Информатика и информационно-коммуникационные технологии. Урок №27

1.

Предмет: Информатика и информационно-коммуникационные технологии
Класс: 10
Урок №27
Тема урока: Решение логических задач: с помощью таблиц истинности; диаграмм
Эйлера-Венна.
Цель урока: повторить изученный материал по теме «Логика»; обобщить знания и
умения обучающихся по применению таблиц истинности при решении логических задач;
познакомить и сформировать у обучающихся принцип реализации диаграмм ВеннаЭйлера для решения логических задач.
Ссылка на видеоурок:
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4713/main/202995/
Конспект урока
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Сложность
взаимосвязи между высказываниями требует специальных методов решения. Способов
решения логических задач немало, но мы познакомимся на сегодняшнем уроке с
использование таблиц истинности и диаграмм Эйлера-Венна. Для решения логических
задач.
Разминка.
Соедините правильные определения или обозначения
А. Логика
1. А → В
Б. Высказывание
2. Логическое сложение
В. Алгебра логики
3. Наука о формах и способах мышления
Г. Логическая константа.
4. Логическое отрицание.
Д. Дизъюнкция
5. ИСТИНА и ЛОЖЬ
Е. Инверсия
6. А↔В
Ж. Конъюнкция.
7. Логическое умножение
З. Импликация
8. Наука об операциях над высказываниями
И. Эквивалентность
9. Повествовательное предложение, в котором
что-либо утверждается или отрицается
А
Б
в
Г
Д
Е
Ж
З
И
3
9
8
5
2
4
7
1
6
Рассмотрим пример решения логической задачи с помощью построения таблицы
истинности по условию задачи и ее анализа
Для этого следует:
1.
Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и
обозначить их буквами.
2.
Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые
высказывания в составные с помощью логических операций.
3.
Построить таблицу истинности для полученных логических выражений.
4.
Выбрать решение – набор логических переменных (элементарных
высказываний), при котором значения логических выражений соответствуют условиям
задачи.
5.
Убедиться, что полученное решение удовлетворяет условиям задачи.

2.

Пример. Три подразделения A,B и C торговой фирмы стремились получить по итогам года
прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
- либо подразделения А и B получат прибыль одновременно, либо одновременно не получат;
- получение прибыли подразделением С равносильно тому, что получение прибыли
подразделением В не будет достаточным основанием для получения прибыли подразделением А;
- ни подразделение А и ни подразделение С не получат прибыль.
По завершению года оказалось, что истинны только два из трех предположений. Это означает, что
прибыль получили
1) А,С
2) А,В,С
3) А,В
4) В,С
5) А
Решение. Обозначим А высказывание «подразделение А получит прибыль», В –
«подразделение В получит прибыль», С – «подразделение С получит прибыль». Тогда,
• высказывание «либо подразделения А и В получат прибыль одновременно, либо одновременно
не получать» запишем А↔В
• высказывание «получение прибыли подразделением С равносильно тому, что получение
прибыли подразделением В не будет достаточным основанием для получения прибыли
подразделением А» запишем
• высказывание «ни подразделением А и ни подразделением С не получит прибыль»
запишем
Построим таблицу истинности для этих трех формул:
Случай, когда из трех предложений два истинно, реализуется на единственном наборе значений
А=1, В=1, С=0
Ответ: 3.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения
между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером.
Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в
развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской
науки.
Обозначение отношений между объемами понятий посредством кругов было применено еще
представителем афинской неоплатоновской школы — Филопоном (VI в.), написавшим
комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.
Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Объем
же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому
каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещенной
внутри круга, как это показано на рисунке:
Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде
меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как это сделано на рисунке.

3.

С помощью этих кругов очень легко понимать суть логических операций.
Логические операции и их визуальное представление с помощью диаграмм ЭйлераВенна
Название и
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
обозначение
логической
операции
Логическое
отрицание,
(инверсия)
не А, ¬А
А
0
1
¬А
1
0
А
0
0
1
1
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
В
0
1
0
1
А&В
0
0
0
1
АvВ
0
1
1
1
Логическое
следование
(импликация)
А→В
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А→В
1
1
0
1
Логическое равенство
(эквивалентность)
А↔В
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А↔В
1
0
0
1
Логическое
умножение
(конъюнкция)
А и В, А&В
Логическое сложение
(дизъюнкция)
А или В, АvВ
В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к
множеству. Для построения соответствующей диаграммы выберем строку таблицы
истинности, в которой Ā=1. На диаграмме заштрихуем область, в которой значение А
такое же, как в выбранной строке, т.е. 0. Здесь и далее следует учесть: в области,
изображающей объём понятия А (множество А), значение А равно 1, вне этой области- 0.
В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения множеств.
Например, А- множество спортсменов класса. В- множество отличников класса. А&Вмножество спортсменов и отличников класса.
В теории множеств дизъюнкция соответствует операции объединения множеств.
Например: АvВ – множество спортсменов или отличников класса.

4.

В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее можно отобразить
импликацию с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Заштрихуем три области, в которых значения А→В равно 1.
В теории множеств этой операции соответствует операция эквивалентности множеств.
Заштрихуем две области, в которых значения А↔В равно 1.
Пример.
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28.
Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки. Значит, 36-28=8 – учеников не
посещают кружки.
Ответ: 8 человек не посещают кружки.

5.

Домашнее задание.
Задача №1
Саша, Вова и Коля изучают различные иностранные языки: китайский, японский и
арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Саша изучает
китайский, Вова не изучает китайский, а Коля не изучает арабский». Впоследствии
выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой
язык изучает каждый из молодых людей?
Задача №2
На рисунке изображена схема школьников, изучающих разные языки.
А) Сколько всего учащихся (школьников)?
Б) Сколько учащихся изучают английский?
В) Сколько учащихся изучают английский и немецкий?
Г) Сколько учащихся изучают немецкий?
Д) Сколько учащихся изучают английский и французский?
Е) Сколько учащихся изучают английский и французский, но не изучают немецкий?
Ж) Сколько всего учащихся изучают все три языка?
З) Сколько всего учащихся ничего не изучают?