Твердотельная электроника

1. Твердотельная электроника

Электронный учебно-методический
Электронный учебно-методический
комплекс
комплекс
Твердотельная электроника
Презентации к лекционному курсу
Уравнение Шрёдингера,
волновая функция
МОСКВА
2024
НИУ «МЭИ»

2.

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль предположил, что
любая частица, в том числе и е-н, обладает волновыми свойствами
с длиной волны
h p
где h=6,62·10-34 Дж·с=4,5·10-15 эВ·с
– постоянная Планка;
p – импульс е-на
Луи Виктор Пьер Раймон, 7-й герцог
Бройли, более известный как Луи де
Бройль (фр. Louis-Victor-Pierre-Raymond,
7ème duc de Broglie, Louis de Broglie;
15.08.1892 – 19.03.1987) – французский
физик-теоретик, лауреат Нобелевской
премии по физике 1929 г.

3.

4.

Гипотеза де Бройля позволяет дать интерпретацию боровского
правила квантования момента импульса е-на в атоме водорода:
это правило эквивалентно условию для стоячих волн: на длине
волны окружности, соответствующей орбите е-на в атоме должно
укладываться целое число длин волн.
2 r n n h p n h m *

5.

Можно ввести понятие волнового числа, то есть числа волн,
укладывающихся на 2π см: k 2 p
ħ=1,054·10-34 [Дж·с] – приведенная постоянная Планка или
постоянная Дирака.
В этом случае p называют квазиимпульсом е-на.
Кинетическая энергия свободного е-на
E m0 c h
hc
p c p 2 2m0
2
2
2 c
k c
k 2 2m0
m0=9,1·10-31 кг – масса свободного е-на.
Тогда можно связать импульс с волновым вектором: p k
Зависимость Е(k, р) называется законом дисперсии.

6.

В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел временное
уравнение для волн де Бройля. Волна, связанная с отдельной
частицей описывается волновой функцией (ВФ), зависящей от
координат и времени ( r , t )
r , t
i
H (r , t )
t
В левой части – скорость изменения ВФ, умноженная на мнимую
единицу (i2=-1) и приведенную постоянную Планка.
В правой – оператор Гамильтона Ĥ, действующий на ВФ.
Как показал Шрёдингер, дуальность «волна-частица» (т.е.
наличие у вещества одновременно волновых и корпускулярных
свойств) очень удобно описывать ВФ Ψ(r, t), которая не только
является непрерывной, но и имеет непрерывные производные.
Точное решение уравнения можно получить только при
определенных (собственных) значениях энергии Е.

7.

H r , t E r , t
i
r , t
t
E (r , t )
Решения уравнения существуют
только для ВФ, характеризуемых
набором квантовых чисел: n, l, m и
соответствующих им дискретных
значений энергий.
Э́рвин Ру́дольф Йо́зеф
Алекса́ндр Шрёдингер
(нем. Erwin Rudolf Josef Alexander
Schrödinger
12.08.1887 – 04.01.1961) –
австрийский физик-теоретик,
Лауреат Нобелевской премии по
физике 1933 г.

8. Квантовые операторы –

символические
изображения
математических
операции
преобразования величин в квантовой теории. В квантовой
механике постулируется, что каждой физической величине,
описываемой в классической механике функцией F(x,y,z,px,py,pz)
координат и импульсов, ставится в соответствие линейный
оператор Fˆ xˆ , yˆ , zˆ
действующий на ВФ. Под оператором F̂
понимается правило, по которому одной функции Ψ (x, y, z, t)
переменных x, y, z, t сопоставляется другая функция χ (x, y, z, t)
тех же переменных
ˆ
( x, y, z , t ) F ( x, y, z, t )
Например: оператор может означать дифференцирование по какойлибо переменной
( x, y, z , t )
ˆ
( x, y, z , t ) F ( x, y, z , t )
x
ˆ
F
x

9.

• Лекция №2

10. Примеры некоторых операторов

• Оператор координаты x̂ равен самой координате x, т.е. сводится
к умножению на эту переменную: xˆ x
• Оператор полной энергии (гамильтониан) Ĥ получается из
выражения H r , t E r , t
где E – собственная энергия частицы (системы частиц).
i
r , t
t
E (r , t ); E Ek Еп Ek U п
• Энергия частицы массой m имеет две составляющие –
кинетическую и потенциальную: E Ek U п
ˆ Eˆ Uˆ , где Eˆ − оператор кинетической
В этом случае H
к
п
к
энергии, Û п − оператор потенциальной энергии.
2
2
ˆ
p
1
Eˆ k
pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2
;
2m * 2m *
2m *
2
2
2
2
2 2 2 – оператор Лапласа
x y z

11.

