Решение уравнений в целых числах

1. Решение уравнений в целых числах

2.

3.

4.

5.

6.

7. 1.Метод прямого перебора

Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и
других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
Решение:
Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8
кг.
Составим уравнение: 3х + 8у=30
Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3
Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 8, то 8·3+8>30 ,
Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.

8. 2.Использование неравенств

Решите в натуральных числах уравнение
3x + 6y = 21.
Решение. Для уменьшения перебора вариантов
рассмотрим неравенства
3x 21 6 y 0 y 3
6 y 21 3x 0 x 7
Проведем перебор по неизвестной у.
Если y = 1, то x = 5
Если y = 2, то x = 3
Если y = 3, то x = 1.
Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

9. 7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю

Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10
Решение. Коэффициенты при переменных х и у –
взаимно простые числа и свободный член - целое число.
Коэффициент при х больше коэффициента при у.
Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых
так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,
кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:
20х + 3у = 10
(18 +2) х +3у=10
18х +2х+3у=10
3(6х+у)+2х=10

10.

Обозначим выражение 6х + у = k. (1)
Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х.
Проведем аналогичные преобразования с полученным
уравнением:
(2 + 1) k + 2 x =10
2(k + x) + k =10
Обозначим выражение k + х = n (2).
Получим уравнение
2 n + k =10
k = 10 – 2n
Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n:
10 – 2n +x = n
x = 3n – 10
Мы получили одну из формул решений уравнения
20x – 3y = 10

11.

Чтобы получить вторую формулу, подставим в
равенство(1) вместо х
выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n:
6(3n – 10)+y = 10 – 20n
y = 70 – 20n
Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n
при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные
решения уравнения