Задачи аксиом геометрии

1. Задачи аксиом геометрии

*
Выполнила Смирнова Екатерина

2. Задача 1

*
* Доказать, что на каждом луче есть хотя бы одна точка.
Решение:

3. Задача 2

*
* Доказать, что если точка А лежит на прямой а, а
точка В не лежит на этой прямой, то все точки луча
АВ лежат в одной полуплоскости с границей а.
* Решение:

4. Задача 3

*
* Доказать, что если луч исходит из вершины
неразвернутого угла и проходит через точку
внутренней области этого угла, то все точки луча
лежат во внутренней области угла.
Решение:

5. Задача 4

*
* Доказать, что если прямая пересекает сторону АВ
треугольника АВС и не проходит через вершину этого
треугольника, то она пересекает либо сторону ВС, либо
сторону АС.
* Решение:

6. Задача 5

*
* Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и
проходит через точку внутренней области этого угла, то он делит этот угол
на два угла.
Решение:
Рассмотрим угол АОВ, через точку С внутренней области которого проведен луч ОС
(рис. 246). Требуется доказать, что внутренние области углов АОС и БОС лежат по
разные стороны от прямой ОС.
Пусть D — произвольная точка луча с началом О, являющегося продолжением луча
ОА. Точки А, В и D не лежат на прямой ОС, и эта прямая пересекает сторону AD
треугольника ABD. Следовательно, она пересекает либо сторону АВ, либо сторону
BD (см. задачу 4). Но точка D не лежит во внутренней области угла АОВ — она
лежит в полуплоскости с границей ОВ, не содержащей точку А. Поэтому все точки
луча BD не принадлежат внутренней области угла АОВ (см. задачу 2), а значит, луч
ОС не может пересечь сторону BD — все точки этого луча принадлежат внутренней
области угла АОВ (см. задачу 3). Следовательно, он пересекает сторону АВ. Это
означает, что точки А и Б, а значит, и лучи ОА и ОВ (см. задачу 2), лежат по разные
стороны от прямой ОС. Но тогда и внутренние области углов АОС и ВОС лежат по
разные стороны от прямой ОС. Утверждение доказано.

7. Задача 6

*
* Доказать, что если основание и высота одной прямой
треугольной призмы соответственно равны основанию и
высоте другой прямой треугольной призмы, то такие
призмы равны.

8.

* Решение: