Решение задач по теме "Параллельность прямой и плоскости"

1.

2.

Определение
Две прямые в пространстве называются
параллельными, если
1) они лежат в одной плоскости и
2) не пересекаются
b
a
2

3.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она
параллельна этой плоскости.
a
b

4.

Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
a II
Следствие 10
a
b
b II a
4

5.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной
плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Следствие 20
а
b
a II b
a II
b II
b
5

6.

О.
Пр.
а
а
в
a¢α
а ||
а ||
а || в
в
У1
β
у2
а
а
а
в
в
а ||
а β
а ‫ ׀׀‬в
β = в
в
а ||
а || в
в ||
или
в

7.

8.

9.

№ 26 (учебник)
Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а
стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М
и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.
Доказательство
1. По утверждению 1° : МN || АC. Тогда угол А = углу
ВМN (как односторонние при параллельных прямых).
2. угол В - общий.
З. Таким образом, по двум углам треугольник АВС
подобен треугольнику МВN.

10.

№ 28
На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D
и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и
С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС.
Решение:
Из условия задачи № 26: треугольник АВС подобен
треугольнику АDЕ.
Тогда АВ/АD = ВС/DЕ, 5/3 = х/5, х = 25/3, х = 81/3.
Ответ: 81/3.

11.

В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что BD : BA = 1 : 3.
Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает
отрезок ВС в точке D1.
а) Докажите, что треугольник DBD1 подобен треугольнику АВС
б) Найдите АС, если DD1 = 4 см.

12.

На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка А1, так, что DA1 = 4 см. Плоскость,
параллельная диагонали АС, проходит через точку А1 и пересекает сторону CD в точке С1.
а) Докажите, что треугольник C1DA1 подобен треугольнику АВС
б) Найдите АС, если BC = 10 см, A1C1 = 6 см

13.

1. Точка D лежит на отрезке АВ, причем BD : BA = 1 : 4.
Через точку А проведена плоскость α, через точку D –
отрезок DD1, параллельный α. Прямая BD1, пересекает
плоскость α в точке С.
а) Докажите, что треугольник DBD1 подобен
треугольнику АВС
б) Найдите DD1, если АС =12 см.
2. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка
С1, так, что ВС1 = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали
АС, проходит через точку С1 и пересекает сторону АВ в
точке А1.
а) Докажите, что треугольник C1ВA1
подобен
треугольнику АDС
б) Найдите АD, если AC = 12 см, A1C1 = 4 см