Экспериментальные и теоретические основы квантовой теории

1. Экспериментальные и теоретические основы квантовой теории.

Государственный университет «Дубна»
Факультет естественных и инженерных наук
Кафедра Ядерной физики
Специальный семинар по физике ядра и ядерным реакциям
В.В.Самарин
Экспериментальные и
теоретические основы
квантовой теории.
Вопросы 1, 2, 3.
2017
1

2. Вопрос 1

Экспериментальные факты, лежащие
в основе квантовой теории.
Волновые и корпускулярные свойства
материи.
Основные постулаты квантовой
механики.
Волновая функция и уравнение
Шредингера.
2

3. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой теории: кванты

1. Спектральная плотность теплового излучения и формула Планка
(Нобелевская премия 1918 г.)
Поглощательная способность тела
Тепловым (или температурным) излучением называется
электромагнитное излучение, причиной которого является
возбуждение атомов и молекул вещества вследствие их
теплового движения. Мощность электромагнитного излучения,
испускаемого единицей поверхности нагретого до температуры T
a T
dW , d
dW пад
, d
Согласно закону Кирхгофа отношение
r T
f ( , T )
a T
тела в малом интервале длин волн d , представляют в виде
изл
, d
T
dW
равна доле
падающей на единицу площади мощности излучения,
которая телом поглощается
погл
dR r d
является универсальной функцией, не зависящей от
природы тела
Макс Планк, в 1900 г. ввел квант действия (постоянную Планка) E=hn , основываясь на гипотезе о квантовой природе
излучения, получил формулу для функции f( ,T) (функция Планка)
r ,T
hc 2
f ( , T )
2 5
a ,T
1
cc
1
15
4
hc
c
exp
exp 2 1
1
kT
T
Первая радиационная постоянная
(или первая константа излучения)
c1 8 hc 4,99 10 22
Вторая радиационная постоянная
(или вторая константа излучения)
c2
Дж м
hc
=0.01438 м·К
k
Пример расчета в MathCAD
3

4. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой теории: фотоны

2. Внешний фотоэффект - излучение поглощается квантами E=hn
Фотоэффектом называется испускание электронов веществом при поглощении им квантов электромагнитного излучения
(фотонов). Фотоэффект был открыт в 1887 г. Г.Герцем, который обнаружил, что искровой разряд между двумя
электродами происходит при меньшем напряжении, если искровой промежуток освещается светом с большой долей
ультрафиолетового излучения. Первые исследования фотоэффекта выполнены А.Г.Столетовым (1888 г.),
Ф.Ленардом и Дж. Дж. Томсоном (1889 г.). Основные закономерности фотоэффекта были объяснены в 1905 г.
А.Эйнштейном на основе представлений о поглощении энергии электромагнитного поля квантами.
Нобелевская премия по физике (1921 г.).
hn Aвых
mv 2max
2
3. Эффект Комптона - фотоны имеют энергию и импульс
Нобелевская премия 1925
h
h
0
Схема опыта Комптона
mc
1 cos 2
mc
sin 2
2
Спектры рассеянного рентгеновского излучения
Исходящее из рентгеновской трубки 1 монохроматическое (называемое характеристическим) рентгеновское излучение
с длиной волны λ0, проходит через свинцовые диафрагмы 2 и в виде узкого пучка направляется на рассеивающее вещество
– мишень 3. Излучение, рассеянное под некоторым углом θ, анализируется с помощью спектрографа рентгеновских лучей 4,
в котором роль дифракционной решетки играет кристалл 5, закрепленный на поворотном столике.
4

5. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой теории: атомы

1. Опыт Резерфорда 2. Линейчатые атомные спектры
3. Опыт Франка-Герца
Нобелевская премия 1925
Спектр
излучения Na
Спектр Hg
Спектр
поглощения Na
Нить накала 1
одновременно является
катодом лампы, сетка 2
выполнена в виде
спирали, навитой вокруг
нити накала, вокруг сетки
расположен
Классическая картина столкновения
ядер 16О + 208Pb для энергии
Eц.м.=70 МэВ, упругое рассеяние,
Окружность – точки соприкосновения
ядер.
Пример расчетов в MathCAD:
Классическая картина столкновения ядер
4He+ 197Au для энергии E
ц.м.=5 МэВ,
цилиндрический катод 3
а) Спектральные серии
атома натрия, границы
серий показаны штриховкой;
б) схема уровней атома
натрия переходы между
ними, приводящие к
образованию серий; рядом
с переходами
указаны длины волн
излучения в нм
5
Пример вольтамперной характеристики

6. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой теории: волновые свойства частиц

1. Дифракция электронов:
а) при отражении от поверхности
монокристаллов (К. Девиссон)
б) при прохождении через фольгу
(Дж. П. Томсон)
Нобелевская премия 1937.
2. Длина волны де Бройля
Нобелевская премия 1929.
h
p
3. Эффект Рамзауэра
6

7. Основные постулаты квантовой механики.

