Лекция 3б. Механические колебания-1
Определение колебания
Основные характеристики колебательного движения
Основные характеристики колебательного движения (продолжение)
Пример на изменение характеристик колебательного движения
Основные характеристики колебательного движения (ещё продолжение)
Графики колебательного движения
Энергия гармонического колебания
Маятники
Гармонические колебания
Гармонические колебания (продолжение)
Затухающие колебания
Затухающие колебания (продолжение)
Характеристики затухающего колебания
Характеристики затухающего колебания (продолжение)
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания (продолжение)
Резонанс
График резонанса
Спасибо за внимание!
2.81M
Категория: ФизикаФизика

Механические колебания

1. Лекция 3б. Механические колебания-1

Курс физики для студентов 1-2 курса БГТУ
Заочный факультет
для специальностей ЛИД, ТДП, ТДПС, МОЛК, МОЛКС
Кафедра физики БГТУ
доцент Крылов Андрей Борисович
Часть I.
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Лекция 3б.
Механические колебания-1
Гармонические колебания
2015
1
+

2. Определение колебания

Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные
повторяющиеся процессы, например, процесс работы сердца.
Аналогично и в технике есть разнообразные повторяющиеся процессы
Все эти явления подчиняются общим закономерностям, которые рассмотрим на
примере механических колебаний.
Колебания – это периодически повторяющиеся движения или изменения
параметров, которые характеризуют состояние системы.
Колебания могут быть разной природы:
механические,
тепловые,
электрические и т. п.
Виды колебаний
гармонические,
периодические
затухающие,
вынужденные
Простейшим видом колебаний является гармонические колебания, но
чаще встречаются периодические колебания.
Систему, совершающую колебательные движения, называют осциллятором.
2
+5

3. Основные характеристики колебательного движения

Смещение x – это расстояние, на которое отклоняется колеблющееся тело в
данный момент времени от положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м);
для гармонического колебания (1):
Амплитуда А0
или (часто) просто А– максимальное смещение (А0=xмах) от
положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м);
Период Т –
время одного полного колебания. Измеряется в СИ в секундах (с).
Для колебания материальной точки на пружине:
m
T 2
k
где m – масса материальной точки, закреплённой на пружине жёсткостью k.
Частота
ν
или линейная частота
(«ню») – это число колебаний в единицу
1
1
времени. Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах:

Связана с периодом Т формулой:
1
Т
с
1Гц
3
+5

4. Основные характеристики колебательного движения (продолжение)

Циклическая или круговая частота ω («омега») – величина, которая связана с
линейной частотой
формулой:
Измеряется в СИ в радианах в секунду (рад/с), т.к. по определению -это
скорость изменения угла φ от времени t.
Круговая частота ω связана с коэффициентом жёсткости k:
2 2
2
1
2
Т 2 m
k
k
k
2 = k = 2 m
m
m
Фаза колебаний φ («фи») характеризует состояние колеблющейся материальной
точки в любой момент времени:
где φ0 - начальная фаза колебаний (фаза при t0=0).
Фаза по смыслу является углом отклонения от положения равновесия и измеряется в
Амплитуда А0 и начальная фаза φ0 колебаний определяются начальными
угловых градусах (внесистемная единица) и в СИ – в радианах (рад).
условиями движения (положением материальной точки в момент времени t0 = 0).
4
+6

5. Пример на изменение характеристик колебательного движения

Во всех трех случаях для синих кривых φ0 = 0:
а – красная кривая отличается от синей
только бóльшей амплитудой (x‘max > xmax);
b – красная кривая отличается от синей
только значением периода (T' = T / 2);
с – красная кривая отличается от синей
только значением начальной фазы:
5
+4

6. Основные характеристики колебательного движения (ещё продолжение)

Скорость движения материальной точки v.
Измеряется в СИ в метрах в секунду (м/с).
Выражение для
Скорость максимальна, если:
v найдём путем дифференцирования х:
cos(ω0 t + 0 ) = 1
Тогда
v v max A0 0
Ускорение колеблющейся материальной точки а.
Измеряется в СИ в метрах в секунду в квадрате (м/с2).
Выражение для нахождения
dv d 2 x
a=
= 2 x
dt dt
Ускорение – это вторая производная по времени от смещения:
Ускорение максимально, если
а найдём путем дифференцирования v:
sin(ω0 t + 0 ) = -1
Тогда
a = amax = A0 ω0 2
6
+7

7. Графики колебательного движения

График координаты x (t) тела,
совершающего гармонические колебания
xmax=A0
График скорости v(t) тела, совершающего
гармонические колебания
v v max A0 0
График ускорения a(t) тела, совершающего
гармонические колебания
a = amax = A0 ω0 2
7
+4

8. Энергия гармонического колебания

Полная энергия гармонического колебания E определяется
суммой кинетической и потенциальной энергий:
mv 2 kx 2
E = Eк + En =
+
2
2
Подставляя в эту формулу
выражение для скорости v:
выражение для смещения x:
и, учитывая, что
k = ω02 m
получаем:
так как:
(основное тригонометрическое тождество)
Из формулы:
следует, что энергия гармонического
колебания прямо пропорциональна квадрату амплитуды А2: чем больше “размах”
колебаний, тем больше и их энергия.
Кроме того, энергия прямо пропорциональна квадрату круговой частоты
колебаний ω0.
8
+8