• Оператор импульсов
pˆ i ;
i
i x y z
i
j k ; – оператор Гамильтона
x
y
z
или набла – оператор
• Операторы проекций импульсов
ˆ x i
ˆ y i
ˆ z i
p
;p
;p
x
y
z
• Свободная частица массы m0 : U(x)=0,
Hˆ Eˆ k
2
2m0
2 ;
Уравнение Шредингера для свободной квантовой частицы
2
(r, t )
2
(r, t )
E (r, t )
2
2m0
2m0 r
2
2

12.

В стационарном случае
2
(r, t )
ih
2 (r, t ) Eк (r, t ) 0.
t
2m0
Шредингер заметил, что при определенных условиях решение его
волнового уравнения представляют собой стоячие (независящие
от времени) волны, и связал эти решения со стационарными
состояниями атомов.
ВФ е-на в атоме водорода характеризуется
кв. числами n, l, ml. Для n=1, l=0, ml =0
r
(r)
exp
3
a0
a0
1
4 0 2
а0
= 0,529∙10-10 [м] –
2
m * q
боровский радиус

13.

Энергия связанной частицы массой m* имеет две составляющие –
кинетическую и потенциальную E = Eк + Eп.
В этом случае m* – эффективная масса частицы, определяемая
по формуле:
1
1
2
d
E
*
m 2
dp
2
d
E
2
dk 2
масса связанной частицы уже не является постоянной
величиной, а зависит от энергии электрона Е, а ее величину
можно получить, зная зависимость энергии в k- или pпространстве!
Скорость изменения скорости

14.

Учитывая потенциальную энергию квантовой частицы, уравнение
Шредингера примет вид:
2
2
(r, t ) Eп (r) (r, t ) Eк (r, t )
*
2m
Уравнение в частных производных имеет множество решений. В
каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать
одно решение, отвечающее условиям задачи.
Частица в одномерной потенциальной яме U(x), 0 < x < w:
2
d
ˆ
H
2 Eп x
2m * dx
Для трехмерной потенциальной ямы:
2
d
d ˆ
d
H
E п x , y , z * 2 2 2 Eп x , y , z .
*
2m
2m dx
dy
dz
ˆp 2
2
2
2
2

15. Как определить саму волновую функцию?

в соответствии с соотношением неопределенностей Вернера
Гейзенберга, выведенного им в 1927 г., координату и импульс
любой микрочастицы нельзя измерить точно одновременно:
x p / 2
(для одномерного движения, чем точнее значение координаты,
тем менее точно можно измерить значение импульса)
Ве́рнер Карл Ге́йзенберг
(нем. Werner Karl Heisenberg;
05.12.1901 – 01.02.1976)
– немецкий физик-теоретик, лауреат
Нобелевской премии по физике 1932 г.

16. Так что такое волновая функция?

В 1926 г. немецкий физик Макс Борн предложил, что ВФ
физического смысла не имеет, но определяет вероятность
пребывания е-на в заданной точке. В тех областях, где амплитуда
волны больше, обнаружение е-на более вероятно.
Макс Борн
(нем. Max Born; 11.12.1882 –
05.01.1970) –
– немецкий и британский физиктеоретик и математик, лауреат
Нобелевской премии по физике 1954 г.

17.

Согласно Постулата №1 квантовой механики Состояние частицы
(или системы частиц) задано, если известна волновая функция.
Следствие из уравнения Максвелла:
E E0 exp i kr t
Волновая функция
В любой момент времени t, состояние квантовой частицы
задается двумя величинами: импульсом и координатами
(радиусом-вектором): ( r , t ) ( r , t ) exp i p r E t
0
p k;E
Это – комплексная синусоида.
x p / 2;
E t / 2
(r , t ) 0 (r , t ) exp[i ( k r t )]
0 (r , t ) [cos(k r t ) i sin(k r t )]

18.

Ограничения на вид волновой функции
1. Волновая функция (ВФ) должна существовать и удовлетворять
уравнению Шредингера (УШ).
2. ВФ и ее первая производная должны принимать конечные
значения.
3. ВФ и ее первая производная должны быть однозначными.
4. Условие нормировки:
2
(r , t ) dV 1
5. В одномерном случае вероятность обнаружить частицу в
интервале от x1 до x2:
x2
w ( x) dx
x1
2

19.

