Элементы алгебры логики. Логические операции. Математические основы информатики

1.

Элементы алгебры
логики.
Логические операции
Математические основы информатики

2.

Элементы алгебры логики. Логические операции
1
2
3
Инверсия.
Конъюнкция.
Дизъюнкция.

3.

Алгебра логики
Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно
однозначно определить как истинное или ложное.
Виды
Простые высказывания
Сложные высказывания

4.

Высказывания
Простое высказывание − это высказывание, в котором никакая его часть сама
не является высказыванием.
Минск − столица Беларуси.
Монитор является устройством
хранения информации.

5.

Высказывания
Сложные (составные) высказывания − это высказывания, которые строятся из
простых с помощью логических операций.
В интернете можно найти много полезной информации и пообщаться с друзьями.
В интернете можно найти много
полезной информации.
В интернете можно пообщаться с
друзьями.

6.

Основные логические операции
Название логической операции
Логическая связка
Инверсия
«не»; «неверно, что»
Конъюнкция
«и»; «а»; «но»; «хотя»
Дизъюнкция
«или»
Логическая связка − это союзы или выражения, которые употребляются
в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные.

7.

Основные логические операции
Название логической операции
Логическая связка
Инверсия
«не»; «неверно, что»
Конъюнкция
«и»; «а»; «но»; «хотя»
Дизъюнкция
«или»
Логическая связка − это союзы или выражения, которые употребляются
в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные.

8.

Способы обозначения истинности и ложности
Истина
И
True
T
1
Ложь
Л
False
F
0

9.

Логические операции
Конъюнкция − это логическая операция, которая объединяет два высказывания в
одно новое, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда оба
исходных высказывания истинны.
Conjunctio − «союз, связь».
Пример:
А = «у квадрата 4 стороны».
В = «у ромба 4 стороны».
А И В = «у квадрата 4 стороны и у ромба 4 стороны».

10.

Обозначение знака конъюнкции
Сфера применения
АИВ
Обозначение
Естественный язык
«И»
Алгебра
«&», «/\», «•»
Программирование
«AND», «&», «&&»
А&В
А AND В
А /\ В
А&В
А•В
А && В
/
\

11.

Таблица истинности
A
Дано: А, В.
А−
А=1
А−
А=0
B
A /\ B

12.

Таблица истинности
A
B
A /\ B
0
0
0
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=0
В−
В=0
Новое высказывание будет истинно тогда и только тогда,
когда исходные высказывания истинны.

13.

Таблица истинности
A
B
A /\ B
0
0
0
0
1
0
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=0
В−
В=1
Новое высказывание будет истинно тогда и только тогда,
когда исходные высказывания истинны.

14.

Таблица истинности
A
B
A /\ B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=1
В−
В=0
Новое высказывание будет истинно тогда и только тогда,
когда исходные высказывания истинны.

15.

Таблица истинности
A
B
A /\ B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=1
В−
В=1
Новое высказывание будет истинно тогда и только тогда,
когда исходные высказывания истинны.

16.

Таблица истинности
Электрическая цепь с двумя последовательными выключателями:
А
В

17.

Таблица истинности
A
B
A /\ B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Конъюнкция − логическое умножение.

18.

Логические операции
Дизъюнкция − это логическая операция, которая объединяет два высказывания в
одно новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда ложны оба
исходных высказывания.
Disjunctio − «разобщение».
Пример:
А = «у квадрата 3 стороны».
В = «у ромба 2 стороны».
А V В = «у квадрата 3 стороны или у ромба 2 стороны».

19.

Обозначение знака дизъюнкции
Сфера применения
Обозначение
Естественный язык
«ИЛИ»
Алгебра
«V», «+»
Программирование
«OR», «|» , «||»
А ИЛИ В
АVВ
А OR В
А+В
А|В
А || В

20.

Таблица истинности
A
Дано: А, В.
А−
А=1
А−
А=0
B
AVB

21.

Таблица истинности
A
B
AVB
0
0
0
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=0
В−
В=0
Новое высказывание будет ложно тогда и только тогда,
когда ложны исходные высказывания.

22.

Таблица истинности
A
B
AVB
0
0
0
0
1
1
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=0
В−
В=1
Новое высказывание будет ложно тогда и только тогда,
когда ложны исходные высказывания.

23.

Таблица истинности
A
B
AVB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=1
В−
В=0
Новое высказывание будет ложно тогда и только тогда,
когда ложны исходные высказывания.

24.

Таблица истинности
A
B
AVB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Дано: А, В.
А−
А−
А=1
А−
А=0
А=1
В−
В=1
Новое высказывание будет ложно тогда и только тогда,
когда ложны исходные высказывания.

