Методы решения иррациональных уравнений

1. Методы решения иррациональных уравнений

2. Метод возведения в степень

Пример 1.
5х 1 2х 1
5х – 1 = 4х2 – 4х + 1
4х2 – 9х + 2 = 0
9 7
х1,2 =
8
1
4
1
Проверка: х =
4
Ответ: 2.
х1 = 2
х2 =
посторонний корень

3.

Пример
2.
8 х 1 3х 5 7 х 4 2 х 2
8 х 1 2 х 2 7 х 4 3х 5
8х + 1 + 2х – 2 – 2 (8х 1)(2 х 2) = 7х + 4 + 3х – 5 – 2 (7 х 4)(3х 5)
(8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5)
х = 3;
6
Проверка: х= 5
Ответ: 3.
х=-
6
5
посторонний корень

4. Пример 3.

х 3 х 3... 3 2
х 3 х 3 х... 3 4
3х2 х 3 х... 3 16 т.к.
х 3 х 3... 3 2 , то
3х2 . 3 2 3 16
3х2 = 2
2
3
х 1= -
Проверка: х = .
Ответ:
2
3
2
3
х2 =
2
3
посторонний корень

5. Метод составления смешанной системы

( x) 0,
Решение
Решениеуравнений
уравненийвида
вида f ( x) ( x) f ( x) 2 ( x)
Пример.
x x 2 4,
f ( x) ( x),
x 2 x 4;
f ( x) ( х) f ( x) 0,
( либо ( x) x 0 ).4,
x 4 0,
x 4,
2
x 7, x 7.
2
x 2 ( x 4) ;
x 9 x 14 0;
x 2;
Ответ: 7.

6. Метод введения новой переменной

Пример 1.
х 32 24 х 32 3
Пусть
4
х 32 а ; а 0
а2 -2а – 3 =0
а1 = -1 не удовлетворяет условиюа 0
а2 = 3
х 32 3
х + 32 = 81
х = 49
4
Ответ: 49.

7.

Пример 2.
х 3 4 х 1 х 8 6 х 1 1
Пусть
х 1 у,
у 0
х = у2 + 1
у 4у 4 у 6у 9 1
2
2
у 2 2 у 3 2 1
|y – 2| + |y – 3| = 1

8.

1) у 2
2) 2 у 3
у=2
1=1
2 y 3 y 1
у 2 3 у 1
2 у 3
Решений нет
2 х 1 3
4 х 1 9
5 х 10
Ответ: [5; 10]
3) у 3
у 2 у 3 1
у=3
Решений нет

9. Метод разложения подкоренного выражения на множители

Пример.
2 х 2 21х 11 2 х 2 9 х 4 18 х 9
(2 х 1)( х 11) (2 х 1)( х 4) 3 2 х 1 0
2х 1
х 11 х 4 3 0
2х – 1 = 0 или
х = 0,5
х 11 х 4 3
х 11 х 4 6 х 4 9
6 х 4 16
решений нет
Проверка:
Ответ:
1
1
1
1
1
2 21 11 2 9 4 18 9
4
2
4
2
2
0,5.
11 11 4 4 0
верно

10. Метод умножения на сопряженное выражение

Пример.
(1)
2
2
3 х 2 5 х 8 3 х 2 5 х 1 1 | . ( 3х 5 х 8 3х 5 х 1 )
3х 5 х 8 3х 5 х 1
2
2
2
2
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1 = 7
Сложим данное
уравнение с
уравнением (1),
получим:
2 3х 2 5 х 8 8
|:2
3х 2 5 х 8 4
3х2 + 5х + 8 = 16
3х2 + 5х – 8 = 0
х =
1
Проверкой убеждаемся, что
8
; 1.
Ответ:
3
8
3
х1 , х2
х2 = 1
- корни уравнения.

11. Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений

Пример 1.
3
х 1 1 х 2
3 х 1 а,
x 1 a 3 ,
2
х
2
b
,
b
0
,
x
2
b
,
a b 1;
a b 1;
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
3
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0
2
х 1 0
х=-1
Ответ: -2; -1; 7.
1 a 3 b 2 ,
a b 1;
a2 = 1
3
х 1 1
х=-2
1 a 3 b 2 ,
b 1 a;
a3 = 3
х 1 2
х=7

12. Использование монотонности

Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.
Пример.
2 х 1 5х 5 8
f(x) =
f(x) = 8
x=4
Ответ: 4.
2 х 1 5х 5
1
возрастает на D(f) = [ ; )
2

13. Самостоятельная работа

Задание: решите уравнение.

