Метод наименьших квадратов

1.

Метод наименьших квадратов
По имеющимся экспериментальным данным У необходимо
найти оценки (численные значения)
b
параметров b ,
которые минимизируют сумму квадратов отклонений
n
F wi [ f (x, b) yi ]
2
i

2.

Линейный метод наименьших квадратов
Для моделей линейных относительно коэффициентов
F
0
b j
f b1 x1 b2 x2 b3 x3
n
F
f
2 wi [ f i (x, b) yi ]
0
b j
b j
i
j = 1, 2, 3,
k – число коэффициентов модели
n
w [ f (x, b) y ]x
i
i
i
ji
0
i
Система линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов модели
2

3.

k=3
n
w [b x
i
1 1i
b2 x2i b3 x3i yi ]x1i 0
i
n
w [b x
i
1 1i
b2 x2i b3 x3i yi ]x2i 0
i
n
w [b x
i
i
1 1i
b2 x2i b3 x3i yi ]x3i 0

4.

k=3
n
w [b x
i
1 1i
i
n
b2 x2i b3 x3i ]x1i yi x1i
i
n
w [b x
i
1 1i
n
b2 x2i b3 x3i ]x2i yi x2i
i
i
n
n
w [b x
i
i
1 1i
b2 x2i b3 x3i ]x3i yi x3i
i

5.

в векторной форме:
XWX b Xy
b (XWX ) Xy
T 1
T
X
x11
x21
x12 ... x1n
x22 ... x2 n
..... ..... .....
xk 1 xk 2 ... xkn
y
w1
0...
0
W 0
w2 ...
0
0
0...
wn
y1
y2
...
yn

6.

Обратная задача – нахождение коэффициентов зависимости
давления насыщенных паров от температуры
P exp[c1 c2 /(c3 T ) c4T c5 / T c6 Ln(T )]
S
2
с3 = с5 = 0
линеаризуем модель относительно коэффициентов
Ln( PS ) c6 Ln(T )] c1 c2 / T c4T
T [ Ln( PS ) c6 Ln(T )] c2 c1T c4T 2

7.

Компоненты матричного уравнения
1
1...
1
1 0... 0
X T1
T2 ...
Tn
W E 0 1... 0
2
n
0 0... 1
T1
y
y1
y2
...
yn
2
2
2
T ... T
c2
b c1
c4
S
yi Ti [ Ln ( Pi exp
) c6 Ln (Ti )]
i = 1, 2, 3, … n
T 1
b (XX ) Xy

8.

Коэффициент с6 определяется подбором в
процессе минимизации целевой функции:
n
OF [ P
S
i exp
P ] min
S
2
icalc
i
S
icalc
P
exp[c1 c2 / Ti c4Ti c6 Ln(Ti )]