Синтез оптимальных дискретных детерминированных систем. Нахождение оптимального программного управления (лекция 3)

1.

Лекция 3
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО
УПРАВЛЕНИЯ

2.

Постановка задачи
Пусть поведение модели объекта управления описывается
разностным уравнением
x k 1 f k , x k , u k ,
k 0,1, , N 1,
(1)
x – вектор состояния системы, x R n ;
u – вектор управления, u U k R q ,
U k – некоторое замкнутое выпуклое множество допустимых
значений управления;
k – дискретное время, k T 0,1, , N 1 ,
N – число шагов,
f k , x, u : T R n U k R n – непрерывно дифференцируемая векторфункция, f k , x, u f1 k , x, u , , f n k , x, u T .
Начальное состояние системы (1) задано
x 0 x0 .
(2)

3.

Конечное состояние x N должно удовлетворять условию:
Гi x N 0 ,
i 1, , l ,
(3)
где 0 l n , функции Гi x – непрерывно дифференцируемы; система
векторов
линейно
Гi x N / x1, , Гi x N / xn , i 1, , l ,
независима x N R n .
При управлении используется информация только о дискретном
времени k , т.е. применяется так называемое программное управление
(рис. 1).
Последовательность векторов u 0 , u 1 , , u N 1 - управление
u . Последовательность векторов x 0 , x 1 , , x N , определяемая
уравнением (1) с начальным условием (2) и управлением u , –
траектория x .
x0
u(k )
k
u(k )
x ( k 1)
x ( k 1) f ( k , x ( k ), u( k ))
x (k )
Задержка
Рис. 1. Схема программного управления

4.

Множество допустимых процессов D 0, x0 - множество пар
d x , u , удовлетворяющих уравнению (1) с начальным условием
x 0 x0 и конечным условием (3).
На множестве D 0, x0 определен функционал качества управления
N 1
I d f
0
k , x k , u k F x N ,
(4)
k 0
где f
0
k , x, u , F x – заданные непрерывно дифференцируемые функции.
Требуется найти такую пару d x , u D 0, x0 , что
I d min I d .
d D 0, x0
(5)
Задача (5) с функционалом (4) называется задачей Больца, если
F x N 0 - задачей Лагранжа, если f 0 k , x k , u k 0 – задачей
Майера.
x x0 , x 1 , , x N - оптимальная траектория,
u u (0), u 1 , , u N 1 - оптимальное управление.

5.

Дискретный принцип максимума
Пусть на паре d x , u D 0, x0 достигается минимум функционала.
Тогда существуют не равные нулю одновременно вектор-столбцы
(вспомогательные переменные) k 1 k , , n k T , k 1, , N , такие, что:
1) при каждом k 0,1, , N 1 гамильтониан H k , k 1 , x * k , u достигает
максимума по управлению, т.е.
H k , k 1 , x * k , u * k max H k , k 1 , x * k , u ,
u U k
(6)
n
где H k , , x, u i f i k , x, u f 0 k , x, u ;
i 1
2) функции x * , удовлетворяют системе канонических уравнений
x *j k 1 f j k , x * k , u * k ,
x *j 0 x 0 j ,
H k , k 1 , x * k , u * k
j k
,
xj
Гi x N 0,
j 1, , n,
j 1, , n,
i 1,..., l ;
k 0,1, , N 1 ,
k 1, , N 1,
(7)

6.

3) выполняется условие трансверсальности
F x N
*
n
j N x j N 0
j 1
при любых x j N , удовлетворяющих системе
Г x N 0,
Гi x N 0,
i 1, , l ,
i
i 1, , l ;
где вариации определяются следующим образом:
F x N
*
n
Г i x N
j 1
F x * N
x j N ,
x
j
j 1
n
x
Г i x N
x j
j
N ,
i 1, , l .
(8)

7.

