Решение заданий тригонометрия по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

1. Решение заданий тригонометрия по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

2.

Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения
Решение.
2 sin 11 cos11
.
sin 22
2 sin 11 cos11 sin 22
1.
sin 22
sin 22
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
22 sin 2 9 cos 2 9
2. Найдите значение выражения
.
cos18
Решение.
22 sin 2 9 cos 2 9
22 cos 2 9 sin 2 9
22cos 2 9
cos18
cos18
cos18
22cos18
22.
cos18
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t

3.

Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения
Решение.
33 cos 63
.
sin 27
33 cos 63 33 cos 90 27 33 sin 27
33.
sin 27
sin 27
sin 27
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
π
6
π
6
4. Найдите значение выражения 6 3tg sin .
Решение.
6 3 tg
π
π
1 1 6 3
sin 6 3
3.
6
6
3 2 2 3
Использована таблица значений тригонометрических
функций.

4.

5. Найдите значение выражения
Решение.
60
.
π
31
π
19
sin
cos
6
3
60
60
π
5π
19π
31π
sin
cos
sin 3 2π cos 3 2π
3
6
3
6
60
60
60
60
60
80.
π
5π
3
3
π
3
π
3 3
sin cos
cos π
cos
3
6
4
2
6
2
6
2 2
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.

5.

Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения 24 3 cos 750 .
Решение.
24 3 cos 750 24 3 cos 2 360 30 24 3 cos 30
24 3
3 24 3 3
12 3 36.
2
2
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

6.

Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения 34 sin 100 .
sin 260
Решение.
34 sin 100 34 sin 90 10 34cos10
34.
sin 260
sin 270 10
cos10
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
8. Найдите значение выражения 5 tg 154 tg 244 .
Решение.
5 tg 154 tg 244 5 tg 90 64 tg 180 64
5 ctg 64 tg 64 5.
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.

7.

Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения
37
.
2
2
sin 173 sin 263
Решение.
37
37
2
2
2
2
sin 173 sin 263 sin 90 83 sin 180 83
37
37
37.
2
2
cos 83 sin 83
1
Использованы:
а) формулы приведения:
sin (90º + t) = cost и sin (180º + t) = − sin t
sin2 (180º + t) = (− sin t) 2 = sin2 t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

8.

Задания открытого банка задач
10. Найдите tg t, если
5 29
3π
cos t
, t
; 2π .
29
2
Решение.
5 29
cos t
29
5
29
2
25 29 25
4
5
2
2
sin t 1 cos t 1
1
29 29 29 29
29
4
2
3π
, где t
; 2π sin t 0
29
29
2
2
sin t
29 2 0,4.
tgt
5
cos t
5
29
sin t
Использованы тождества:
sin2 t + cos2 t = 1
sin t
и tg t =
.
cos t

9.

Задания открытого банка задач
11. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
20 cos 2t 20 1 2 sin 2 t 20 1 2 0,8
20 1 2 0,64 20 1 1,28 20 0,28 5,6.
2
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
12. Найдите
Решение.
2 sin 4t
, если sin 2t = −0,7.
5 cos 2t
2 sin 4t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t 4 0,7 2,8
0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t

10.

Задания открытого банка задач
3π
cos 3π t sin
t
2
.
13. Найдите значение выражения
5 cos t π
Решение.
3π
3π
cos 3π t sin
t cos t sin
t
2
2
5 cos t π
5 cos π t
cos t cos t 2cos t 2
0,4.
5 cos t
5 cos t 5
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.

11.

Задания открытого банка задач
14. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4tg 3π t 3tgt 4tg 3π t 3tgt 4tgt 3tgt 7tgt
7 1 7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.

12.

Задания открытого банка задач
3π
t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
2
15. Найдите 4 sin
Решение.
2
625 576
49
24
2
cos 2 t 1 sin 2 t 1 0,96 1
25
625 625 625
49
7
28
0,28, где t 0; 0,5π cos t 0
625 25 100
3π
4 sin
t 4cos t 4 0,28 1,12.
2
cos t
Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

13.

Задания открытого банка задач
16. Найдите tg t
5π
, если tg t = 0,1.
2
Решение.
5π
π
1
1
π
tg t
10.
tg 2π t tg t ctgt
2
2
tgt
0,1
2
Использованы:
а) формула приведения: tg (5π/2 + t) = − ctg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.

14.