ВФ Шредингера (амплитуда волны де Бройля) определяет
вероятность нахождения частицы в данной точке пространства и
времени. Если мы пытаемся установить положение частицы в
данный момент времени t, то вероятность обнаружить частицу в
малом объеме dV d 3 r пропорциональна
(r , t ) dV (r , t ) d 3 r
2
2
Вероятность обнаружить данную частицу в объеме dV
w (r , t ) (r , t ) (r , t ) *
2
здесь ( r , t ) *– комплексно-сопряженная с функцией (r , t )
(r , t )* 0 exp[ i(k r t )]

20.

Если нам известна ВФ, то из нее можно получить энергию,
продифференцировав ее по времени один раз и квадрат импульса
продифференцировав ее по координате дважды:
(r , t )
i
1
(r , t )
E (r , t ) E
t
i (r , t )
t
2
2
2 (r , t ) 2 2 2
p2
(r , t )
2
(
r
,
t
)
p
2
(r , t )
r 2
x 2 y 2 z 2
r 2
p2
E
;
2m
2
d
2
Ek
2 ;
2m
2m dr
2
2
УШ удобно переписать в следующем виде:
2
1
(r , t )
d2
E (r , t )
(r , t )
(r , t )
2
i (r , t )
t
2m dr
2
1
(r , t )
2 (r , t )
1
2
i (r , t )
t
2m r
(r , t )
(1)

21.

2
r , t
(r , t )
2
E (r , t )
r ,t
i
2
2m
2m
t
r
2
2
(1)
При условии стационарности поля внешних сил (E(t)=const), ВФ
(r , t ) можно представить в следующем виде: (r , t ) (r ) t , что
дает возможность после разделения переменных получить два
уравнения для временной и координатной частей ВФ
соответственно: ( x, t ) t x
Так для одномерного случая УШ можно записать в виде:
x, t
2 ( x, t )
Е x ( x, t ) i
2
2m x
t
t
E
Е (t ) i
t С exp i t
2
t
2
d2
d 2 ( x) 2m
( x) E U x ( x) 0
2 E U x ( x) 0
2
2
2m dx
dx
Для нахождения вида функции ψ(х) в уравнение необходимо
подставлять зависимость U(х) в каждом конкретном случае.

22.

Уравнение Шредингера для свободной частицы
потенциальной энергии, U=0) с разделением переменных.
В стационарном случае
2
r , t
i
2 (r , t ) E (r , t ) 0,
t
2m0
(нет
(r , t ) 0 (r , t ) exp[i (kr t )]
Для одномерного случая:
Падающая, по х
Отраженная, против х
( x) A exp i t kx B exp i t kx
k 2 р
2m0 E
, E
Т.о., для свободной частицы общее решение представляется в виде
двух монохроматических волн, распространяющихся вдоль оси х в
противоположных направлениях с амплитудами А и В
соответственно.

23.

Если взять волну де Бройля, идущую в сторону положительных
значений оси x, то
2
(r , t ) (r , t )* А
и значит, плотность вероятности нахождения частицы не
зависит от координаты.
( x) A exp i t kx
B exp i t kx
Решения в виде стоячей
волны зависят от времени
благодаря множителю
exp[-i·ωt],
причем
возможные
значения
образуют
( x) A exp ikx частоты
дискретный ряд ω1, ω2, ω3
..., и, т.о., энергия п-го
стационарного состояния
равна
Еn=ħ·ωn.

24.

Решение УШ для свободной частицы дает одинаковую плотность
вероятности обнаружения частицы в любой точке пространства.
Рассмотрим одномерный стационарный случай.
d
2
2
( x) ( x)
A exp ikx A exp ikx ik k 2 ,
dx
k 2
2
2m0
E 0,
k2 2
p2
E
.
2m0
2m0
Закон дисперсии
для свободной частицы

25. Атомная орбиталь

Каждому уровню энергии соответствует стоячая электронная
волна, то есть геометрический образ, соответствующий Ψ(r, t)
и представляющий область наиболее вероятного пребывания
электрона в атоме, который называют атомной орбиталью
данного электронного состояния.
Из-за
неопределенности
координат нельзя говорить и о
траектории е-на, в частности об
орбитах е-нов в атомах.

26.

Решение уравнение Шредингера частицы,
находящейся в потенциальной яме
, x 0,
Eп x 0, 0 x L,
, x L,
d 2 ( x) 2m*
2 E ( x, t ) 0
2
dx
с граничными условиями
(0) 0; ( L) 0
0 x L

27.

2m *
d 2 ( x)
2
E
k
( x) 0
2
dx
Вводя обозначение k
2
1 ( x) 0, x 0
2 ( х) A sin kx B cos kx ,0 x L
3 ( x) 0, x L
Используя граничное условие Ψ(0)=0,
2 (0) A sin 0 B cos 0 0; В=0,
( L) A sin 0 0
A sin kL 0; kL n; k n L
2 2
где n=1, 2,3...
2
En
n
2m* L2
Заметим, что условие для волнового числа k=πn/L
соответствует образованию в области 0<x<L стоячей волны
(λ=2π/k), когда в пределах этой области укладывается
полуволн n=L/(λ/2).