Замечания
1. Если в решаемой задаче ограничения (3) на правом конце траектории
отсутствуют, то условие трансверсальности (8)
n
j 1
F x * N
j N x j N 0
x
j
в силу произвольности вариации x j N приобретает вид
F x * N
j N
,
x j
j 1, , n .
(9)
2. Если в функционале (4) F x N 0 и отсутствуют ограничения (3), то
условие (8) в силу произвольности вариации x j N принимает форму
j N 0,
j 1, , n .
(10)
3. Если U k R q , то для нахождения максимума в (6) может быть
использовано необходимое условие безусловного экстремума
H k , k 1 , x * k , u
0,
ui
k 0,1, , N 1,
с проверкой соответствующих достаточных условий.
i 1, , q
(11)

8.

4. Утверждение справедливо, если множество U k выпукло, а
гамильтониан является вогнутой функцией по u . Дискретный принцип
максимума применим для систем с выпуклой вектограммой.
Вектограммой управляемой системы (1) в точке k, x k называется
множество f k , x, U (k ) значений функций f k , x, u при фиксированных k и
x , когда управление u принимает все возможные значения из U k :
f k , x, U ( k )
u U k
f k , x, u .
В общем случае дискретных систем необходимые условия экстремума не
совпадают с дискретным принципом максимума. По сравнению с приведенным
утверждением в них условие (6) заменяется условием:
q
i 1
u
H k , k 1 , x * k , u * k
ui
i
ui* k 0 ,
k 0,1, , N 1,
для всех u U k , т.е. гамильтониан достигает в точке u * k либо наибольшего
значения на множестве U k , либо u * k является стационарной точкой
(локальным минимумом или максимумом, седловой точкой).

9.

АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРИНЦИПА
МАКСИМУМА
1. Составить гамильтониан
n
H k , , x, u i f i k , x, u f
0
k , x, u .
i 1
2. Найти структуру оптимального управления из условия максимума
гамильтониана по управлению:
H k , k 1 , x * k , u * k max H k , k 1 , x * k , u .
u U k
3. Составить систему канонических уравнений с заданными в задаче условиями:
x *j k 1 f j k , x * k , u * k ,
x *j 0 x 0 j ,
H k , k 1 , x * k , u * k
j k
,
xj
Гi x N 0,
j 1, , n,
j 1, , n,
k 0,1, , N 1,
k 1, , N 1,
(12)
i 1, , l .
4. Из условия трансверсальности (8) или их следствий (9), (10) в частных
случаях постановки задачи определить недостающие краевые условия для
уравнений системы (12).
5. Решить полученную краевую задачу. В итоге определяется пара
x , u на которой может достигаться минимум функционала (4).

10.

Пример 1
Даны модель объекта управления
x k 1 x k u k ,
x 0 2,
k 0,1,
где x R; u R, и функционал
1
I u 2 k x 2 k min .
k 0
Требуется найти оптимальную пару
достигается
минимум функционала.
Сравнивая
f k , x, u x u, f
с
0
общей
x , u ,
постановкой
задачи,
k , x, u u 2 x 2, F x 0, U k R,
Решается задача Лагранжа.
на которой
N 2.
имеем:

11.

1. Составляем гамильтониан
H k , , x, u x u u 2 x 2 .
2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как
ограничения на управление отсутствуют, можно применить необходимые
условия безусловного экстремума (11):
H k , k 1 , x k , u k
k 1 2u k 0 .
u
k 1
. Найденное управление обеспечивает максимум
2
функции H k , k 1 , x k , u по управлению, так как удовлетворяются
достаточные условия экстремума:
Отсюда u * k
2 H k , k 1 , x k , u k
u
2
2 0.

12.

3, 4. С учетом (10) составляем краевую задачу (12):
k 1
x k 1 x k
,
2
*
*
k k 1 2x * k ,
x * 0 2,
2 0 .
5. Решение краевой задачи:
x* 0 2, u* 0 1,
x* 1 1, u* 1 0,
1 2,
x * 2 1, 2 0
дает искомую пару: оптимальную траекторию x 2, 1, 1 и
оптимальное управление u 1, 0 .

