Решение треугольников. Урок №28

1.

19.10.2023
Урок №28
1

2. Определение

19.10.2023
Определение
Решением треугольника называется
нахождение всех его шести элементов (то
есть трёх сторон и трёх углов) по какимнибудь трём данным элементам.
В
c
А
2
a
С
b
2

3. Для этого вспомним

19.10.2023
Для этого вспомним
Решение данных задач основано на использовании теорем
синусов и косинусов, теоремы о сумме углов
треугольника и следствии из теоремы синусов: в
треугольнике против большего угла лежит большая
сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника
предпочтительнее использовать теорему косинусов, а
не теорему синусов.
3
3

4. Сумма углов треугольника

19.10.2023
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C
В
c
А
5
a
С
b
5

5. Теорема синусов

19.10.2023
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a b c 2bc cos A
2
2
2
А
6
В
c
a
С
b
6

6. Теорема косинусов

19.10.2023
Три задачи на решение
треугольника
7
7

7. Три задачи на решение треугольника

19.10.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, C
C
A
В
8

8.

Решение
19.10.2023
с а в 2ав сos , значит
2
с
2
2
а в 2ав cos
2
2
2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы
Если γ –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
а
c
a sin
sin
sin sin
c
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение
9

9. Решение

19.10.2023
Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А, В, c.
В
Ответ
А
10
С
10

10. Решаем задачу 1

19.10.2023
C
A
Дано : АВС , ВС a, C , В
В
11

11.

Решение:
19.10.2023
γ = 180º - (α+β), α+β < 180º
а
b
a sin
b
sin sin
sin
a
c
a sin
c
sin sin
sin
Задача имеет одно решение
12

12. Решение:

19.10.2023
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если А=60º В=40º, с =14см.
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
С
Ответ
В
13
А
13

13. Решаем задачу 2

19.10.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, АВ с
C
A
В
14

14.

19.10.2023
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
а 2 с 2 в 2 2вс cos
c b a
cos
2cb
a
b
, значит
sin
sin
b sin
sin
a
180 ( )
2
2
2
Задача имеет одно решение
15

15. Решение

19.10.2023
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
В
Ответ
А
16
C
16

16. Решаем задачу 3

19.10.2023
Таблица – памятка
Решение
треугольника по двум
сторонам и углу
между ними
А
В
В
β
B 180 A C
В
С
A 180 B C
a sin B
sin A
a sin С
с
sin A
b
А
b
c
γ
a
С
с a 2 b 2 2ab cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
Решение треугольника по
трем сторонам
А
b
γ
a
Решение
треугольника по
стороне и
прилежащим к ней
углам
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
2
b a2 c2
cos C
2ab
B 180 A 17
C

17. Таблица – памятка

19.10.2023
Ответ к примеру 3
А=54º52´
B=84º16´
C=40º52´
20
20