Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела. Движение материальной точки

1. Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела

Движение материальной
точки

2. Материальная точка – физическая модель объекта

Модель – абстрактная система, являющаяся
упрощенной копией реальной системы.
Материальная точка – тело, размерами
которого можно пренебречь в условиях
данной задачи.
Движение тел происходит в пространстве и
времени.
Следовательно, для описания движения
материальной точки надо знать, в каких
местах пространства эта точка находится в
различные моменты времени.

3. Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому произвольно выбранному телу.

Положение материальной точки
определяется по отношению к какомулибо другому произвольно выбранному
телу.
Тело отсчета – условное неподвижное тело,
относительно которого определяется
положение движущегося тела.
Тело отсчета – реальный объект.
С телом отсчета связывают
систему координат – это абстракция
(декартова с.к., сферическая с.к.).

4.

Приборы, служащие для определения
положения движущегося тела – линейка
и т.п.
Прибор, служащий для определения
времени – часы – любой периодический
процесс.
Если есть несколько тел и,
соответственно, несколько часов, то
необходимы приборы для
синхронизации часов.

5.

Тело отсчета, связанная с ним система
координат, линейка, часы и приборы
для синхронизации часов составляют
пространственно-временную систему
отсчета.
Гелиоцентрическая СО – тело отсчета
Солнце.
Геоцентрическая СО – тела отсчета
Земля.

6. Положение материальной точки в системе отсчета Наиболее часто используется декартова система отсчета.

y
j
x – ось абцисс
(абцисса),
y – ордината,
z – аппликата.
y
0
x
k
i
z
z
x

7. Положение материальной точки характеризуется тремя координатами (x,y,z) или радиус-вектором

r xi yj zk ,
i,
y
j,
единичные вектора
(орты).
i j k 1.
j
r x y z .
2
y
0
x
k
i
z
z
k
x
2
2

8. При движении материальной точки её координата с течением времени изменяется.

Движение материальной точки
определяется скалярными уравнениями
x x t ;
y y t ;
z z t ,
или векторным уравнением r r t .
Эти уравнения называются
кинематическими уравнениями
движения материальной точки.

9. Траектория точки. Длина пути. Вектор перемещения (перемещение). Принцип независимости движения

Траектория точки. Длина пути.
Вектор перемещения (перемещение).
y
r1
0
Принцип независимости движения
Число независимых
S
координат, полностью
определяющих положение
Δr
точки в пространстве,
r2
называется число
степеней свободы.
x
r t - радиус вектор.
Траектория – кривая, которую описывает
радиус вектор материальной точки при её движении.
В зависимости от формы траектории движение разделяется на
- прямолинейное, - криволинейное.

10. Расстояние, отсчитанное вдоль траектории, (длина участка траектории) называется длиной пути S. - скалярная функция.

Расстояние,
отсчитанное
вдоль
траектории, (длина участка траектории)
называется
длиной
пути
S.
S t - скалярная функция.
Направленный отрезок прямой
(вектор), соединяющий
S
y
r
начальную и конечную точки
Δr
траектории называется
r
вектором перемещения
0
x (перемещением).
1
2
r r2 r1;
r S .

11. При прямолинейном движении

r S
Если движение происходит в течение
бесконечно малого времени Δt → 0, то
по модулю путь равен перемещению
dS dr .

12. Если материальная точка участвует в нескольких перемещениях,

то результирующее перемещение равно
векторной сумме перемещений,
совершаемых материальной точкой в каждом
из движений в отдельности:
r ri .
y
Δ r1
r r1 r2
Δr
Δ r2
x

13. Скорость движения материальной точки. Понятие о кривизне

Для характеристики движения материальной точки
вводится понятие скорости – векторная величина.
S1
Δ r1
v ср1
Δ r2
v ср2
Материальная точка
движется по
криволинейной
траектории.
За время Δt1 точка
проходит путь S1 и
получает приращение
Δr1 ,
За время Δt2 – Δr2 .

14. Вектор средней скорости – отношение перемещения к промежутку времени

r1
vср1
;
t1
r2
vср 2
;
t 2
r
vср v
;
t
v r .
Вектор средней скорости характеризует
изменение положения радиус-вектора.
t 0
v стремится к
Если
предельному значению.