28.

Множитель А находим из условия нормировки ВФ:
а
x
2 2
п x, t dx А 0 sin L n dx А L 1.
2
2
2
А 2 L
п x
2
x
sin n , 0<x<L, n=1, 2, 3…
L
L

29.

2 2
2
En
n
, где n=1, 2,3...
2m* L2
Случай п=0 следует отбросить, так как
при этом ВФ всюду равна нулю, что
лишено физического смысла, так как это
означает, что частица в яме отсутствует.
Состояние частицы, в которой она
обладает наименьшей энергией (п=1),
называется основным состоянием. Все
остальные
состояния
являются
возбужденными.
0
L
E1
2 2
2m L2

30.

E1
2 2
2m* L2
2 2
2 2 2
2
En En 1 En
n 1 * 2 n
* 2
2m L
2m L
2 2
2 2
2
2
n
2
n
1
n
2n 1 .
* 2
*
2
2m L
2m L
Как энергия состояния, так и разность энергий соседних
состояний (ΔЕn – разность между уровнями энергии)
увеличивается (↑) с ↑ уровня п и зависит от массы частицы и
ширины потенциальной ямы: с ↑ массы (переход к
макрообъектам) и ↑ ширины области, в которой заключена
частица (переход к свободным частицам), расстояние ΔEn между
уровнями энергии уменьшается и в пределе становится равным
нулю, другими словами, значения энергий для свободных
микрочастиц и макрообъектов не квантуются.
Каждому значению ΔEn соответствует собственная ВФ.

31. Волновые функции частицы в потенциальной яме с непроницаемыми стенками

L/3
L/3
L/2
Плотность вероятности
нахождения частицы для
различных квантовых
состояний

32. Движения частицы в яме конечной глубины

, x 0
Eп x 0, 0 x L
U , x L
0
d 2 1 ( x) 2m*
2 Е 1 ( x ) 0
2
dx
d 2 2 ( x) 2m*
2 EП Е 2 ( x) 0
2
dx

33.

k1
*
2m
2
E ; k2
*
2m
2
EП E
1 ( x) A sin k1 x
2 ( х) Се
k2 х
2

34. Потенциальная прямоугольная яма конечной глубины

U 0 , x 0
Eп x 0, 0 x L
U , x L
0
d 2 1,3 ( x)
dx
2
2m*
d 1,3 ( x)
2
k1
2m*
2
U 0 E ,
k2
2m*
2
Е
U 0 Е 1,3 ( x) 0.
2
dx 2
k12 1,3 ( x) 0.
d 2 2 ( x) 2m*
2 Е 2 ( x) 0
2
dx
1 ( x) A1 exp k1 x , x 0,
2 ( x) С sin k2 x , 0 x L,
3 ( х) B3 exp k1 x , x L.

35. Потенциальная прямоугольная яма конечной глубины

1
2
Потенциальная
прямоугольная яма конечной
глубины

36.

В случае трехмерной потенциальной ямы (L1, L2, L3 – размеры
ямы по осям x, y, z соответственно) собственные значения
энергии частицы также находятся из граничных условий.
Разделение переменных производится после представления
волновой функции в виде и из условия:
k2
2m*
Е
2
р2
2
р12 р22 р32
2
k12 k22 k32
В результате k1 = πn1/L1; k2 = πn2/L2; k3 = πn3/L3 и
2
2
2
n1 n2 n3
En1 ,n2 ,n3
2 2 ,
* 2
2m L1 L2 L3
2
2

37. Туннельный эффект

Каково поведение частицы, встречающей на своем пути
потенциальный барьер?
Е
В рамках классической механики априорно ясно, что тело
имеющее полную энергию Е не может преодолеть потенциал V0,
при условии V0>Е. При падении тела на такой барьер оно может
лишь полностью отразиться от него независимо от его формы и
ширины.

38.

Это согласуется с законом сохранения энергии. Если энергия
частицы больше высоты потенциального барьера, то частица
обязательно проходит над ним.
1 ( x) A sin k1 x
2 ( х) Се k2 х
, x 0
U x 0,0 x a
U , x a
0

39. Преодоление потенциального барьера шириной R

Туннельный эффект является принципиально квантовомеханическим эффектом, не имеющим аналогов в классической
физике. Рассмотрим случай одномерного прямоугольного
барьера шириной R.

