Устойчивость САУ
САУ устойчива если после кратковременного возмущения она возвращается в прежнее или занимает новое устойчивое положение.
ПРИМЕРЫ Устойчива
Неустойчива
Устойчива “в малом”
a) Вещественные корни
б) Комплексно-сопряженные корни
ВНИМАНИЕ
А. Алгебраические критерии устойчивости САУ
Составим определитель Гурвица из коэффициентов ХУ:
Как видно из (2):
Составим главные диагональные миноры
1. Критерий Гурвица:
Примеры
Недостаток критерия Гурвица
Пример для КСР
Необходимо с помощью критерия Гурвица определить устойчивость САУ. План исследований:
2. Критерий Рауса
Составим таблицу Рауса из коэффициентов ХУ:
Критерий Рауса
Пример I для КСР
План исследования
Итак, составим таблицу Рауса
Задание по КСР:
Б. Частотные критерии устойчивости САУ
Представим полином (1) в виде:
Каждая из скобок (3) представляет собой вектор, начало которого лежит в т. si, а конец находится на мнимой оси jω. При этом возможно два вариант
Критерий Михайлова
ПРИМЕР
НЕДОСТАТОК критерия Михайлова
2. Критерий Найквиста (1932)
РАССМОТРИМ
Изобразим F(jω) на комплексной плоскости
Сдвинем теперь F(jω) влево на “1” и получим, таким образом, wp(jω)
Критерий устойчивости Найквиста:
ПРИМЕР
По критерию Найквиста САУ находится на границе устойчивости если:
Запасы устойчивости САУ – это количественные оценки степени устойчивости систем. Удобнее всего такие оценки (запасы) получить используя к
САУ может потерять устойчивость по двум причинам:
Итак, существуют две количественные оценки степени устойчивости САУ
Анализ устойчивости САУ по логарифмическим характеристикам
РАССМОТРИМ вначале два элемента таких кусочно-ломанных L(ω)
Итак, чтобы построить L(ω) и φ(ω) для этого элемента – w(jω) = нужно:
Построение асимптотических L(ω) и φ(ω) для сложных САУ.
Определим сопрягающие частоты:
Фазовая характеристика φ(ω) САУ
Для ее построения удобно построить таблицу
Критерий устойчивости по ЛАЧХ
348.50K
Категория: ЭлектроникаЭлектроника

Устойчивость систем автоматического управления

1. Устойчивость САУ

2. САУ устойчива если после кратковременного возмущения она возвращается в прежнее или занимает новое устойчивое положение.

3. ПРИМЕРЫ Устойчива

∆х
р
∆х
t

4. Неустойчива

∆х
∆х
р
t

5. Устойчива “в малом”

∆x
t

6.

Линейные САУ описываются линейными
дифференциальными уравнениями
(ДУ). Для решения ДУ следует найти
корни его характеристического
уравнения:

7. a) Вещественные корни

Im
y(t)
A0
A0 * e
t
p2
P1
P2
A0 * e
Re
A0
t
0
t
p1

8. б) Комплексно-сопряженные корни

Im
jω1
P1,2
-jω1
Re
A0
A0 * e
t
p1, 2
* sin 1t
t

9.

A0 * e
Im
t
p3 , 4
* sin 2t
A0
jω2
Re
P3,4
-jω2
t

10.

Итак, чтобы САУ была устойчивой
необходимо и достаточно, чтобы все
корни ее характеристического
уравнения находились в левой
полуплоскости комплексной плоскости.

11.

Критерии устойчивости САУ – это
некоторые признаки позволяющие не
решая характеристического уравнения
оценить устойчивость САУ.

12. ВНИМАНИЕ

• Характеристическое уравнение
замкнутой САУ – это знаменатель ее
передаточной функции Ф(s)
приравненный “0”.
• Характеристическое уравнение
разомкнутой САУ - это знаменатель ее
передаточной функции Wp(s)
приравненный “0”.

13. А. Алгебраические критерии устойчивости САУ

I.
Критерий Гурвица (1895г.).
Пусть дано ХУ замкнутой САУ
anpn+an-1pn-1+…+a0=0
(1)

14. Составим определитель Гурвица из коэффициентов ХУ:

∆n=
an 1
a n 3
a n 5
...
0
an
0
...
...
an 2
an 1
...
...
a n 4
a n 3
...
...
...
...
...
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
a1
a2
0
a0
(2)

15. Как видно из (2):

• На главной диагонали определителя Гурвица
располагаются сверху вниз коэффициенты
ХУ начиная со второго.
• Выше элементов главной диагонали
выписываются коэффициенты при младших
степенях “р” по мере их убывания.
• Ниже элементов главной диагонали
выписываются коэффициенты при старших
степенях “р” по мере их возрастания.
• Остальные элементы определителя Гурвица
равны “0”.