13.

Пример 2
Даны модель объекта управления
x1 k 1 x1 k u k ,
x 2 k 1 2x1 k x 2 k ,
k 0,1,
с начальными условиями x1 0 2, x2 0 1, и функционал
1 1
I u 2 k x12 k x 22 k min .
2 k 0
Требуется найти оптимальное программное управление u и
соответствующую ему траекторию x .
Здесь x x1, x2 T R 2 , на управление ограничений не наложено,
1 2 2 2
u x1 x2 , F x 0, N 2,
2
f1 k , x, u x1 u, f 2 k , x, u 2 x1 x2 ,
f 0 k , x, u
правый конец траектории свободен. Решается задача Лагранжа.

14.

1. Составляем гамильтониан
1 2
H k , , x, u 1 x1 u 2 2 x1 x2 u x12 x22 .
2
2. Находим максимум гамильтониана по управлению:
H k , k 1 , x k , u k
u
1 k 1 u k 0.
Отсюда u * k 1 k 1 . При этом
2 H k , k 1 , x k , u k
u
2
1 0.

15.

3, 4. С учетом (10) составляем краевую задачу (12):
x1* k 1 x1* k 1 k 1 ,
x2* k 1 2 x1* k x2* k ,
x1* 0 2,
x2* 0 1,
1 k 1 k 1 2 2 k 1 x1* k ,
2 k 2 k 1 x2* k ,
k 0,1,
k 0,1,
1 2 0,
2 2 0,
k 1,
k 1.
5. Решение краевой задачи:
x1* 0 2, x2* 0 1, u * 0 1, x1* 1 1, x2* 1 5, u * 1 0,
1 1 1, 2 1 5;
x1* 2 1, x2* 2 7, 1 2 0, 2 2 0
дает искомую пару: оптимальную траекторию
x1* 2, 1, 1 , x2* 1, 5, 7 и оптимальное управление u 1, 0 .

16.

Пример 3
Даны модель объекта управления
x1 k 1 x1 k u k ,
x 2 k 1 2x1 k x 2 k , k 0,1,
с начальными условиями x1 0 2, x2 0 1, и функционал
1 1
I u 2 k x12 k x 22 k x1 2 min .
2 k 0
Требуется найти оптимальное программное управление u и
соответствующую ему траекторию x .
Здесь x x1, x2 T R 2 , на управление ограничений не наложено,
1 2 2 2
u x1 x2 , F x x1 , N 2,
2
f1 k , x, u x1 u, f 2 k , x, u 2 x1 x2 ,
f 0 k , x, u
правый конец траектории свободен. Решается задача Больца.

17.

1. Гамильтониан имеет вид:
1
H k , , x, u 1 x1 u 2 2 x1 x2 u 2 x12 x22 .
2
2. Структура оптимального управления: u * k 1 k 1 .
3, 4. С учетом (9) составляем краевую задачу (12):
x1* k 1 x1* k 1 k 1 ,
x1* 0 2 ,
x 2* k 1 2x1* k x 2* k ,
x 2* 0 1 ,
1 k 1 k 1 2 2 k 1 x1* k ,
1 2 1 ,
2 k 2 k 1 x 2* k ,
2 2 0 .
5. Решение краевой задачи:
x1* 0 2 ; x2* 0 1; u* 0
1 1 1,5 ; 2 1 5 ;
3
; x1* 1 0,5 ;
2
x1* 2 0,5 ;
x2* 1 5 ; u* 1 1;
x2* 2 6 ;
1 2 1, 2 2 0
дает искомую пару: оптимальную траекторию x1* 2; 0,5; 0,5 , x2* 1, 5, 6 и
3
2
оптимальное управление u * ; 1 .

18.

