Усеченный конус

1. Усеченный конус.

МОУ СОШ
№256
г.Фокино

2.

Усеченным конусом
называется часть
полного конуса,
заключенная между
основанием и секущей
плоскостью,
параллельной
основанию. Круги,
лежащие в
параллельных
плоскостях,
называются
основаниями
усеченного конуса.

3.

Образующей
усеченного конуса
называется часть
образующей
полного конуса,
заключенная между
основаниями.
Высотой усеченного
конуса называется
расстояние между
основаниями.

4.

?
Пусть в конусе,
высота которого
известна,
проведено сечение,
находящееся на
расстоянии три от
вершины. Чему
равна образующая
получившегося
усеченного конуса,
если известна
образующая
полного конуса?
8

5.

Усеченный конус
можно
рассматривать как
тело, полученное
при вращении
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основанию.

6.

?
Пусть дан
усеченный конус,
радиусы оснований
и высота которого
известны. Найдите
образующую
усеченного конуса.
8

7.

Прямая,
соединяющая
центры оснований,
называется осью
усеченного конуса.
Сечение, проходящее
через ось,
называется осевым.
Осевое сечение
является
равнобедренной
трапецией.

8.

?
Найдите площадь
осевого сечения,
если известны
радиус нижнего
основания, высота
и образующая.
36

9. Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой
поверхности усеченного
конуса равна
произведению
полусуммы длин
окружностей оснований
на образующую.

10. Доказательство:

Боковую поверхность
усеченного конуса
будем понимать как
предел, к которому
стремится боковая
поверхность вписанной
в этот конус
правильной усеченной
пирамиды, когда число
боковых граней
неограниченно
увеличивается.

11. Доказательство:

Впишем в конус
правильную пирамиду.
Ее боковая
поверхность состоит из
трапеций.
sбок.пир
р Р
h
2
S бок.пир S бок.кон
р с Р С h l
с 2 r C 2 R
2 R r
l R r l
2

12.

Замечание:
Площадь боковой
поверхности
усеченного конуса
можно рассматривать
как разность между
площадями боковых
поверхностей двух
конусов. Поэтому
развертка усеченного
конуса – это часть
круглого кольца.

13.

?
Усеченный конус
получен от вращения
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основаниям, Найдите
площадь боковой
поверхности усеченного
конуса, если известны
основания и боковая
сторона трапеции.
16 10

14. Задача.

• Радиус меньшего
основания усеченного
конуса равен 5, высота
равна 6, а расстояние
от центра меньшего
основания до
окружности большего
основания равно 10.
Найдите площадь
боковых поверхностей
усеченного и полного
конусов.

15.

Решение:
Достроим
усеченный конус до
полного и проведем
осевое сечение.

16.

Решение:
1) Вычислим радиус большего основания.
ОО1С :
d H R
2
2
2
R d H 10 6 8
2
2
2
2

17.

Решение:
2) Найдем боковую сторону трапеции –
образующую усеченного конуса.
ВКС :
СК R r 3
ВС ВК СК
2
2
2
l H CK 6 3 3 5
2
2
2
2

18.

Решение:
3) Используя подобие треугольников, найдем
образующую полного конуса.
SC L
SO1C ~ BKC
SC O1C
BC KC
L
8
3 5 3
L 8 5

19.

Решение:
4) Подставим найденные значения в формулы
для площадей боковой поверхности полного и
усеченного конусов.
L 8 5
l 3 5
S усеч R r l 39 5
S полн RL 64 5

20. Формула объема усеченного конуса.

• Объем усеченного конуса
равен сумме объемов трех
конусов, имеющих
одинаковую высоту с
усеченным конусом, а
основаниями: один –
нижнее основание этого
конуса, другой – верхнее, а
третий – круг, радиус
которого есть среднее
геометрическое между
радиусами верхнего и
1
V H R 2 r 2 Rr нижнего оснований.
3

21. Доказательство:

Поместим на верхнем
основании усеченного
конуса малый конус,
дополняющий его до
полного и рассмотрим
объем его как разность
объемов двух конусов.
1 2
1 2
V усеч .кон Vполн Vдоп R x r h
3
3

22.