14. При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ

?
Ответ

15. Пример 1.

х х х... 2
?
Ответ

16. Пример 2.

2 х
2 х
4
3
2 х
2 х
?
Ответ

17. Пример 3.

х 3 х 2х 7
2
?
Ответ

18. Пример 4.

2 х 8х 7 2 х 8х 7 2 х
2
?
2
Ответ

19. Пример 5.

3
?
х 34 х 3 1
3
Ответ

20. Пример 6.

х 2 2х 5 х 2 3 2х 5 7 2
?
Ответ

21. Пример 7.

3
?
2х 1 7 х 6 2
8
Ответ

22. Пример 8.

х 4 х 3 х 3х 2 х х
2
2
?
2
Ответ

23.

х х х... 2
Пример 1.
х х... 4
х
Т.к.
х х х... 2 , то
2х = 4
х=2
Проверка:
1
2
1
4
1
8
2 2 2 ... 2
1 1 1
...
2 4 8
1
2
1
1
2
2
21 2
Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле
a1
S
1 q
next

24.

Пример 2.
Пусть
2 х
2 х
4
3
2 х
2 х
2 х
у,
2 х
y > 0.
next
Получим уравнение
4
у 3
у
Тогда у2 + 3у – 4 = 0
у1 = 1, у2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0)
2 х
1
2 х
2–х=2+х
х=0
Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения
Ответ: 0.

25. Пример 3.

х 3 х 2х 7
2
х 4,
х 3 х 2 х 7,
х 3х 4 0,
х 1,
х 3 0;
х 3;
х 3;
2
2
х=4
Ответ: 4.
next

26.

Пример 4.
(1)
2 х 2 8х 7 2 х 2 8х 7 2 х | ∙ ( 2 х 2 8 х 7 2 х 2 8 х 7 )
2 х 8 х 7 2 х 8 х 7 2 х 2 х 8 х 7 2 х 8 х 7
2
2
2
2
2
2
2 х 2 х 2 8 х 7 2 х 2 8 х 7 16 х
х=0 или
2 х 8х 7 2 х 8х 7 8
2
2
Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим
2 2 х 2 8х 7 2 х 8
2 х 2 8х 7 х 4
Ответ: -3; 0; 3.
х 4,
х 4 0,
х 3,
х 3,
2
2
х 3.
2 х 8 х 7 ( х 4) ;
х 3;
next

27.

Пример 5.
3
х 34 3 х 3 1
3 х 34 а,
a 3 x 34,
3
a 3 b3 37,
3
х 3 b, b x 3,
a b 1;
a b 1;
a b 1;
(a b)( a 2 ab b2 ) 37,
a 2 ab b2 37,
a b 1,
2
a b 1;
a b 1;
3b 3b 36 0;
a b 1,
a b 1,
2
b 3,
b b 12 0;
b 4.
Ответ: -61; 30.
1)
3
x 3 3
х – 3 = 27
х = 30
2)
3
x 3 4
х – 3 = -64
х = -61
next

28.

Пример 6.
х 2 2х 5 х 2 3 2х 5 7 2
Пусть
2 х 5 у,
2х – 5 = у2
у 0
у2 5
х
2
у2 5
2 у
2
у2 5
2 3у 7 2
2
у 1 2 у 3 2 7 2
2
|y + 1| + |y + 3| = 14,
Ответ: 15.
у + 1 + у + 3 = 14
2у = 10
у=5
Тогда х = 15.
2
|
2
т.к. у 0, то |y + 1| = y + 1,
|y + 3| = y + 3
next

29.