Пример 4
Даны модель объекта управления
x1 k 1 x1 k u k ,
x2 (k 1) 2x1(k ) x2 (k ),
u 1,
k 0,1 ,
с начальными условиями x1 0 2, x2 0 1, и функционал
I x1 2 x2 2 min .
Требуется найти оптимальное программное управление u и
соответствующую ему траекторию x .
Здесь x x1, x2 T R 2 , управление входит в правую часть
разностного уравнения линейно и ограничено по модулю:
u 1, u U k 1, 1 , f 0 k , x, u 0,
F x x1 x2, N 2, f1 k , x, u x1 u, f 2 k , x, u 2x1 x2,
правый конец траектории свободен. Решается задача Майера.

19.

1. Составляем гамильтониан: H k , , x, u 1 x1 u 2 2x1 x2 .
2. Так как имеются ограничения на управление, находим условный
максимум гамильтониана по управлению. В данной задаче гамильтониан линеен
по u на заданном отрезке изменения управления 1, 1 , поэтому структура
оптимального управления имеет вид:
u * k arg max H k , k 1 , x k , u sign 1 k 1 .
u 1
3,4. С учетом (9) составляем краевую задачу (12):
x1* k 1 x1* k sign 1 k 1 ,
x1* 0 2 ,
x 2* k 1 2x1* k x 2* k ,
x 2* 0 1 ,
1 k 1 k 1 2 2 k 1 ,
1 2 1 ,
2 k 2 k 1 ,
2 2 1 .
5. Решаем краевую задачу. Решение
x1* 0 2,
x2* 0 1,
u * 0 1;
x1* 1 1, x2* 1 5 , u * 1 1,
1 1 3, 2 1 1; x1* 2 0 , x2* 2 7, 1 2 1, 2 2 1
дает искомую пару: оптимальную траекторию x1* 2, 1, 0 , x2* 1, 5, 7 и
оптимальное управление u * 1, 1 .

20.

Пример 5
Даны модель объекта управления с начальными условиями
x1 k 1 x1 k u k ,
x1 0 3, x2 0 1,
x2 k 1 2 x1 k x2 k ,
u 1,
и функционал I
k 0,1,
1 2
x1 2 x 22 2 min .
2
Требуется найти оптимальное программное управление u * и
соответствующую ему траекторию x * .
Здесь x x1, x2 T R 2 , управление входит в правую часть
разностного уравнения линейно и ограничено по модулю:
u 1,
F x
1 2
x1 x 22 ,
2
u U k 1, 1 ,
N 2,
f
0
k , x, u 0 ,
f1 k , x, u x1 u,
f 2 k , x, u 2x1 x 2 ,
правый конец траектории свободен. Решается задача Майера.

21.

1. Составляем гамильтониан:
H k , , x, u 1 x1 u 2 2x1 x2 .
2. Находим структуру оптимального управления:
u* k arg max H k , k 1 , x k , u sign 1 k 1 .
u 1
3, 4. С учетом (9) составляем краевую задачу (12):
x1* k 1 x1* k sign 1 k 1 ,
x1* 0 3,
x2* k 1 2 x1* k x2* k ,
x2* 0 1,
1 k 1 k 1 2 2 k 1 ,
1 2 x1* 2 ,
2 k 2 k 1 ,
2 2 x2* 2 .

22.

5. Решаем краевую задачу. Вычисляем x1* 2 , x2* 2 :
x1* 2 x1* 0 sign x1* 2 2 x2* 2 sign x1* 2 ,
x2* 2 4 x1* 0 x2* 0 2sign x1* 2 2 x2* 2 .
Подставляя начальные условия, заключаем, что x1* 2 0 и x 2* 2 0 .
Отсюда получаем
u* 0 sign x1* 2 2 x2* 2 1, u * 1 sign x1* 2 1,
x1* 0 3, x2* 0 1, u* 0 1; x1* 1 2, x2* 1 7, u * 1 1,
1 1 23, 2 1 11;
x1* 2 1,
x2* 2 11, 1 2 1, 2 2 11 .
Искомая пара: оптимальная траектория x1* 3, 2, 1 , x2* 1, 7, 11 и
оптимальное управление u * 1, 1 .