Доказательство:
Вычислим высоту полного конуса из подобия
треугольников.
SO1 B ~ AKB
x
H
R R r
R
x H
R r

23.

Доказательство:
SOA ~ SO1 B
h r
x R
1 2
r h
2
2
3
Vдоп 3
r h r r r
2 2 3
Vполн 1 R 2 x R x R R R
3
Объемы полного и дополнительного конусов
относятся как кубы радиусов оснований.

24.

Доказательство:
Вычтем из объема большого конуса объем
малого конуса.
r3
V усеч Vполн Vдоп Vполн
3
Vполн
R
3
1 2
r
R x 1 3
3
R
2
3
3
1 R HR R r
3
3 R r R
1
R r R 2 Rr r 2
H
3
R r
1
2
2
H R Rr r
3

25.

?
Найдите объем
усеченного
конуса, если
известны его
высота и радиусы
оснований.
149π

26. Подобные цилиндры и конусы.

• Подобные цилиндры
или конусы можно
рассматривать как
тела, полученные от
вращения подобных
прямоугольников или
прямоугольных
треугольников.

27.

Сечение, параллельное основанию конуса,
отсекает от него малый конус, подобный
большому.
r h l
R
H
L
Vдоп. r 3
h3
3 3
Vполн. R
H
S бок.доп
2 rl
r
h
2 2
S бок.пол н 2 RL R
H
2
2

28.

?
В цилиндре
проведено сечение,
параллельное
основанию. Будет ли
малый цилиндр,
который отсекается
этим сечением,
подобен большому?

29.

Площади боковых
поверхностей
подобных
цилиндров и
конусов относятся
как квадраты
радиусов или высот,
а объемы – как кубы
радиусов или высот.
2
2
s r
h
2 2
S R
H
3
3
v r
h
3 3
V R
H

30.

?
В конусе, высота
которого известна,
проведено сечение,
параллельное
основанию. Известно
также соотношение
объемов малого и
большого конусов. На
каком расстоянии от
основания находится
сечение?
2

31.

Радиусы оснований
усеченного конуса
относятся как 2:3.
Высота конуса
разделена на три
равные части, и
через точки
деления проведены
плоскости,
параллельные
основаниям.
Найти, в каком
отношении
разделился объем
усеченного конуса.
Задача.

32.

Решение:
Зная, что радиусы оснований конуса
относятся как два к трем, обозначим радиусы
как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение
конуса.

33.

Решение:
1) Используя подобие, найдем радиусы
проведенных сечений.
СН 4 3а 2а а
1
а
Н 2 В2 СН 4
3
3
2
2а
Н 3 В3 СН 4
3
3
a 7
R1 2a a
3 3
2a 8
R2 2a
a
3 3

34.

Решение:
2) Достроив усеченный конус до полного,
найдем, какую часть от полного конуса
составляют меньшие конусы.
V – объем наибольшего конуса
V SO
1
V
2a 2 6
3a 3 9
3
3
3
3
3
3
3
7
a
V SO 3
73
3
3
V
3a 9
3
8
a
V SO 3
83
3
3
V
3a 9
2
3

35.

Решение:
3) Определим, какую часть от объема полного
конуса составляют усеченные конусы,
расположенные между соседними сечениями
и найдем отношение объемов этих конусов.
7 3 63
127
V1 V SO V SO
V 3 V
3
9
9
2
1
83 7 3
169
V2 V SO V SO
V 3 V
3
9
9
9 3 83
217
V3 V V SO
V 3 V
3
9
9
3
2
3
Ответ:
V1 :V2 :V3 = 127 : 168 : 217