16. Составим главные диагональные миноры

∆1= an-1
∆2 =
∆3=
an 1
an 3
an
an 2
an 1
a n 3
a n 5
an
0
an 2
an 1
an 4
a n 3

17. 1. Критерий Гурвица:

Для устойчивости линейной САУ
необходимо и достаточно, чтобы при
аn>0 все главные диагональные миноры
определителя Гурвица были бы
положительны.

18. Примеры

1. n=1 a1p+a0=0
Условия устойчивости
a1>0 ∆1=a0>0
2. n=2 a2p2+a1p+a0=0
Условия устойчивости
a2>0
∆1=a1>0
∆2= a1 0 = a1a0>0
a2
a0

19.

3. n=3 a3p3+a2p2+a1p=0
Условия устойчивости
a3>0
∆1=a2>0
∆2 = a2 a0 =a2a1-a3a0>0
a3
a1
a2
a0
0
∆3= a3
a1
a2
0
a0
0
=a0*∆2>0

20. Недостаток критерия Гурвица

• С увеличением “n” раскрывать
определители становится трудно.

21. Пример для КСР

Пусть дана структура
замкнутой САУ
100
wp ( s)
S (0,55 1)(0,25 1)(0,15 1)

22. Необходимо с помощью критерия Гурвица определить устойчивость САУ. План исследований:

• 1. Найти передаточную функцию замкнутой
САУ.
• 2. Определить ХУ замкнутой САУ и его
коэффициенты.
• 3. Составить определитель Гурвица.
• 4. Определить все главные диагональные
миноры и оценить устойчивость САУ по
критерию Гурвица.

23. 2. Критерий Рауса

Пусть дано ХУ замкнутой САУ “n”–го
порядка:
anpn + an-1pn-1 +… +a1p + a0 = 0

24. Составим таблицу Рауса из коэффициентов ХУ:

-
c11 = an
c21 = an-2
c31 = an-4
c41 = an - 6
-
c12 = an-1
c22 = an-3
c32 = an-5
c42 = an - 7
c11
r3 =
c12
c13 = c21 –
- r3*c22
c23 = c31 –
r3*c32
c33 = c41 – r3
*c42

c12
c13
c14 = c22 –
r4*c23
c24 = c32 –
r4*c33
c34 = c42 – r4
* c43





r4 =

25. Критерий Рауса

Для устойчивости линейной САУ
необходимо и достаточно, чтобы
коэффициенты первого столбца
таблицы Рауса были положительны,
т.е.:
С11> 0
c12 > 0

c1,n+1 > 0

26. Пример I для КСР

Пусть ХУ замкнутой САУ:
P6 + 6p5 + 21p4 + 44p3 + 62p2 + 52 + 100 =0
Необходимо исследовать устойчивость этой
системы используя критерий Рауса.

27. План исследования

1. Составим таблицу Рауса и заполним
ее первые две строки.
2. Вычислим последовательно
коэффициенты последующих строк.
3. Оценим знаки первого столбца
таблицы и устойчивость САУ.

28. Итак, составим таблицу Рауса

-
a6 = 1
a4 = 21
a2 = 62
a0 = 100
-
a5 = 6
a3 = 44
a1 = 52
0
r3 =
1
6
r4 =
6
13,65
21 -
44
6
= 13,65
62 -
52
6
= 53,3
100

29. Задание по КСР:

Завершить заполнение таблицы Рауса и
оценить устойчивость САУ.

30. Б. Частотные критерии устойчивости САУ

I. Критерий Михайлова (1938)
Дано ХУ замкнутой линейной САУ:
А(s) = ansn + an-1sn-1 + … + a0 = 0 (1)
A(s)
корни ХУ
s
0

31. Представим полином (1) в виде:

A(s) = an (s – s1) (s –s2) … (s - sn)
Где si – корни ХУ
i = 1, 2 … n
Положим s = jω, тогда:
А(jω) = an (jω – s1)(jω – s2)… (jω - sn)
(2)
(3)

32. Каждая из скобок (3) представляет собой вектор, начало которого лежит в т. si, а конец находится на мнимой оси jω. При этом возможно два вариант

Каждая из скобок (3) представляет собой
вектор, начало которого лежит в т. si, а
конец находится на мнимой оси jω. При
этом возможно два варианта:
1 – корень лежит в левой
полуплоскости
Im
Im
jω-si
si
2-корень лежит в правой
полуплоскости
+∞
+∞


+
-
si
Re


-∞
При -∞ < jω < +∞
∆arg (jω – si) = +
-∞
При -∞ < jω < +∞
∆arg (jω – si) = -
Re

33.

