Решение треугольников. Определение

1.

14.02.2023
1

2. Определение

14.02.2023
Определение
Решением треугольника называется
нахождение всех его шести элементов (то
есть трёх сторон и трёх углов) по какимнибудь трём данным элементам.
В
c
А
2
a
С
b
2

3. Для этого вспомним

14.02.2023
Для этого вспомним
Решение данных задач основано на использовании теорем
синусов и косинусов, теоремы о сумме углов
треугольника и следствии из теоремы синусов: в
треугольнике против большего угла лежит большая
сторона, против большей стороны лежит больший угол.
3
3

4. Теорема синусов

14.02.2023
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C
В
c
А
4
a
С
b
4

5. Теорема косинусов

14.02.2023
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a b c 2bc cos A
2
2
2
А
5
В
c
a
С
b
5

6. Три задачи на решение треугольника

14.02.2023
Три задачи на решение
треугольника
6
6

7.

14.02.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, C
C
Найти : АВ, А, В
A
В
7

8. Решение

14.02.2023
с а в 2ав сosС , значит
2
2
2
с а в 2ав cos С
2
2
2) Если С- тупой угол, значит углы А и В острые углы
Если С –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это угол А
а
c
a sin С
sin А
sin А sin С
c
3) Угол В =180º- ( А+ С)
Задача имеет одно решение
8

9.

14.02.2023
C
A
Дано : АВС , ВС a, C , В
В
Найти : А, АВ, АС
9

10. Решение:

14.02.2023
С= 180º - (А+В), А+В < 180º
а
b
a sin В
b
sin А sin В
sin А
a
c
a sin С
c
sin А sin С
sin А
Задача имеет одно решение
10

11.

14.02.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, АВ с
C
A
Найти : А, В, С
В
11

12. Решение

14.02.2023
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
а 2 с 2 в 2 2вс cos А
c b a
cos А
2cb
a
b
, значит
sin А
sin В
b sin А
sin В
a
2
2
2
С 180 ( А В)
Задача имеет одно решение
12

13. Таблица – памятка

14.02.2023
Таблица – памятка
Решение
треугольника по двум
сторонам и углу
между ними
А
В
В
β
B 180 A C
В
С
A 180 B C
a sin B
sin A
a sin С
с
sin A
b
А
b
c
γ
a
С
с a 2 b 2 2ab cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
Решение треугольника по
трем сторонам
А
b
γ
a
Решение
треугольника по
стороне и
прилежащим к ней
углам
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
2
b a2 c2
cos C
2ab
B 180 A 13
C