Конус. Усеченный конус

1.

29.04.202

2.

Цель:
•Ввести понятие цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов
(боковая поверхность, основания, образующие, ось, высота, радиус);
•Рассмотреть сечения цилиндра плоскостью;
•Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной
поверхностей цилиндра;
•Рассмотреть типовые задачи по изучаемой теме.

3.

Рассмотрим окружность L.
OP
Через точку Р и каждую точку окружности проведем
прямую. Поверхность, образованная этими прямыми
называется конической поверхностью. Сами прямые
называются образующими конической поверхности.
P
А
O

4.

Тело, ограниченное конической поверхностью и
кругом с границей L, называется конусом.
Ось конуса
А
Образующая
конуса
Вершина конуса
Высота конуса
Боковая поверхность
конуса
O
С
Радиус основания
конуса
Основание
конуса

5.

Конус (прямой, круговой) может быть получен в
результате вращения прямоугольного треугольника
вокруг прямой, содержащей его катет
А
В
С

6.

Конус может быть получен путем вращения
равнобедренного треугольника вокруг его высоты,
опущенной на основание.
А
l
В
С

7. Что получится в осевом сечении конуса?

S Что
получится в осевом
сечении конуса?
ΔSАВ
–осевое сечение
конуса –
равнобедренный
треугольник
А
АSВ – угол при
вершине осевого
сечения
SАВ – угол
наклона
образующей
В

8.

Сечение конуса плоскостями.
А
Осевое сечение конуса
равнобедренный
остроугольный
треугольник
О

9.

Сечение конуса плоскостями.
Осевое сечение конуса
А
О
равнобедренный
прямоугольный
треугольник

10.

Сечение конуса плоскостями.
Осевое сечение конуса
А
О
равнобедренный
тупоугольный
треугольник

11.

Сечение конуса плоскостями.
А
Равнобедренный
треугольник
B
О
M

12.

Сечение конуса плоскостями.
А
А
О
Сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной к его оси, круг.

13.

Сечение конуса плоскостями.

14.

l2
Боковая поверхность
S сектора
конуса с 2 r
360
l
АВ
0
180
2 r
А
l
В
С
r
с 2 r
l
180
0
3600 r
l l 2 360r
S
0
360
l
S =π rl
бок

15.

Конус.
Sполн = Sбок + Sосн
Sбок = πRl
где l – образующая
Sосн = πR2
Sполн = πRl + πR2
Sполн = πR(l + R)

16. Объем конуса

Рассмотрим пирамиду
вписанную в конус
h
Вспомним формулу
объема пирамиды
V=1/3 Sоснh
Чем больше сторон у
основания пирамиды
тем больше пирамида
стремится к конусу, а
площадь основания к
площади круга.
Выведите
самостоятельно
формулу объема
конуса
V=1/3
R
2
πR h

17.

А
O1
Усеченным конусом
называется часть конуса,
заключенная между
основанием и
параллельным основанию
сечением конуса
Круги, лежащие в
параллельных плоскостях,
называются основаниями
усеченного конуса.
О

18.

Усеченный конус.
Усеченный конус может быть получен вращением
равнобедренной трапеции.
O1
О

19.

Усеченный конус.
Усеченный конус может быть получен вращением
Прямоугольной трапеции
O1
О

20.

Усеченный конус может быть получен вращением…
Основание
конуса
Высота конуса
O1
r
Образующая
конуса
Боковая поверхность
конуса
R
О
Основание
конуса

21.

Усеченный конус.
В
Sосн = πR2
С
О2
Sбок = πl(R+r)
где l – образующая
А
О1
Д
2+
2
Sполн = S
πl(R+r)
+
S
+
πR
+
S
πr
бок
в.осн
н.осн

22. Формула объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса
равен сумме объемов трех
конусов, имеющих
одинаковую высоту с
усеченным конусом, а
основаниями: один –
нижнее основание этого
конуса, другой – верхнее, а
третий – круг, радиус
которого есть среднее
1
V H R 2 r 2 Rr геометрическое между
3
радиусами верхнего и
нижнего оснований.

23. Задача №1: Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

S
A
O
Дано: h=SO=15см, r=ОА=8см.
Найти: AS.
Решение:
По условию SO=h=15см, r=
AS=