25.

Таблица истинности
Электрическая цепь с двумя параллельными выключателями:
А
В

26.

Таблица истинности
A
B
AVB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Дизъюнкция − логическое сложение.
=0
+
=
=1
+
+
∙
=
=
2

27.

Логические операции
Инверсия − это логическая операция, которая преобразует исходное высказывание
в новое, значение которого противоположно исходному.
Inversio − «переворачивание, перестановка».
А=1
инверсия
А=0
В=0
инверсия
В=1
Пример:
А = «я знаю английский язык».
инверсия
НЕ А = «я не знаю английский язык».

28.

Обозначение знака инверсии
Сфера применения
Обозначение
Естественный язык
«НЕВЕРНО, ЧТО», «НЕ»
Алгебра
«¬», «¯»
Программирование
«NOT»
НЕВЕРНО, ЧТО А
¬А
НЕ А
Ā
NOT A

29.

Таблица истинности
Дано: А.
А=0
инверсия
Ā=1
А=1
инверсия
Ā=0
A
Ā
0
1
1
0

30.

Таблица истинности
A
Ā
0
1
1
0
Инверсия − логическое отрицание.
При применении к высказыванию логического отрицания в него добавляется
речевой оборот «неверно, что» или же частица «не».
Частица «не» прибавляется к глаголу.

31.

Сложные высказывания
Логическое выражение
− это выражение, которое содержит переменные, знаки
логических операций и скобки.
А V В /\ A
(А V В) V B
Ā V (В /\ А)
АVВ
Ā /\ В
Порядок действий в логическом выражении:
1.
Инверсия.
2.
Конъюнкция.
3.
Дизъюнкция.
НЕ
1.
Отрицание (число меняется на противоположное).
2.
Конъюнкция (умножение).
+
3.
Дизъюнкция (сложение).
Порядок выполнения действий можно изменять с помощью скобок.

32.

Пример
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А = «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на доске нарисовано 500 точек. На пересечении
обоих кругов одновременно нарисовано 70 точек. Для какого количества точек будут
истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?

33.

Пример
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А = «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на доске нарисовано 500 точек. На пересечении
обоих кругов одновременно нарисовано 70 точек. Для какого количества точек будут
истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А = «Внутри круга А находятся 190 точек».
Для 190 точек.
В = «Внутри круга В находятся 230 точек».
Для 230 точек.

34.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

35.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

36.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

37.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

38.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

39.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
А
В

40.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
На доске нарисованы точки и круги. Пусть А
1.
= «Внутри круга А находятся 190» и В =
«Внутри круга В находятся 230». Всего на
доске нарисовано 500 точек. На
2.
пересечении обоих кругов одновременно
нарисовано 70 точек. Для какого количества
точек будут истинны следующие выражения:
1.
НЕ А.
2.
А V В.
3.
НЕ (А V В)?
3.

41.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
1.
Найти количество точек, для которых
будет истинно выражение «НЕ А».
500 − 190 = 310
Для 310 точек истинно выражение «НЕ А».

42.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
2.
Найти количество точек, для которых
будет истинно выражение «А V В».
А = «Внутри круга А находятся 190 точек».
В = «Внутри круга В находятся 230 точек».
z = 70
х = 190 − 70 = 120
у = 230 − 70 = 160
А V В = 70 + 120 + 160 = 350
Для 350 точек истинно выражение «А V В».
х
z
у

43.

Решение задачи с использованием кругов Эйлера
3.
Найти количество точек, для которых
будет истинно выражение «НЕ (А V В)».
500 − 350 = 150
Для 150 точек истинно выражение «НЕ (А V В)».

44.

Элементы алгебры логики. Логические операции
Сложные высказывания — это высказывания, которые составляются из простых с
помощью логических операций.
Конъюнкция — это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно
новое, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда оба исходных
высказывания истинны.
Дизъюнкция — это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно
новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда оба исходных
высказывания ложны.
Инверсия — это логическая операция, которая преобразует исходное высказывание в
новое, значение которого противоположно исходному.

45.

Элементы алгебры логики. Логические операции
Конъюнкция −
логическое умножение.
Дизъюнкция −
логическое сложение.
Инверсия −
логическое отрицание.

46.

Элементы алгебры логики. Логические операции
На доске нарисованы точки. Пусть
1.
А = «Внутри круга А находятся 190» и
В = «Внутри круга В находятся 230». Всего
на доске нарисовано 500 точек. Внутри
2.
обоих кругов одновременно нарисовано 70
точек. Для какого количества точек будут
истинны следующие выражения:
1.
НЕ А;
2.
А V В;
3.
НЕ (А V В)?
3.