Элементы гидромеханики

1.

Элементы
гидромеханики

2.

В гидромеханике изучаются
условия равновесия и движения жидкости
Основные понятия гидромеханики
1. Сплошная среда, гипотеза сплошности.
Рассматриваются объекты таких размеров, при которых этой
дискретностью можно пренебречь, это справедливо, когда
рассматриваемый объем много больше длины свободного
пробега молекул в кубе.

3.

2. Силы.
Сила, приложенная в одной точке, называется сосредоточенной силой. Силы
приложенная в каждой точке объема, линии или поверхности называются
распределенными силами.
В гидродинамике, в основном, имеем дело только с распределенными силами,
т. е. силами, которые действуют на каждый элемент площади выделенного
объема жидкости и твердого тела (поверхностные силы) или каждую
элементарную массу тела (массовые силы).
Поверхностная сила
Массовая сила

4.

Гидростатика
Давление
Две составляющие – касательная и нормальная к поверхности жидкости.
Давление определяется отношением
силы Fn к площади поверхности S,
на которую эта сила действует:
Fn
p
S
В СИ единица давления – паскаль (Па): 1 Па = 1 Н/м2.

5.

Давление в данной точке
Fn
р lim
S
S 0
Неоднородное поле давления р (x, y, z)
Нестационарное поле давления р (x, y, z, t)

6.

Закон Паскаля (1623-1662)
Внешнее давление, действующее на поверхность жидкости,
передается ею по всем направлениям без изменения.
Давление, определяемое в данной точке
объема жидкости, не зависит от ориентации
площадки в ней.

7.

Давление, определяемое в данной точке объема
жидкости, не зависит от ориентации площадки в ней.
Условие равновесия :
Pn Px Py Pz mg 0
Pn pn S n
Pnx pn S n cos(n , X ) pn S yz
Px px S yz pn px

8.

Гидростатическое давление
mg ρhSg
p
gh
S
S
S – площадь основания сосуда, – плотность жидкости.
Давление р = gh называется гидростатическим давлением.
рA = ратм + gh.

9.

Атмосферное давление
Атмосферное давление – это гидростатическое давление столба
воздуха, которое равно давлению столбика ртути высотой h0 = 760 мм:
ратм = ртgh0 = 1,36 104 кг/м3 9,81 м/с2 0,76 м = 1,013 105 Па.

10.

Анероид

11.

Опыт Отто Герике
«Магдебургские полушария» (1654 год)

12.

13.

Условием равновесия жидкости является равенство давлений во всех точках
горизонтальной поверхности, то есть поверхности, перпендикулярной
ускорению свободного падения.
Уровни разной плотности жидкостей в сообщающемся сосуде отличаются.
Необходимо выбрать горизонтальную поверхность, найти давления в
интересующих точках и их приравнять.

14.

Закон Архимеда
На тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила,
равная весу вытесненной жидкости.
р1 = ратм + gh1, р2 = ратм + gh2
F1 = р1S = (ратм + gh1)S
F2 = р2S = (ратм + gh2)S
F = F2 – F1 = gV,
Fвыт – выталкивающая сила или сила Архимеда.
Fвыт = V (g + a)

15.

Fвыт < Fт ( жVg < Vg), тело тонет.
Fт = Fвыт + Fн, Fн = Р
Р = Fт – Fвыт = mg – жVg

16.

Подъемная сила
Fвыт > Fт ( жVg > Vg)
Fвыт = Fт , т.е. жV1g = Vg,
где V1 – объем погруженной в жидкость части тела.
Точка приложения выталкивающей силы не обязательно
должна совпадать с центром масс тела. Выталкивающая сила
приложена к телу в точке, совпадающей с центром масс
объема вытесненной жидкости, эту точку называют центром
давления.

17.

Устойчивое равновесие

18.

Неустойчивое равновесие

19.

Элементы гидродинамики
Проблемы:
1) описание движения жидкости вокруг объектов
конечных размеров, движения твердых тел в жидкости;
2) фильтрация жидкости в пористых средах;
3) движение жидкости по трубам и в замкнутом объеме;
4) поверхностные волны.

20.

Два метода
1. Статистическая физика, изучающая поведение ансамблей
молекул.
2. Феноменологический подход, основанный на наблюдении.
Этот подход делает гидродинамику описательной наукой.
Однако вводятся поля. В каждой точке поля физические
величины имеют определенные значения и устанавливаются
закономерности.

21.

Эвклидово пространство и абсолютное время
«Истинное математическое время» ньютоновской механики,
которое, по определению И. Ньютона, «само по себе и по самой
своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему,
протекает равномерно, и иначе называется длительностью».
Математический аппарат, используемый для решения задач
гидромеханики – ТФК, векторный анализ, уравнения мат. физики.

