.

Сочетания.
Определение. Подмножества, составленные из
n элементов данного множества и содержащие k
элементов в каждом подмножестве, называют
сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания
различаются только элементами, порядок их не
важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).
k
Сn
k
An
n!
Pk k!(n k )!

14.

Пример 8.
Сколькими способами
можно выбрать трёх
дежурных из класса, в
котором 20 человек?
Решение:
3
С 20
20!
20 19 18
1 140
3! 17!
6

15.

Пример 9.
Из вазы с цветами, в которой стоят
10 красных гвоздик и 5 белых,
выбирают 2 красные гвоздики и
одну белую. Сколькими
способами можно сделать такой
выбор букета?
Решение:
2
1
С10 С5
10! 5!
10 9 5
225
2! 8! 1! 4!
2

16.

Пример 10.
Семь огурцов и три помидора
надо положить в два пакета
так, чтобы в каждом пакете
был хотя бы один помидор и чтобы овощей в
пакетах было поровну. Сколькими способами
это можно сделать?
Решение:
С31 С 74
3! 7!
7 6 5
105
1! 2! 4! 3!
2
С32 С73
3! 7!
7 6 5
105
2! 1! 3! 4!
2

17.

Частота и вероятность.
Определение. Частотой
случайного события в серии
испытаний называется
отношение числа испытаний,
в
которых
это
событие
наступило
(благоприятные испытания), к числу всех
испытаний.
m , где m – число испытаний с
Частота
благоприятным исходом,
n
n – число всех испытаний.
Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание
было проведено фактически.

18.

.
Частота и вероятность.
Определение. Вероятностью
события А называется
отношение числа
благоприятных для А исходов к
числу всех равновозможных
исходов.
0 Р( А) 1
Нахождение вероятности не требует, чтобы
испытание проводилось в действительности.

19.

Пример 11.
В урне 10 одинаковых шаров разного
цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых.
Шары тщательно перемешаны.
Наугад выбирается один шар. Какова
вероятность того, что вынутый шар окажется:
а) красным; б) синим; в) жёлтым?
Решение:
2
а) Р( К ) 0,2;
10
3
б) Р(С ) 0,3;
10
5
в) Р( Ж ) 0,5.
10

20.

Пример 12.
Коля и Миша бросают два
игральных кубика. Они
договорились, что если
при бросании кубиков в
сумме выпадет 8 очков, то
выигрывает Коля, а если в
сумме выпадет 7 очков, то
выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

21.

Решение:
(1;1)
(2;1)
(3;1)
(4;1) (5;1) (6;1)
(1;2)
(2;2)
(3;2)
(4;2)
(5;2) (6;2)
(1;3) (2;3)
(3;3)
(4;3)
(5;3)
(6;3)
(1;4) (2;4)
(3;4) (4;4) (5;4)
(6;4)
(1;5)
(2;5)
(3;5) (4;5) (5;5)
(6;5)
(1;6)
(2;6)
(3;6)
(4;6) (5;6)
(6;6)

22.

(1;1)
(2;1)
(3;1)
(4;1) (5;1) (6;1)
(1;2)
(2;2)
(3;2)
(4;2)
(5;2) (6;2)
(1;3) (2;3)
(3;3)
(4;3)
(5;3)
(6;3)
(1;4) (2;4)
(3;4) (4;4) (5;4)
(6;4)
(1;5)
(2;5)
(3;5) (4;5) (5;5)
(6;5)
(1;6)
(2;6)
(3;6)
(4;6) (5;6)
(6;6)
5
Р ( А)
36

23.

(1;1)
(2;1)
(3;1)
(4;1) (5;1) (6;1)
(1;2)
(2;2)
(3;2)
(4;2)
(5;2) (6;2)
(1;3) (2;3)
(3;3)
(4;3)
(5;3)
(6;3)
(1;4) (2;4)
(3;4) (4;4) (5;4)
(6;4)
(1;5)
(2;5)
(3;5) (4;5) (5;5)
(6;5)
(1;6)
(2;6)
(3;6)
(4;6) (5;6)
(6;6)
6
Р( В)
36

24.

Пример 13.
Из собранных 10 велосипедов
только 7 не имеют дефектов.
Какова вероятность того, что 4
выбранных велосипеда из этих
10 окажутся без дефекта?
Решение:
С 74
7! 10! 7 6 5 4 3 2 1
Р ( А)
:
4
4! 3! 4! 6! 6 10 9 8 7 6
С10

25.

Сложение вероятностей.
N
N-
0
Z
Z N N 0

26.

A
D
B
C
E
С А В
D E
D и E называются несовместными событиями.

27.

Сложение вероятностей.
Вероятность наступления хотя бы одного из
двух несовместных событий равна сумме их
вероятностей.
Р( А В) Р( А) Р( В)

28.

Пример 14.
В урне находятся 30 шаров 10
белых, 15 красных и 5 синих.
Найдите вероятность появления
цветного шара.
Решение:
1 1 2
Р( А В) Р( А) Р( В)
2 6 3

29.

Пример 15.
В контейнере 10 деталей, из низ 2
нестандартные. Найдите вероятность
того, что из 6 наугад отобранных деталей
окажется не более одной нестандартной.
Решение:
6
С10
10! 10 9 8 7
210
6! 4!
4 3 2
- всего событий
Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные,
событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная.
8!
8 7
- благоприятные события для А
С86
28
6! 2!
2
8!
8 7 6
1
5
С 2 С8 2
2
112 - благоприятные события для В
5! 3!
3 2
28 112 140 2
Р( А В) Р( А) Р( В)
210 210 210 3

30.

Умножение вероятностей.
Вероятность совместного появления двух
независимых событий равна произведению их
вероятностей.
Р( А В) Р( А) Р( В)

31.

Пример 16.
Монету бросают 3
раза подряд. Какова
вероятность, что
решка выпадет все три
раза.
Решение:
1 1 1 1
Р
2 2 2 8

32.

Пример 17.
Вероятность попадания в цель при
стрельбе из первого орудия равна 0,8,
а при стрельбе из второго орудия
равна 0,7. Найдите вероятность хотя
бы одного попадания в цель, если
каждое орудие сделало по одному
выстрелу.
Решение: событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В –
попадание в цель 2-го орудия.
событие А - промах 1-го орудия Р ( А) 1 0,8 0,2
событие В - промах 2-го орудия Р ( А) 1 0,7 0,3
события А и В независимые Р( А В) 0,2 0,3 0,06
события А и А В противоположные Р( А) 1 0,06 0,94