1.
2.
Физическим величинам
ˆ r , pˆ i , pˆ i , Hˆ
ˆ f r , pˆ
r
U
(
r
),
f
x
сопоставляются операторы.
x
2m
Энергии сопоставлен оператор
Гамильтона (гамильтониан) Н.
Средние значения физической
величины f при измерении для
плотность вероятности
некоторого состояния системы
равно интегралу
f y* fˆ ydq
где y – волновая функция
системы. В стационарном
состоянии с yn - собственной
функцией оператора при
измерении f получится
собственное значение оператора
fn. Стационарное уравнение
Шредингера HY=EY. Плотность
траектории
вероятности y 2
* ˆ
Матрицы операторов f nm y n f y m dq
Квантовая (верхняя половина) и классическая
В квазиклассическом пределе
(нижняя половина) картины столкновения ядер
2
3.
4.
h 0 y aexp(iS/h),
S − действие.
В пределе малых длин волн де
Бройля плотность вероятности
соответствует классическим
траекториям частицы.
16О
+ 208Pb: для энергии E=70 МэВ, упругое рассеяние,
Окружность - точки соприкосновения ядер.
Степень почернения пропорциональна плотности
вероятности
Соотношение неопределенности Гейзенберга
pˆ x x xpˆ x i
px x
7

8. Волновая функция и уравнение Шредингера

Стационарное уравнение Шредингера
Hˆ y Ey,
2
2m
y U (r )y Ey,
y
2m
2
E U (r ) y 0
Нестационарное уравнение Шредингера
2
Y ˆ
Y
i
H Y, i
Y U (r , t )Y,
t
t
2m
Изменение со временем средних значений физических величин
d
d
Y * ˆ
Y
* ˆ
* ˆ
f Y f Ydq Y f Ydq
f Ydq Y * fˆ
dq
dt
dt
t
t
t
1
* ˆ
* ˆ ˆ
* ˆˆ
* ˆ
Y f Ydq
Y
f
H
Y
dq
Y
Hf
Y
dq
Y
f Ydq
i
t
Дифференцирование операторов по времени
ˆ fˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ
f
Hf fH
t
Пример: оператор производной скорости по времени − оператор ускорения
i ˆ
ˆ
ˆ ˆ U
mv m Hvˆ vH
8

9. Вопрос 2

• Описание эволюции квантовомеханических систем. Уравнения
Гейзенберга и Шредингера.
• Стационарные состояния.
• Линейный квантовый гармонический
осциллятор.
9

10. Описание эволюции квантово-механических систем. Уравнения Гейзенберга и Шредингера.

Изменение со временем волновой функции в представлении Шредингера
i
Y ˆ
1 ˆˆ 2
i ˆ
H Y, Y (t ) 1 Ht
2 HHt
t
i ˆ
Y (0) exp Ht Y (t 0).
Изменение со временем плотности вероятности в представлении Шредингера
Y*
1
1
*
* Y
Y Y Y
Y
Y* Hˆ Y YHˆ Y * ,
t
t
t
i
i
i ˆ
Y
Y
(0)
exp
H
Ht Y (t )
Волновая функция в представлении Гейзенберга (Н) не зависит от времени
Операторы в представлении Гейзенберга зависят от времени t: fˆ exp i Ht
ˆ fˆ exp i Ht
ˆ , Hˆ Hˆ
H
H
Средние значения физических величин в представлениях Шредингера
и Гейзенберга (Н)
f Y* (t ) fˆ Y (t )dq
*
ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ ˆ
i ˆ
*
* ˆ
f exp Ht
Y
(0)
f
exp
Ht
Y
(0)
dq
Y
exp
Ht
f
exp
H
Ht Y H dq Y H f H Y H dq
Изменение со временем средних значений физических величин в представлениях Шредингера и
Гейзенберга (Н)
fˆH i
*
* ˆ
* d ˆ
*
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
f Y (t ) f Y (t )dq Y H f H Y H dq Y H
f H Y H dq Y H
Hf H f H H Y H dq
t
t
t
t
dt
Уравнения для операторов в представлении Гейзенберга
10
fˆH i ˆ ˆ
d ˆ
fH
Hf H fˆH Hˆ
dt
t

11. Изменение со временем плотности вероятности: свободное движение волнового пакета

11

12. Изменение со временем плотности вероятности: столкновение волнового пакета с барьером

12

13. Пример изменения со временем плотности вероятности: одномерная модель реакции передачи нейтрона при столкновении атомных ядер

В. В. Самарин ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78,№1-2, с. 133–146
13

