Первый замечательный предел

1.

sin x
lim
1
x 0
x

2.

Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О.
Пусть ОВ – подвижный радиус, образующий угол
х с осью х, причем 0 x
2
C
B
x
0
A
x

3.

Из рисунка видно, что: S AOB SсекАОВ S AOC
Найдем эти площади:
1 2
S AOB R sin x
2
1 2
SсекAOB R x
2
1
1 2
S AOC R AC R tgx
2
2
Имеем:
1 2
1 2
1 2
R sin x R x R tgx
2
2
2

4.

или:
Делим на sin x :
или:
sin x x tgx
x
1
1
sin x cos x
sin x
cos x
1
x
sin x
Так как функции cos x и
x
четные, то полученные неравенства справедливы
и при
x 0
2

5.

Переходим в полученном неравенстве к пределу
при x 0
sin x
lim
cos
x
lim
lim
1
x 0
x 0
x 0
x
1
Следовательно, по
признаку
предела:
sin x
lim
1
x 0
x
1
существования

6.

1
Вычислить
sin 6 x
lim
x 0
4x

7.

sin 6 x
sin 6 x 6 x
lim
lim
x 0
x 0
4x
4x 6x
3
sin 6 x 3
lim
2 x 0 6 x
2
1

8.

2
Вычислить
1 cos x
lim
2
x 0
x

9.

x
2
sin
1 cos x
2
lim
lim
2
2
x 0
x 0
x
x
2
2
x
sin 1 1
2
lim
2
x 0
x 4 2
2