Итак, если ХУ A(s) = 0 содержит L корней в
правой полуплоскости, то
∆arg A(jω) = (n-2L) = (n-L) - L

34.

Для устойчивости линейной САУ необходимо,
чтобы L = 0, т.е.:
∆arg A(jω) = n
(4)

35.

2
Критерий Михайлова является графической
интерпретацией выражения (4).
При этом рассматриваются лишь
положительные частоты, т.е.:
∆arg A(jω) = n *
0
2
(5)

36. Критерий Михайлова

Для устойчивости линейной САУ
необходимо и достаточно, чтобы
годограф Михайлова (5) А(jω),
начинаясь при ω = 0 на действительной
оси с ростом “ω” от “0” до “∞” обходил
последовательно “n” квадрантов против
часовой стрелки (где n – порядок
характеристического уравнения).

37.

Im
I
I
II
II
n=1
n=5
n=2
Re
ω=0
ω=0
n=2
Re
n=4
n=3
n=4
III
IV
Системы устойчивы
n=3
III
n=1
IV
Системы не устойчивы

38. ПРИМЕР

Определить предельный коэффициент Кпр при
котором САУ теряет устойчивость, если ее
структура имеет вид:
K
K
wp ( s)
(T1S 1)(T2 S 1)(T3 S 1) D( s)

39.

1. Найдем передаточную функцию
замкнутой САУ:
Wp ( s)
K
Ф( s )
1 Wp ( s) D( s) K
2. ХY САУ – это знаменатель ее
передаточной функции приравненный
к 0 т.е.:
A( s) D( s) K 0

40.

3. Годограф Михайлова (при s = jω):
А(jω) =D(jω) + К
0<ω<∞
4. Построим, вначале, D(jω):
D(jω) = (Т1jω+1)(T2jω+1)(T3jω+1)=Re(ω) + jIm(ω)
Re(ω) = 1 – (T1T2 + T1T3 + T2T3)ω2
Im(ω) = (T1 + T2 + T3)ω –T1T2T3ω3

41.

Im
II
Кпр определим из
уравнений
Im( ) 0
Re( ) К пр
I
D(jω)
Кпр
III
0
ω
ω=0
1
Re
IV

T1 T2 T3
T1T2T3
2
(Т1Т 2 Т 2Т 3 Т1Т 3 )(Т1 Т 2 Т 3 )
К пр
1
Т1Т 2Т 3

42. НЕДОСТАТОК критерия Михайлова

Годограф Михайлова не имеет
физической сущности (его нельзя
получить экспериментально). Между
тем при исследовании сложных систем
хотелось бы опираться на
характеристики получаемые не только
аналитически, но и экспериментально.

43. 2. Критерий Найквиста (1932)

Основан на использовании wp(s), которую
можно получить экспериментально.
Пусть:
Тогда:
M ( s)
Wp (s)
N ( s)
Ф( s )
Wp ( s)
1 Wp (s)
- ПФ разомкнутой САУ
M ( s)
M ( s) N ( s)
- ПФ замкнутой САУ

44.

Образуем функцию:
M ( s) N ( s)
F ( s ) 1 wp ( s )
N ( s)
- XY замкнутой САУ
- XY разомкнутой САУ

45. РАССМОТРИМ

1-й случай – разомкнутая САУ устойчива.
Тогда, согласно критерию Михайлова:
∆arg N(jω) = n*
0<ω<∞
2

46.

Чтобы система и в замкнутом состоянии
была устойчива необходимо чтобы:
M
(
j
)
N
(
j
)
n
*
∆arg
2
0<ω<∞
Это значит что: ∆arg F(jω)= 0
0<ω<∞

47. Изобразим F(jω) на комплексной плоскости

Im
неустойчивая САУ
устойчивая САУ
ω=∞
0
1
1+K
ω=0
F(jω)
Re

48. Сдвинем теперь F(jω) влево на “1” и получим, таким образом, wp(jω)

Im
неустойчивая САУ
ω=∞
K
Re
-1,j0
ω=0
wp(jω)
устойчивая САУ

49. Критерий устойчивости Найквиста:

Если разомкнутая САУ устойчива, то для
ее устойчивости в замкнутом состоянии
необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ
wp(jω) при 0<ω<∞ не охватывала точку с
координатами (-1; j0).