Задания открытого банка задач
17. Найдите tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.
Решение.
5 sin 2 t 12cos 2 t 6
: cos 2 t
5 sin 2 t 12cos 2 t
6
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
1
5tg 2t 12 6
cos 2 t
5tg 2t 12 6 tg 2t 1
5tg 2t 6tg 2t 6 12
tg 2t 6
tg 2t 6.
Использовано тождество: tg2 t + 1 =
1
.
2
cos t

15.

Задания открытого банка задач
7 cos t 6 sin t
18. Найдите
,
3 sin t 5 cos t
если tg t = 1.
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
7 cos t 6 sin t
7 cos t 6 sin t
cos
t
cos t 7 6tgt 7 6 1 1 0,5.
3 sin t 5 cos t 3 sin t 5 cos t 3tgt 5 3 1 5 2
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

16.

Задания открытого банка задач
10 cos t 2 sin t 10
19. Найдите
, если tg t = 5.
sin t 5 cos t 5
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
10 cos t 2 sin t
10
10
10 2tgt
10 cos t 2 sin t 10
cos t
cos t
cos t
cos t
sin t 5 cos t
5
5
sin t 5 cos t 5
tgt 5
cos t
cos t
cos t
cos t
10
10
10 2 5
cos t cos t 2.
5
5
5 5
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

17.

Задания открытого банка задач
20. Найдите tg t, если
7 sin t 2cos t
2.
4 sin t 9 cos t
Решение.
7sint 2cost 2
4sint 9cost 1
7sint 2cost 2 4sint 9cost
16cost sint
: cost
16cost sint
cost
cost
16 tgt
tgt 16.
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

18.

Задания открытого банка задач
21. Найдите tg t, если
3 sin t 5 cos t 1 1
.
2 sin t cos t 4 4
Решение.
3 sin t 5 cos t 1 1
2 sin t cos t 4 4
4 3 sin t 5 cos t 1 2 sin t cos t 4
12 sin t 20 cos t 4 2 sin t cos t 4
12 sin t 2 sin t cos t 20 cos t
10 sin t 19 cos t
10 sin t 19 cos t
cos t
cos t
10tgt 19
19
tgt
10
tgt 1,9.
: cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

19.

Задания открытого банка задач
22. Найдите значение выражения
2
3
если cos t .
Решение.
π
2cos 2π t 5 sin t ,
2
π
π
2cos 2π t 5 sin t 2cos t 5 sin t 2cos t 5 cos t
2
2
2
3 cos t 3 2.
3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.

20.

Задания открытого банка задач
23. Найдите значение выражения
6 sin 142
.
sin 71 sin 19
Решение.
6 sin 142
6 2 sin 71 cos 71 12cos 71
12.
sin 71 sin 19 sin 71 sin 90 71
cos 71
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) формула приведения sin (90º – t) = cos t.

21.

Задания открытого банка задач
13π
13π
cos
.
24. Найдите значение выражения 2 2 sin
8
8
Решение.
2 2 sin
13π
13π
13π
13π
cos
2 sin 2
2
sin
8
8
8
4
3π
3π
2
3π
2 sin 4π
2
1.
2 sin
2 sin
4
4
2
4
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) свойство периодичности функции sin t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, где n ∈ Z
в) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
г) таблица значений тригонометрических функций.

22.

Задания открытого банка задач
25. Найдите значение выражения 27 cos 2
13π
13π
27 sin 2
.
12
12
Решение.
13π
13π
13π
13π
27 sin 2
27 cos 2
sin 2
12
12
12
12
π
π
13π
13π
27 cos 2
27 cos
27 cos 2π 27 cos
12
6
6
6
27 cos 2
3 3
3 9
4,5.
2
2
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

23.

Задания открытого банка задач
26. Найдите значение выражения
Решение.
72 cos 2
72 cos 2
15π
18.
8
15π
15π
15π
18 18 2cos 2
1 18 cos 2
8
8
8
π
π
2
15π
18 cos
3.
18 cos 4π 18 cos 3 2
4
4
4
2
Использованы:
а) формула cos 2t = 2cos2 t – 1.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

24.

Задания открытого банка задач
27. Найдите значение выражения
Решение.
8 32 sin 2
11π
.
8
11π
11π
11π
8 1 2 sin 2
8 cos 2
8
8
8
3π
3π
2
11π
2.
8 cos
2 2
8 cos 2π
8 cos
4
4
4
2
8 32 sin 2
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.