14. Линейный квантовый гармонический осциллятор (с помощью полиномов Эрмита Hn(x) )

m x
y E y,
2m
2
1
2m
y 2 E m 2 2 x 2 y 0, E n , n 0,1, 2,
2
Hˆ y Ey,
2
y
2
2
2m
y 2 E m 2 2 x 2 y 0
H 0 ( x) 1, H1 ( x) 2 x, H n 1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n 1 ( x)
H
k
( x) H n ( x) exp( x 2 )dx 2n n ! || H n ||2
H n ( x) 2 xH n ( x) 2nH n ( x) 0
x2
1
y n ( x)
H n ( x) exp
|| H n ||
2
y n ( x) ( x 2 )y n ( x) 0, 2n 1
Пример расчета
в Maple
14

15. Линейный квантовый гармонический осциллятор (с помощью полиномов Эрмита Hn(x) )

2 2
m
x
Hˆ y E y,
y
y Ey,
2m
2
2m
y 2 E m 2 2 x 2 y 0,
1
E n , n 0,1, 2,
2
2
2m
y 2 E m 2 2 x 2 y 0
H 0 ( x) 1, H1 ( x) 2 x, H n 1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n 1 ( x)
H
k
( x) H n ( x) exp( x 2 )dx 2n n ! || H n ||2
H n ( x) 2 xH n ( x) 2nH n ( x) 0
x2
1
y n ( x)
H n ( x) exp
|| H n ||
2
y n ( x) ( x 2 )y n ( x) 0, 2n 1
Пример расчета в MathCAD
15

16. Линейный квантовый гармонический осциллятор (матричный метод)

i
vˆ
m
1
ˆ ˆ U
Hvˆ ˆ vH
m
16

17. Вопрос 3

• Прохождение частиц через
потенциальный барьер.
• Туннельный эффект.
17

18. Схема расчетов прохождения частиц через потенциальный барьер

18

19. Туннельный эффект в устройствах с p-n переходом и резонансное туннелирование в стабилитроне

19

20. Туннельный эффект в устройствах с p-n переходом и резонансное туннелирование в туннельном диоде

20

21. Туннельный эффект при альфа-распаде

21

22. Туннельный эффект при альфа-распаде и квазистационарные состояния

В. В. Самарин ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2014, том 78, № 11, с. 1388–1395
Соотношение неопределенности
для энергии
E t
t – время жизни состояния (характерное время распада),
E – неопределенность энергии состояния
22

23. Прохождение частиц через потенциальный барьер.

Точное решение уравнения Шредингера для потенциального барьера Пешля-Теллера
23

24. Квазиклассическая формула для проницаемости потенциального барьера

2b
D ~ exp 2m U ( x) E dx
a
E U (a ) U (b)
a
b
m 2 2
формула для параболического барьера
U ( x) B
x
2
b
2b
2
m 2 2
m 2
2
D exp 2m B E
x dx exp
2m( B E ) 1
x dx
2
2( B E )
a
a
1
2
(B E)
2
2
exp
2m( B E )
1
y
dy
exp
(
B
E
)
, E B
2
1
m
24

25. Прохождение частиц через потенциальный барьер.

http://nrv.jinr.ru/nrv/webnrv/fusion/description/empiric.pdf
Приближенная
формула для
параболического
барьера
e
25

26. Приближенная формула для проницаемости параболического барьера

2
k2
1
E
;k
2mE ;
2m
U ( x)
ka
x
B 1 2
x
a
ch 2
a
1
B
2mE
2
m 2 2
2B
B
x
;
a
;
2
2
m
2B
2 EB
1
2B
2B
;
Qa
2
mB
m 2
m 2
B
ch2
ln
2 ln
EB
sh2
sh 2 2
ch 2 2
2
2
Q2
1
V0 B
; Q
2mB ;
2m
ch 2 Qa
D 1 2
sh ka
1
8mBa 2
2
2Qa;
2B
ch 2
1
2 2 EB
sh
1
;
EB
2 ln exp 2 ( EB B) 2 2 B ( E B ) 2 2 B ( E B) 2 ( E B)
B
( E B)
B
exp 2 ( B E )
EB
2
sh 2
ch 2 2
26

27. Пример сравнения точной и приближенных формул для проницаемости барьера

Точная формула
Приближение Хилла-Уилера
Квазиклассическое приближение
для параболического барьера
27

28. Литература

1.
2.
3.
Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической
физики. Т. 2. Квантовая механика. − М. Наука. 1971.
Ситенко А.Г. Теория рассеяния. − Киев. “Вища школа”, 1975.
Фрауэнфельдер, Г. Субатомная физика. /Г. Фрауэнфельдер,
Э. Хэнли. – М.: Мир. 1979.
4.
Nuclear Reaction Video. База знаний по низкоэнергетическим
ядерным реакциям. http://nrv.jinr.ru/nrv/.
5.
Гольдман И. И., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой
механике. (ГИТТЛ, Москва, 1957).
28