Решение уравнений в целых числах

1.

Решение уравнений в целых
числах.
Уланова Т.Н.
Учитель математики
«Лицей №21»
Г.Дзержинск Нижегородской области.

2.

Линейное уравнение ax+by=c
-
Если НОД(a,b)=1, то уравнение имеет хотя бы одно
решение:
где (x0,y0 ) - некоторое частное целочисленное
решение для t∊Z
- Если НОД(a,b)≠1, то уравнение не имеет целочисленных
решений.

3.

Пример1: Решить в целых числах уравнение:
7x+9y=32
НОД(7 ; 9)=1, целочисленное решение (2;2), значит
x=2+9t, y=2-7t, t∊Z .
Ответ: x=2+9t, y=2-7t, t∊Z .
Пример2: Решить в целых числах уравнение:
3x-4y=1
НОД(3 ; 4)=1, целочисленное решение (3;2), значит
x=3-4t, y=2-3t, t∊Z .
Ответ: x=3-4t, y=2-3t, t∊Z .

4.

Замечание 1.
Если (x y )- целочисленное решение уравнения
ax+by=1, то (cx ,cy ) - целочисленное решение уравнения
ax+by=c.
Пример3: Решить в целых числах уравнение:
3x-5y=11
Найдём целочисленное решение уравнения
3x-5y=1
НОД(3 ; 5)=1, целочисленное решение (2;1), значит частным
решением уравнения 3x-5y=11 является пара (22;11), т.е.
x=22-5t, y=11-3t, t∊Z
Ответ: x=22-5t, y=11-3t, t∊Z
0,
0
0
0

5.

Замечание 2.
Если трудно подобрать частное решение, то можно
применить алгоритм Евклида.
Пример 4: Решить в целых числах уравнение:
-23x+79y=1
НОД(23 ; 79)=1, значит существует целочисленное решение.
79=23 ⋅3+10
23=10 ⋅2+3
10=3 ⋅3+1
1=10-3⋅3=10-3⋅(23-10 ⋅2)=-3⋅23+10 ⋅7=-3⋅23+7⋅(79-23 ⋅3)=
=7⋅79-24⋅23
-23⋅24+ 79⋅7=1, значит частным решением данного уравнения
является пара чисел (24;7), т.е. решение
x=24+79t, y=7+23t, t∊Z .
Ответ: x=24+79t, y=7+23t ,t∊Z .

6.

Метод разложения на множители.
Пример 5: Решить в целых числах уравнение:
x+xy-3y=5
x-3+y(x-3)=5-3
(x-3)(y+1)=2
=>
=>
=>
=>
Ответ:(1;-2),(2;-3),(4;1),(5;0).

7.

Пример 6: Решить в целых числах уравнение:
+91 =
- = 91
= 91 ,91=7⋅13=1⋅91
>0 =>
Ответ: (5;6),(-6;-5),(-3;4),(-4;3).

8.

Соображения делимости.
Пример 7: Решить в целых числах уравнение:
Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида
.
1) Если х и у чётные, то
делится на 4.
2) Если одно из чисел чётное, а второе - нечётное, то остаток
от деления на 4 выражения
равен 1, т.к.
3) Если оба числа нечётные, то остаток от деления
На 4 равен 2.

9.

Рассмотрим правую часть данного уравнения
4z-1=4z-4+3=4(z-1)+3 , т.е. при делении на 4 правая часть
имеет остаток 3.
Т. к. левая часть и правая часть имеют разные остатки , то
Ни при каких х, у,z уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
- Этот метод часто используется для доказательства того, что
уравнение не имеет решений в целых числах.

10.

Пример 8: Решить в целых числах уравнение:
+3=7у
Остаток от деления на7
делится на 7, то
0 1 2 3 4 5 6 Т.к. 7у =
х=7k+2 или х=7k+5, где k∊Z.
При х=7k+2
0 1 4 2 2 4 1
7у=
у=
3 4 0 5 5 0 4
При х=7k+5
7у=
у=
Ответ:
,
,
.

11.

Метод решения уравнения относительно
одного из неизвестных.
Пример 9: Решить в целых числах уравнение:
х+у =ху
у=ху-х , у=х(у-1)
Рассмотрим 2 случая:
1) Если у=1, то уравнение не имеет решений, т. к. х(1-1)=0
1 ≠0.
2) Если у ≠1, то
,
,
Последнее равенство имеет целые решения, если у-1= 1
т.е. у=0, у=2.
Ответ: (0;0), (2;2).

12.

Пример 10: Решить в целых числах уравнение:
3ху+14х+17у+71=0
т.к х∊Z
Т.к.(3у+14) ∊ Z, то (3х+17) ⋮ 25.
Следовательно, (3х+17) :±1, ±5, ±25.
Поэтому х=-4, х=-6 , х=-14 .Соответственно у=-3, у=-13. у=-5.
Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5).

13.

Другие примеры.
Пример 11: Решить в натуральных числах уравнение:
х!+у!=z!
Заметим, что z 2, ⟹ х z, у z ⟹ х z-1 , у z-1 ⟹
х!+у! 2(z-1)! ⟹ z! 2(z-1)! ⟹ z(z-1)! 2(z-1)! ⟹z 2.
Итак z =2, тогда х!+у! =2, т.е. х=у=1.
Ответ: х=1, у=1, z =2.

14.

Пример 12 : Решить в натуральных числах уравнение:
и по условию
Проверка
Ответ: