Узкополосные и импульсные процессы

1.

Статистическая
радиофизика
Курс лекций для бакалавров направления
03.03.03 - Радиофизика, 7 семестр
2021/2022 учебный год

2.

Модели случайных процессов
Узкополосные случайные процессы
Импульсные случайные процессы

3.

Узкополосные случайные процессы
Стационарный случайный процесс X ( t ) называется узкополосным, если
э
0 1,
где э – ширина энергетического спектра ( эфф или 1/2 ), 0 – частота
спектрального максимума.
Реализация
узкополосного
случайного
процесса
напоминает
модулированные колебания. Поэтому такой процесс часто называют
квазигармоническим шумом или гармоническим шумом.
Реализация гармонического шума

4.

Корреляционная функция такого процесса может быть представлена в виде
X ( ) X ( ) cos 0 ,
где огибающая корреляционной функции X( ) является
меняющейся функцией по сравнению с периодом T0 = 2 / 0 .
медленно
Узкополосный процесс с нулевым средним значением целесообразно
представить в виде
X (t ) A(t ) cos( 0 t (t )),
где A(t) и Ф(t) = 0t + (t) – случайные функции, называемые огибающей
(мгновенной амплитудой) и мгновенной фазой случайного процесса X(t).
Для узкополосного процесса A(t) и флуктуация фазы (t) будут
«медленными» функциями в масштабе T0.
Огибающую и фазу можно определить различными способами. Наиболее
универсальный способ основан на применении сопряженного по Гильберту
процесса
1 X ( )
Y (t ) HX (t )
d .
t
Интеграл берется в смысле главного значения Коши.

5.

Тогда можно перейти к комплексному случайному процессу
Z (t ) X (t ) j Y (t ),
который называют аналитическим сигналом.
Огибающая и флуктуация фазы находятся как
A(t ) Z (t )
X 2 (t ) Y 2 (t ),
Y (t )
0 t .
X (t )
(t ) arg Z (t ) 0 t Arctg
Можно ввести комплексную огибающую (комплексную амплитуду)
случайного процесса:
a (t ) A(t )e j ( t ) AC (t ) jAS (t ),
где
AC (t ) A(t ) cos (t ),
AS (t ) A(t ) sin (t ).
AC ( t ) и AS ( t ) – квадратурные составляющие случайного процесса X ( t ).

6.

Тогда, можно представить процесс как
X ( t ) R e Z ( t ) A C ( t ) c o s 0 t A S ( t ) s in 0 t .
Квадратурные составляющие узкополосного
«медленными» функциями в масштабе T0.
процесса
являются
Геометрическое представление узкополосного процесса
Y (t )
A
Φ (0) 0
0
X (t )
Φ (t ) 0t (t )
AS
AC
(t ) (t ) 2 k , 0;2
Для стационарного гауссова процесса X ( t ) с нулевым средним значением
квадратурные составляющие являются стационарными совместно
гауссовыми процессами, причем
AC AS 0,
Ac (t ) AS (t ) 0.

7.

Импульсные случайные процессы
Процессы, представляющие совокупность импульсов со случайными
параметрами называются импульсными случайными процессами. Сами
импульсы могут быть как случайными, так и заданной формы. Они могут
перекрываться или не перекрываться.
Наиболее часто применяется следующая модель импульсного процесса,
называемая последовательностью случайных импульсов:
n (t )
X (t ) a i f (t t i ) ,
i 1
t t0 ,
(1)
где f ( t ) – детерминированная интегрируемая функция, задающая форму
одиночного импульса; ai, ti – случайные величины (зависимые или
независимые), представляющие собой случайные амплитуды и случайные
моменты возникновения импульсов, соответственно; n(t) – случайная
величина, равная числу суммируемых в данный момент импульсов.
Замечание Моменты ti в модели (1) является начальным лишь условно. Это могут
быть
просто
некоторые
характерные
моменты
времени
(например,
соответствующие максимуму функции f ). Т.е. не обязательно, чтобы выполнялось
условие f(t-ti) = 0 при t < ti

8.

Модель (1) часто применяется при рассмотрении естественных шумов, так
как с каждым носителем заряда связывается случайный импульс тока или
напряжения. При этом часто предполагается, что последовательность
импульсов является пуассоновской.
Пуассоновская
последовательность
случайных
импульсов
(пуассоновский импульсный процесс) есть процесс типа (1), но при
условии, что случайные величины ai, ti, i = 1, 2, 3,… n
статистически независимы, имеют одинаковые для любого i
распределения, причем величины ti равномерно распределены в интервале
[t 0 ,t] для любого t > t 0.
Замечание
Нумерация моментов времени – условная. Она не обязательно
соответствует возрастанию номеров с ростом t.
При условии равномерного распределения ti получаем, что вероятность
возникновения какого-либо импульса в единицу времени (средняя частота
импульсов) – постоянная величина, а число импульсов за время t – t 0 имеет
пуассоновское распределение:
n (t t0 )n e (t t0 )
P(n, t )
, n 0, 1, 2, ... ,
n!
где P( n , t ) -- вероятность того, что за время t – t0 возникло n импульсов.

9.

Если пуассоновские импульсы имеют большую частоту, то в каждый
момент времени складывается большое количество независимых случайных
величин. В соответствии с центральной предельной теоремой переменная
X, будет иметь гауссово распределение.
В пределе t0 - пуассоновская последовательность случайных импульсов
X(t) есть стационарный случайный процесс, причем справедливы
следующие утверждения:
1. Теорема Кемпбелла
Среднее значение стационарной пуассоновской
случайных импульсов (1) определяется как
X a f ( t ) dt ,
последовательности
(2)
где ā -- среднее значение, одинаковое для всех случайных величин ai .
2. Теорема Карсона
Спектральная плотность мощности флуктуаций стационарной
пуассоновской последовательности случайных импульсов (1) определяется
как
W X~ ( ) a 2 | f ( j ) | 2 ,
(3)

10.

где
f ( j ) f (t )e j t dt спектральная плотность единичного импульса.
Если длительность импульсов 0 очень мала ( 0 << 1/ ),
представить
то можно
f (t ti ) C (t ti ), C const.
В этом случае из (3) следует, что
WX ( ) C 2 a 2 .
Т.е. приходим к модели белого шума.
Если частота импульсов медленно меняется во времени, то на
ограниченных
интервалах
времени
импульсы
можно
считать
пуассоновскими. Мы приходим к модели квазистационарного процесса, для
которого среднее значение и спектр флуктуаций определяются формулами
(2) и (3), соответственно, с меняющейся во времени частотой импульсов.