50. ПРИМЕР

Найти, используя критерий Найквиста,
предельный коэффициент Кпр при
котором САУ потеряет устойчивость
если:
K
Wp ( s)
(T1S 1)(T2 S 1)(T3 S 1)

51. По критерию Найквиста САУ находится на границе устойчивости если:

Кпр
(T1 j 1)(T2 j 1)(T3 j 1)
1
Kпр
Re( ) j Im( )
Полагая Im(ω ) = 0 найдем:
T1 T2 T3
T1T2T3
2

52.

Подставив 2 в Re(ω ) найдем:
(Т1Т 2 Т1Т 3 Т 2Т 3 )(Т1 Т 2 Т 3 )
К пр
1
Т1Т 2Т 3
Т.е. результат такой же, как и при
использовании критерия Михайлова.

53. Запасы устойчивости САУ – это количественные оценки степени устойчивости систем. Удобнее всего такие оценки (запасы) получить используя к

Запасы устойчивости САУ – это
количественные оценки степени устойчивости
систем. Удобнее всего такие оценки (запасы)
получить используя критерий Найквиста
Рассмотрим АФЧХ устойчивой САУ
Im
Im
h
∞=∞
-1, j0
Re
К
Re
ω=0
h
-1, j0
wp(jω)
Wp(jω) при 0<ω<∞ не охватывает т.(-1, j0).
Следовательно САУ устойчива.
ω1
ω1

54. САУ может потерять устойчивость по двум причинам:

а) увеличения К без изменения фаз - все
вектора wp(jω) увеличиваются и когданибудь САУ станет неустойчивой.
Очевидно, что увеличивать К можно
1
в h раз т.ч.
1
h
∆А=
- запас устойчивости САУ по
амплитуде.

55.

б) увеличения φ(ω) без изменения К – все
вектора характеристики wp(jω)
поворачиваются по часовой стрелке на
некоторые углы ∆φ. На рисунке видно на
какой угол ∆φ можно повернуть wp(jω) прежде
чем САУ потеряет устойчивость.
Im
ω=∞
1,j0
∆φ
wp(jω)
wp(jω)
Re

56.

Проводя окружность радиусом “1” можно
найти ту точку ω , которая попадет в
точку (-1; j0) если на частоте ω φ(ω )
увеличится на угол ∆φ.
Следовательно ∆φ – запас устойчивости
САУ на фазе.

57. Итак, существуют две количественные оценки степени устойчивости САУ

1) Запас “по амплитуде” - ∆А=
1
h
2) Запас “по фазе” - ∆φ
Недостаток частотных критериев
устойчивости – сложно строить кривые
А(jω) и wp(jω)

58. Анализ устойчивости САУ по логарифмическим характеристикам

АФЧХ можно построить в
логарифмическом масштабе в виде
двух характеристик:
L(ω) – логарифмической
амплитудной частотной характеристики
φ(ω) – фазовой частотной
характеристики.

59.

Тогда анализ устойчивости заметно
упрощается. Особенно просто строятся
т.н. асимптотические L(ω) – в виде
кусочно-прямолинейных характеристик.

60. РАССМОТРИМ вначале два элемента таких кусочно-ломанных L(ω)

РАССМОТРИМ
вначале два элемента таких кусочноломанных
L(ω)
L(ω)
Пусть:
60
40
20
1
1
0,1
1
ωc= T
10
φ(ω)
1
TS 1
ω
100
1000
2
-20дб/дек
0
Тогда:
W ( j )
A( )
1
j T 1
1
2T 2 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 20 lg 2T 2 1
-450
-900
W ( s)
φ(ω)= -arctgωT

61.

Пусть:
Тогда:
1
W ( s)
TS 1
1
W ( j )
j T 1
A( )
1
2T 2 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 20 lg 2T 2 1

62.

Приближенно:
при ω <
1
при ω > T
Итак L(ω) состоит из двух прямых
(асимптот):
1
1 – совпадающей с осью ω при ω < T
20 lg 1 0
L( )
20 lg 1 20 lg T
1
T
2 – имеющей наклон –20 дб/дек при ω >
1
T

63.

