Прикладна статистика та ймовірнісні процеси

1.

Прикладна статистика
та ймовірнісні процеси
Лектор: доцент Сас Наталія Богданівна

2. Розділи

Теорія ймовірності
Математична статистика
Ймовірнісні процеси

3. Лабораторні роботи

Комбінаторика (Розміщення, перестановки,
комбінації, біном Ньютона)
Дискретний випадковий процес з
рівномірним розподілом.
Моделювання випадкових чисел.
Моделювання випадкових чисел з відомими
законами розподілу

4. Середовища

C/C++ (консольний проект)
Code::Blocks IDE
• Microsoft Visual
Studio IDE

5. Середовища

Звітність
Лабораторний практикум – 50
балів
Іспит – 50 балів
Іспит = Білет+ усна співбесіда

6. Звітність

Тема: Комбінаторика.
Основні поняття теорії
ймовірності

7. Тема: Комбінаторика. Основні поняття теорії ймовірності

ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Процес реалізації певного комплексу умов називається
експериментом.
Випадкова подія - це подія, яка може відбутись або не
відбутись в результаті здійснення деякого експерименту,
тобто в результаті реалізації певного комплексу умов.
Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних
закономірностей, характерних для масових однорідних
випадкових подій.
Предмет математичної статистики - дослідження
закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові
явища, на підставі статистичних даних - результатів
спостережень.

8. ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ
ЙМОВІРНОСТІ.
Нехай деякий експеримент здійснюється n разів і при
цьому в результаті m випробувань відбувається подія
А. Відношення m/n називається відносною частотою
появи події А в серії з n випробувань.
Ймовірністю події називається об’єктивно існуюча
величина, навколо якої групуються відносні частоти
цієї події при великій кількості випробувань.
Позначаємо Р(А) - ймовірність події А.

9. СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ.

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
Комбінаторика - розділ математики, предметом якого
є теорія скінченних множин.
Множина - сукупність об’єктів довільної природи, які
володіють спільною для всіх них характеристичною
властивістю.
Правило суми.
Правило добутку (основне правило комбінаторики):
якщо першу дію можна здійснити n1 способами,
другу, яка не залежить від першої, n2 - способами, ...,
k , яка не залежить від усіх попередніх, nk способами, то першу, другу, ..., k -ту дії послідовно
можна здійснити n1 n2 ... nk способами.

10. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Впорядковані множини
Множина М називається впорядкованою, якщо в
ній встановлено відношення порядку, що має такі
властивості:

11. Впорядковані множини

Розміщення, перестановки, комбінації

12. Розміщення, перестановки, комбінації

13.

Перестановки з повтореннями

14.

Комбінації з повтореннями

15. Комбінації з повтореннями

Біноміальні коефіцієнти
Кількість сполучень без повторень , ще називають
біноміальними коефіцієнтами
k
n!
n An
C C n, k
k k ! k ! n k !
k
n
Властивості біноміальних коефіцієнтів
1. Симетричність:
Cnk Cnn k
Доведення:
Cnn k
n!
n!
n!
Cnk
n k ! n n k ! n k !k ! k ! n k !

16.

Біноміальні коефіцієнти
2. Рівність Паскаля:
рекурентне співвідношення
Cnk Cnk 1 Cnk 11
Зауваження:
Для чисел Стрілінга 2-го роду існує подібне рекурентне співвідношення:
Ф n, k Ф n 1, k 1 kФ n 1, k
C n, k C n 1, k 1 C n 1, k

17.

Біноміальні коефіцієнти
Cnk Cnk 1 Cnk 11
Трикутник Паскаля:
k
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
5
1
1
4
5
6
10
4
10
1
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
9
1
1
8
9
28
36
56
84
70
126
56
126
28
84
8
36
1
9
1

18.

Біноміальні коефіцієнти
Трикутник Паскаля:

19.

Біноміальні коефіцієнти
Унімодальна послідовність:
Послідовність pn дійсних чисел називають унімодальною, якщо існує такий
натуральний номер m , що p0 p1
pm ; pm pm 1 pm 2
pn , тобто:
послідовність строго зростає на відрізку 0, m , m 0 ;
послідовність строго спадає на відрізку m 1, n , m 1 n ;
максимальне значення досягається не більше ніж у двох точках: m і,
можливо, m 1.
m
m m+1

20.

Біноміальні коефіцієнти
Унімодальна послідовність:
Теорема.
За
C , k 0,1,2,
k
n
фіксованого
n
послідовність
біноміальних
, n - унімодальна.
У разі парного n максимум досягається в точці m
У разі непарного – у двох точках: m
n
.
2
n 1
n 1
та m 1
.
2
2
3. Рівність Вандермонда:
Нехай m, n, r – невід’ємні цілі числа, причому r min m, n .
Тоді C
r
m n
r
Cmr k Cnk .
k 0
коефіцієнтів

21.

Біном Ньютона
Теорема (біноміальна). Нехай x та y – змінні, n – додатне ціле
число. Тоді:
x y
n
n
C x y
j 0
j
n
j
n j
n
Cnj x n j y j
j 0
Легко переконатись, що:
x y
n
n
1 Cnj x n j y j
j
j 0
n
j n j j
x
y
1
C
n x y
n
j 0
j

22.

Біном Ньютона
Приклад.
Знайдемо розклад виразу
x y
4
. Скориставшись біноміальною теоремою,
можемо записати:
x y
4
C40 x 4 C41 x3 y C42 x 2 y 2 C43 xy 3 C44 y 4
x 4 4 x3 y 6 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 .
Біноміальні коефіцієнти можна брати з трикутника Паскаля чи обчислювати за
формулою для кількості сполучень без повторень.
Приклад.
Визначимо коефіцієнт при x12 y13 в розкладі
x y
коефіцієнт дорівнює
13
C25
25!
5200300 .
13!12!
25
. Очевидно, що цей

23.

Біном Ньютона
Властивість 4.
n
C
k 0
k
n
2n
Доведення:
n
n
2 1 1 C 1 1 Cnk
n
n
k 0
k n k k
n
k 0
Зауваження:
Для заданої множини А можна розглянути множину всіх її підмножин,
зокрема порожню множину і саму множину А. Цю множину позначають 2А
чи Р(А) й називають множиною-степенем, чи булеаном множини А. Для
скінченної множини А множина 2A містить 2
A
елементів.
Приклад. Нехай A 0,1,2 . Тоді
2 A , 0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 , 1,2 , 0,1,2 . Ця множина містить 23 = 8
елементів.

24.

Простір елементарних подій.
Операції над випадковими подіями

25. Простір елементарних подій. Операції над випадковими подіями

26.

27.

28.

29.

30.

Класичне та геометричне означення ймовірності

31.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!