15. Мгновенная скорость материальной точки

– векторная величина, равная первой
производной радиус-вектора
движущейся точки по времени.
r dr
v lim
t 0 t
dt
t 0
dr dS , следовательно,
модуль мгновенной скорости равен
первой производной пути по времени:
dS
v v .
dt

16. В математике производной функции

y f x
в точке x0 называется предел отношения
изменения функции Δy в этой точке к
вызвавшему его изменению аргумента Δx
при произвольном стремлении Δx к нулю
dy
y
y x y x lim
.
x 0 x
dx

17. Физический смысл производной:

это среднее значение изменения функции на
таком интервале, на котором среднее
значение функции не меняется.
Мгновенная скорость
dr dx dy dz
v
i
j k.
dt dt
dt
dt
dx
dy
dz
vx ;
vy ;
v z – проекции
dt
dt
dt вектора скорости
2
2
2
v vx v y vz .
на оси координат.

18. Неравномерное движение

y
Средняя скорость неравномерного
S – скалярная
движения
v
величина.
t
S
r1
S r
Δr
r2
0
x
v v
Средняя скорость больше модуля
вектора средней скорости.

19. Вычисление пройденного пути. Понятие об интеграле

v
ti 0.
2
1
vi – мгновенная
скорость.
S i vi ti .
0
n
t1
Δ ti
t2
t
(1)
n
S S i vi ti .
i 1
( 2)
i 1
n
t2
S lim v t dt v t dt.
t 0 i 1
t1
(3)

20.

2
1
v
0
t1
Δ ti
t2
t
Физический смысл интеграла –
бесконечно большая сумма бесконечно
малых слагаемых.
Геометрический смысл интеграла –
площадь под кривой, ограниченная двумя
перпендикулярами и осью абсцисс.

21. Средняя скорость прохождения пути

S
vср .
t
(4)
Средняя скорость неравномерного
движения – средняя скорость такого
равномерного движения, при котором
материальная точка за то же время
проходит тот же путь.

22. Ускорение

1
y
v v2 v1.
v1
(1)
2
v2
Δv
Мгновенное ускорение
v2
v dv
a lim
v t v t .
t 0 t
dt
2
dv d dr d r
a
2 . (3)
dt dt dt dt
x
(2)

23.

Модуль среднего ускорения:
a
2
d S
dt
.
2
( 4)
Ускорение движения материальной точки это
первая производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от радиусвектора по времени.
a axi a y j az k ,
a x , a y , a z – проекции вектора ускорения на координатные оси.
dvx d 2 x
ax
2;
dt
dt
dv y d 2 y
ay
2 ;
dt
dt
dvz d 2 z
az
2.
dt
dt
a a x2 a y2 a z2 .

24. Понятие о кривизне

v1
ΔS
1
v1
2
Δφ
Δφ
v2
Δφ - угол между
касательными в
точках, отстоящих друг
от друга на расстоянии
ΔS.
Кривизна
d
C lim
.
S 0 S
dS

25. Кривизна траектории характеризует

скорость поворота касательной при
движении или степень искривленности
кривой.
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть величина обратная кривизне
1
R .
C
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть радиус окружности, которая
сливается на бесконечно малом участке
в данном месте с кривой.

26. Нормальное и тангенсальное ускорения при криволинейном движении

Δ vτ
Разложим вектор Δv на
две составляющие.
v1
Δ vn
v2
Δv
v2
v v2 v1;
v v vn .
dv d R d
dR
a
R
dt
dt
dt
dt
2
v
2
R v R R R R
R .
R
a
an

27. Нормальное и тангенсальное ускорение

aτ
v
an
a
dv
a
an a .
(1)
dt
an нормальное ускорение
характеризует изменение
скорости по направлению.
Вектор an направлен в
данной точке
перпендикулярно
скорости к центру
кривизны траектории
(центростремительное
ускорение).

28. – тангенсальное ускорение характеризует

a – тангенсальное ускорение характеризует
aτ
изменение скорости по
величине и направлено
вдоль скорости (или в обратную сторону).
dv
a . (3)
dt
v
an
a
2
2
a an a .
(4)
Любое криволинейное движение можно
представить
как
суперпозицию
поступательного
и
вращательного
движений.