Частота ω = = ωс называется
сопрягающей.
1
T
На сопрягающей частота ωс =
φ(ω) = - arctg1 = -450
1
T
При ω→∞ φ(ω) = -arctg∞→ -900
ω→0 φ(ω) = -arctg0 →00

64. Итак, чтобы построить L(ω) и φ(ω) для этого элемента – w(jω) = нужно:

Итак, чтобы построить L(ω) и φ(ω) для
1
этого элемента – w(jω) = j T 1
нужно:
1. Найти сопрягающую частоту:
2. Вдоль оси ω построить участок 1 для
ω < ωс
3. Построить участок 2 с наклоном 20дб/дек для
ω < ωс

65.

4. По формуле φ(ω)= -arctgωT
задаваясь разными частотами 0<ω<∞
построить фазовую частотную
характеристику L(ω)

66.

Пусть теперь:
W ( s) TS 1
Тогда:
W ( j ) j T 1
A( ) 2T 2 1
Приближенно:
20 lg 1 0 при ω <
L( )
20 lg T при ω >
1
T
1
T

67.

Т.О. и здесь L(ω) состоит из двух
участков:
1 – вдоль оси ω до ω ≤ ωс =
1
T
2 – с наклоном +20дб/дек при ω >
1
Т

68.

L(ω)
40
+20дб/дек
20
1
II
I
10
100
φ(ω)
ω
1000
φ(ω)= +arctgωT
+900
+450
ω
1
10
100

69. Построение асимптотических L(ω) и φ(ω) для сложных САУ.

Пусть например:
100 (0,1S 1)
wp ( s)
S(S 1)(0,01S 1)
Заменив S→jω получим амплитуднофазовые частотные характеристики:
100(0,1j 1)
W(j )
j (j 1)(0,01j 1)

70.

Представим последнюю характеристику в виде
произведения характеристик элементарных
звеньев:
100
1
1
w( j )
*
* (0,1 j 1) *
0,01 j 1
j
j
1
3дифференцирующее
1интегратор
2 инерционное
звено
звено
4 инерционное
звено

71. Определим сопрягающие частоты:

wc1 1 1
c
1 1
wc 2
0,1 c
1 1
wc 3
0,01 c

72.

L(ω)
-20дб/дск
ωс1
60
ωс2
Построим участок 1:
W(iω) = 100/jω
A(ω)= 100/ω
L(ω)= 20 lg 100 – 20 lg ω
ωс3
1
40
При ω=1
-40
20
0,01
ωср
II
0,1
1,0
10
L(ω)= 20 lg 100= 40дб/дск
III
∆L
100
-20
–20
1000
ω1/с
IV
-40
–40
φ(ω)
0
0,1
1,0
10
ω1/c
100
-90
ω−π
-180
∆φ
φ(ω)
Построив участок 1 до ω= ωс1,
строим участок II. Изменив наклон
на -20дб/дск (т.к. скобка (jω+1) - в
знаменателе!!!).
Участок II продляем до ω= ωс2 с
наклоном -40дб/дск.
На ω ≥ ωс2 снова изменяем наклон,
но уже на +20дб/дск, т.к. скобка
(0,1S+1) стоит в числителе Wp(S).
Т.о. на участке III наклон снова
становится -20дб/дск до частоты ω=
ωс3. На частоте ωс3 наклон участка
IV снова равен -40дб/дск, т.к.скобка
(0,01S+1) стоит в знаменателе
Wp(S)

73. Фазовая характеристика φ(ω) САУ

складывается из фазовых характеристик
отдельных звеньев Wp(S):
• φ(ω) = –90°−(arctg1ω)+(arctg0,1ω) –
(arctg0,01ω)

74. Для ее построения удобно построить таблицу

ω1=1
ω2=10
ω3=100
ω4
ω5
φ1
-90
-90
-90
-90
-90
φ2
φ3
-45
+
-45
+
+
+
φ4
φ
-
-
-45
-
-
Фазовая характеристика строится по точкам под
амплитудной,
причем масштаб по оси “ω” тот же.

75.

• Об устойчивости САУ судят по
расположению точек пересечения L(ω)
оси частот ωср –частота среза и φ(ω)
оси -180°.

76. Критерий устойчивости по ЛАЧХ

• Для устойчивости линейных САУ необходимо и
достаточно, чтобы:
ωср < ω−π
• Логарифмические характеристики позволяют
определить запасы устойчивости:
∆L (дб) – запасы по амплитуде
∆φ (град) – запас по фазе
как это показано на рисунке.
English     Русский Правила