40.

k1
2m*
2
Е
k2
2m*
2
V0 E
1 ( x) A1 exp ik1 x B1 exp ik1 x , x 0
2 ( x) A2 exp ik 2 x B2 exp ik 2 x ,0 x R
3 ( x) A3 exp ik1 x B3 exp ik1 x A3 exp ik1 x , x R

41.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной Iот и
падающей волн Iпад определяет коэффициент отражения
частицы от потенциального барьера:
2
2
B1
k1 k2
Iот
R
.
2
Iпад
A1
k1 k2
Коэффициент прохождения D (коэффициент прозрачности),
определяющий часть потока частиц, прошедшего сквозь барьер,
связан с коэффициентом отражения: D=1-R.
Рассмотрение случая высокого потенциального барьера (E<V0)
проводится аналогично, но теперь k2 является мнимой
величиной:
k2
2m *
2
E V0 ik

42.

Полагая B2 =0 (отражением от второй границы барьера можно
пренебречь при условии достаточно высокого и широкого
потенциального барьера), получаем выражения для пси-функции
и коэффициента прозрачности:
2 ( x) A2 exp kx
А3
2
2R
D
exp 2kR D0 exp
2m * V0 E
2
2
A1
k1 k2
16k12 k 2

43.

Можно показать, что для высокого потенциального барьера любой
формы коэффициент прозрачности D, то есть имеется вероятность
проникновения частицы сквозь такой барьер. Частица как бы
просачивается («туннелирует») через область потенциального
барьера, не изменяя при этом свою энергию. Это явление
называется туннельным эффектом.
Вероятность туннелирования ↓ с ↑ ширины барьера, его высоты
(точнее, разности V0-E) и с ↑ массы частицы. Например, если е-н
(m0=9,1∙10-31 кг) с энергией Е=1 эВ может преодолеть
прямоугольный потенциальный барьер высотой V0=2 эВ и
шириной R=10-8 см (размер атома) и при этом коэффициент
прозрачности барьера 0,78, то уже для протона (mп=1,67∙10-27 кг)
при тех же условиях коэффициент прозрачности барьера 3,6∙10-19.

44.

Основы теории туннельных переходов заложены работами
советских ученых Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г.
Леони́д Исаа́кович
Мандельшта́м
(22.04 [04.05] 1879 –
27.11.1944) – советский
физик, академик АН СССР
Михаи́л Алекса́ндрович
Леонто́вич (22.02 [07.03]
1903 – 30.03.1981) – физик,
академик АН СССР; Лауреат
Ленинской премии 1958 г.

45.

Сколько е-нов может
находиться на одной орбите?
Во́льфганг Эрнст Па́ули (нем.
Wolfgang Ernst Pauli;
25.04.1900 – 15.12.1958) –
швейцарский физик-теоретик,
работавший в области физики
элементарных частиц и
квантовой механики. Лауреат
Нобелевской премии по физике
за 1945 г.
Вольфганг Паули в 1925 г.
сформулировал принцип
запрета: на любой атомной
орбите может находиться не
более двух е-нов. Если бы
этого не наблюдалось, все
е-ны в сложных атомах
перешли бы на самый нижний
энергетический уровень.

46.

Более точная формулировка принципа Паули: в атоме не может
быть двух е-нов, у которых значения квантовых чисел (n, l, m, s)
были бы одинаковы, т.е. на каждой орбитали может находиться
не более двух электронов (с противоположными спинами).
В 1940 г. тот же Паули выдвинул теорему, согласно которой
для частиц с полуцелым спином (фермионов) выполняется
принцип запрета (на одной орбитали находится не более 2s+1
частиц).
У фотона, глюона (осуществляет обмен между кварками) s =1
– целое число, в одном состоянии может находиться любое
число частиц.

47.

Свое название – фермионы,
частицы с полуцелым
спином (электроны, дырки)
получили по имени
итальянского физика Энрико
Ферми.
Энри́ко Фе́рми
(итал. Enrico Fermi;
29.09.1901 – 28.11.1954) –
итальянский физик. Лауреат
Нобелевской премии по
физике 1938 г.
1
fn (E)
E F
exp
1
kT

48.

1
fn (E)
E F
exp
1
kT
Частицы с целым спином
(включая нуль) – бозоны,
по имени индийского
ученого Шатьендраната
Бозе.
Сатьендра Нат Бо́зе
(англ. Satyendra Nath Bose)
или Шотендронат
Бо́шу (бенг. সত্যেন্দ্র নাথ
বসু, ʃot̪ːend̪ronat̪ʰ boʃu) (01.01.1894 –
04.02.1974) – индийский физик