29. Основная задача механики

Состоит в нахождении закона движения –
кинематического уравнения.
Закон движения – зависимость
положения тела от времени в
выбранной системе отсчета.
r r t .
x x t ,
y y t ,
z z t .
(1)
(2)

30. Понятие об абсолютно твердым телом (АТТ). Поступательное и вращательное движение

Абсолютно твердое тело – это модель,
тело расстояние между любыми двумя
точками которого в процессе движения
не меняется.

31. Поступательное движение – движение,

2
1
2
1
при котором любая
прямая проведенная
внутри тела,
перемещается
параллельно самой
себе.
При поступательном движении все точки тела за одно и
тоже время совершают одинаковые перемещения и в
один и тот же момент времени имеют одинаковые
скорости и ускорения.

32. Абсолютно твердое тело

• Поступательное движение АТТ можно
рассматривать, как движение
материальной точки.

33. Кинематические уравнения.

1. Равномерное
движение
материальной
точки
вдоль оси x.
a 0
x t x0 v0 t ,
x0 – начальная координата.

34. Кинематические уравнения.

2. Равнопеременное движение.
2
at
x x0 v0t
,
2
v v0 at.

35. Вращательное движение АТТ относительно неподвижной оси – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры

которых лежат на прямой, называемой осью
вращения.
Δφ
R 1
R 2
При вращательном движении
точек тел, находящихся на
разном расстоянии от оси
вращения, они за одно и то
же время совершают разные
перемещения и в один и тот
же момент времени имеют
разные v и a.

36. В то же время радиус-вектор, соединяющий точки тела с осью вращения, за одно и то же время поворачивается на один и тот же угол

Δφ.
Δφ
R 1
R 2
• Угол поворота служит для
определения положения
тела и закон движения –
кинематическое уравнение
имеет вид
t .

37. Вектор элементарного угла поворота. Вектор угловой скорости и углового перемещения. Связь линейных и угловых характеристик

движения
dφ
ω
d
v
• Положение
материальной точки,
R
совершающей
вращательное движение,
определяется
углом
поворота d .
– векторная величина (псевдовектор, аксиальный
вектор).
Модуль
равен углу поворота.
d
Направление определяется правилом правого
винта.

38. Угловая скорость

– векторная величина, равная первой
производной угла поворота по времени
d
рад
,
(1 )
d ,
.
dt
сек
Линейная скорость точки
S
R
v lim
lim
R lim
R .
t 0 t
t 0 t
t 0 t
В векторном виде
v , R .
(2)

39. В векторном виде

v , R .
(2)
Векторное произведение по
модулю равно
v R sin , R.
α
ω
R
v
Направление вектора v
совпадает с направлением
поступательного движения
правого винта при его
вращении от вектора ω к
R.

40. Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени

Угловое ускорение – векторная величина,
равная первой производной
угловой
скорости
2
d d
по времени
dt
dt
2
.
(3)
При ускоренном движении ;
при замедленном движении
.
ε
aτ
an
an
v
ω 1
ω 2
ε
d
0
dt
ω 2
aτ
d
0
dt
ω 1
v

41. Кинематическое уравнение равномерного вращения

0
0 t .
Частота вращения:
Период: T
2
.
N
n ;
t
1
n .
T

42. Кинематическое уравнение равнопеременного вращения

0 t
t
const
2
2
.
Длина пути, пройденного точкой по дуге
радиуса R:
S R;
Sокр 2 R.

43. Скалярное и векторное произведение векторов

● Скалярное произведение:
С A B cos ,
A, B.
Пример: работа, совершаемая силой
A FS cos .

44. ● Векторное произведение:

C A, B ,
C A B sin .
C
B
α
A
Направление вектора С
определяется по правилу
правого винта:
1. С перпендикулярен
плоскости векторов А, В.
2. Направление вектора С
совпадает с направление
поступательного
движения правого винта
при его вращении от А к
В.
Другое правило: если наблюдать с конца вектора С, то кратчайший
поворот от А до совмещения с В – против часовой стрелки.