Пример 7.
3
2х 1 8 7 х 6 2
Пусть f(x) =
3
2х 1 8 7 х 6
D(f) = 6 ; )
7
Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то
уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня
на указанном промежутке.
Подбором определяем: х = 1.
Ответ: 1.
next

30. Метод возведения в степень

х 3 х 3... 3 2
х 3 х 3 х... 3 4
3х2 х 3 х... 3 16 т.к.
х 3 х 3... 3 2 , то
3х2 . 3 2 3 16
3х2 = 2
2
3
х 1= -
Проверка: х = .
Ответ:
2
3
2
3
х2 =
2
3
посторонний корень
назад

31. Метод введения новой переменной

х 32 24 х 32 3
Пусть
4
х 32 а ; а 0
а2 -2а – 3 =0
а1 = -1 не удовлетворяет условиюа 0
а2 = 3
х 32 3
х + 32 = 81
х = 49
4
Ответ: 49.
назад

32. Метод составления смешанной системы

Решение уравнений вида
f ( x) ( x),
f ( x) ( х) f ( x) 0,
( либо ( x) 0).
назад

33. Метод умножения на сопряженное выражение

(1)
2
2
3 х 2 5 х 8 3 х 2 5 х 1 1 | . ( 3х 5 х 8 3х 5 х 1 )
3х 5 х 8 3х 5 х 1
2
2
2
2
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1 = 7
3х 2 5 х 8 4
3х2 + 5х + 8 = 16
3х2 + 5х – 8 = 0
х =
1
Проверкой убеждаемся, что
8
; 1.
Ответ:
3
8
3
х2 = 1
х1 , х2 - корни уравнения.
назад

34. Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений

3
х 1 1 х 2
3 х 1 а,
x 1 a 3 ,
3
3
1
a
b
,
2
х 2 b, b 0, x 2 b ,
a b 1;
a b 1;
a b 1;
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
3
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0
2
х 1 0
х=-1
Ответ: -2; -1; 7.
a2 = 1
3
х 1 1
х=-2
1 a 3 b3 ,
b 1 a;
a3 = 3
х 1 2
х=7
назад

35. Использование монотонности

Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.
Пример.
2 х 1 5х 5 8
f(x) =
2 х 1 5х 5
1
возрастает на D(f) = [ ; )
2
f(x) = 8
x=4
Ответ: 4.
назад

36.

Метод введения новой переменной.
х 3 4 х 1 х 8 6 х 1 1
Пусть
х 1 у,
у 0
х = у2 + 1
у 4у 4 у 6у 9 1
2
2
у 2 2 у 3 2 1
|y – 2| + |y – 3| = 1

37.

1) у 2
2) 2 у 3
у=2
1=1
2 y 3 y 1
у 2 3 у 1
2 у 3
Решений нет
3) у 3
у 2 у 3 1
у=3
Решений нет
2 х 1 3
4 х 1 9
5 х 10
Ответ: [5; 10]
назад

38. Метод разложения подкоренного выражения на множители

Пример.
2 х 2 21х 11 2 х 2 9 х 4 18 х 9
(2 х 1)( х 11) (2 х 1)( х 4) 3 2 х 1 0
2х 1
х 11 х 4 3 0
2х – 1 = 0 или
х = 0,5
х 11 х 4 3
х 11 х 4 6 х 4 9
6 х 4 16
решений нет
Проверка:
Ответ:
1
1
1
1
1
2 21 11 2 9 4 18 9
4
2
4
2
2
0,5.
11 11 4 4 0
верно
назад

39.

( х 1)( х 3) ( х 1)( х 2) х( х 1)
х 4 х 3 х 3х 2 х х
2
2
х 1
х 1 0
х=1
2
х 3 2 х х 0
или
х 3 2 х х 0
х 3 х 2 х
х 3 х 2 х(2 х) 2 х
2 х( 2 х) 5 х
4(2 х х 2 ) 25 10 х х 2
5 х 2 18 х 25 0
Ответ: 1.
D < 0, решений нет
next

40.

Проверка: х =
1
4
2
3
х 3 х 3... 3 2
1
16
1
16
2
2
2
3 3 ...
3
3 1
3
1
1
4
1
3
1 1
...
4 16
3
1 1
...
4 16
1
3
2
2
3 3 2 3 2.
3
3
3
3
Показатели степени образуют бесконечную
убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле
a1
S
1 q
назад

41. М о л о д е ц !

Молодец!