22.

Идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствует вязкость.
Жидкость состоит из жидких частиц, малый выделенный объем
жидкости, деформируемый при течении, но перетекание через
поверхность, ограничивающий этот объем не происходит.
Два метода описания движения жидкости
Эйлера и Лагранжа.
Переменные Лагранжа – координаты рассматриваемой жидкой
частицы r r a, b, c, t .
Переменные Эйлера – скалярные и векторные поля: скорость,
давление, ускорение, температура и т.д. x, y, z, t.

23.

Линии и трубки тока
Струйная модель жидкости

24.

Объемный расход жидкости
dQv vn dS
Qv vn dS
S
Массовый расход жидкости
dQv ρvn dS
Qm ρ vn dS
S
Для несжимаемой жидкости
Qv vn S
Qm ρvn S
Уравнение неразрывности
v1S v2 S

25.

Два типа течения жидкости
1) ламинарное
2) турбулентное
Число Рейнольдса
vd
Re
Переход ламинарного течения в турбулентное

26.

27.

Обтекание крыла
Формула Жуковского
F / l ρ v
1
F CSρv 2
2

28.

Если характеристики движения не изменяются со временем,
то такое течение является стационарным (установившемся).
Вязкость (жидкое трение) присуща любой жидкости, однако
часто ею вязкостью можно пренебречь и считать жидкость
идеальной.
Движение жидкости происходит под действием сил давления,
вязкости и внешних сил, например сил тяжести.
ρdVa = ρF pn dS Fвяз

29.

Частный случай движения жидкости
Соотношение между скоростью течения и давлением описывается
уравнением Бернулли.
Сделаем ряд предположений:
1) жидкость идеальная, т.е. отсутствует трение (вязкость);
2) жидкость несжимаемая, т.е. плотность жидкости остается постоянной;
3) течение стационарное (скорость и давление не зависят от времени);
4) течение ламинарное.

30.

Уравнение Бернулли

31.

Eмех EмехII – EмехI
mI v12
EмехI
m1 gh1
2
mII v22
EмехII
mII gh2
2
mI VI S1v1 t
mII VII S 2 v2 t
S1v1 t S2 v2 t
v1S1 v2 S2
ρv12
ρv22
Eмех v1S1 t
ρgh1
ρgh2
2
2
E мех Ai
i

32.

Fд1 р1S1 A1 р1S1v1 t
Fд2 р2 S 2
A2 – р2 S 2 v2 t
ρv12
ρv22
v1S1 t
ρgh1
ρgh2 ( р1 – р2 ) S1v1 t
2
2
ρv12
ρv22
ρgh1 p1
ρgh2 p2
2
2
ρυ 2
gh р const
2

33.

Следствия из уравнения Бернулли
1. Закон Бернулли

34.

Формула Торричелли
ρv12
ρv22
2. ратм
gh ратм
0
2
2
v2 2 gh

35.

3. р1 F / S ратм
ρv22
F ρv12
ратм
ратм
S
2
2
2F
2
v2 v1
Sρ

36.

Течение вязкой жидкости
d vx
Fвяз S
dz

37.

Распределение скоростей движения жидкости
в круглой трубе

38.

Задача 1. Бак высотой H = 60 см полностью заполнен водой.
В боковой поверхности бака на высоте h = 10 см от поверхности земли
сделано отверстие. Определите, на какое максимальное расстояние
от бака попадет струя воды, если вынуть пробку. Площадь поперечного
сечения бака много больше площади отверстия (S s).
Решение.
v12
v22
pатм g H h
pатм
2
2
v1S v2 S
v1 v2
v2 2 g H h
L v2
2h
60 см
g

39.

Задача 2. Бак высотой Н полностью заполнен водой. Определите,
на какой высоте h надо сделать отверстие, для того чтобы дальность
полета струи была максимальной.
Решение.
v 2g H h
2h
t
g
L vt 2 H h h
L 0
– h ( H – h) 0
H
h
2

40.

Задача 3. Тонкая палочка плотность 750 кг/м3 закреплена шарнирно
одним концом и свободным концом опущена в воду. Какая часть длины
палочки находится в воде?
Решение.
– mg l / 2 cos Fвыт l – l1 / 2 cos 0
Fвыт в Sl1 g
m п Sl
п Slgl / 2 – в Sl1 g (l – l1 / 2) 0
2
l1 ρ п
l1
0
2
ρв
l
l
ρп
l1
1 0,5
1 1 –
ρв
l
l1
0,5
l

41.

Спасибо за внимание!