9. Маятники

Маятник − это тело массой m, , подвешенная на нити или пружине и совершающее гармонические
колебания.
Пружинный маятник
Пружинный маятник − это
материальная точка массой m,
подвешенная на абсолютно
упругой пружине жесткостью k
и совершающая гармонические
колебания
под
действием
упругой силы.
Математический маятник
Математический маятник −
это идеализированная система,
состоящая из невесомой и
нерастяжимой нити длиной l,
на
которой
подвешена
материальная точка массой m.
Физический маятник
Физический маятник - это твердое
тело массой m, совершающее под
действием силы тяжести колебания
вокруг неподвижной горизонтальной
оси, проходящей через точку О, не
совпадающую с центром масс С тела
где величину I/ml=lпр называют приведенной длиной физического маятника. Она численно равна
длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного9
физического маятника.
+5

10. Гармонические колебания

На примере движения пружинного маятника – материальной точки массой m,
закреплённой на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ пружине жёсткостью k (Рис.1), рассмотрим
различные виды колебаний в зависимости от сил, которые действуют вдоль
оси Ох на данное тело массой m.
Гармонические колебания
Гармонические колебания – колебания, при
которых наблюдаемая величина изменяется
во времени:
с постоянной частотой по закону
синуса или косинуса и
постоянной амплитудой А0.
Рассмотрим случай действия на тело массой m
только силы упругости Fупр (Рис.1).
Если пружину оттянуть (на рисунке) или сжать
(аналогично, но в другую сторону) на расстояние
x от положения равновесия,
то возникает сила упругости Fупр , величина и
направление которой определяется законом Гука:
Fупр k x
Знак “минус” показывает, что сила упругости всегда
направлена в сторону, противоположную
направлению смещения x, т.е. к положению
равновесия.
10
+4

11. Гармонические колебания (продолжение)

Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:
max Fупр x k x
Вспомним, что ускорение – это вторая производная по времени от смещения х:
dv d 2 x
a=
= 2 x
dt dt
mx k x mx k x 0
Получаем уравнение:
Разделим каждое слагаемое на m и вспомним, что
k = 0 2 m
,
где ω0 – собственная круговая частота гармонического колебания.
Получилось дифференциальное уравнение второй степени:
решением которого является:
x 2 x 0
График гармонического колебания – синусоида, по которой можно определить
смещение х колеблющейся точки в любой момент времени t (рис.2).
Тут
φ
0
не равно 0
11
+7

12. Затухающие колебания

Затухающие колебания – колебания, при
которых:
наблюдаемая величина изменяется во
времени с постоянной (!)
частотой (круговой частотой ω) по закону
синуса или косинуса, но
амплитуда колебания А всё время
уменьшается.
В данном случае на тело массой m вдоль оси Ох
действуют уже две силы:
сила упругости Fупр
сила трения Fтр .
Сила трения Fтр пропорциональна скорости колебания
противоположную скорости:
dx
Fтр rv r
dt
v и направлена в сторону,
rx
Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:
max Fупр x Fтр х kx rx
12
+4

13. Затухающие колебания (продолжение)

k = 0 2 m
Учтём, что:
Тогда при сокращении каждого слагаемого на m и переносе
r
всех членов влево от знака равенства, получим: x
x 2 x
Проведем замену:
r
2
m
m
0
0
,
где β называется коэффициентом затухания - это основная характеристика
затухающего колебания, измеряется в обратных секундах (с-1),
Получаем конечный вид дифференциального уравнения второй степени:
x 2 x 0 2 x 0
Решением его является формула:
где
02 2
– собственная круговая частота затухающего колебания.
13
+5

14. Характеристики затухающего колебания

A(t) = A0 e - t
График затухающего колебания – синусоида (рис.4),
амплитуда которой А(t) уменьшается по экспоненте:
Коэффициент затухания
β характеризует степень затухания колебаний.
Декремент затухания
δ («дельта») – отношение значений двух
последовательных амплитуд, разделённых периодом колебания:
Логарифмический декремент затухания
λ («лямбда») –
натуральный логарифм декремента затухания:
Рис.4. График затухающего
колебания.
Логарифмический декремент затухания применяется чаще,
т.к. он связан с периодом Т и коэффициентом затухания β:
T
Обе характеристики – безразмерные величины.
14
+4

15. Характеристики затухающего колебания (продолжение)

Время релаксации
уменьшается в e раз:
Рис.4. График затухающего
колебания.
(«тау») – это время, за которое амплитуда
Коэффициент затухания
β («бета») – величина,
обратная промежутку времени, за который амплитуда
колебаний уменьшается в e раз:
Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах (с-1)
За время релаксации
система успевает сделать Ne колебаний:
λ
Значит, логарифмический декремент затухания
обратно
пропорционален по величине числу колебаний, за которые
амплитуда колебаний уменьшается в е раз:
Добротность Q системы - величина, характеризующая уменьшение полной энергии ΔЕ системы по
формуле: ΔЕ =-2πЕ/Q , где знак минус показывает, что энергия уменьшается.
Бóльшим значениям Q соответствует слабое затухание колебаний. Добротность пропорциональна
числу колебаний за время релаксации
затухания
λ:
Ne и обратно пропорциональна логарифмическому декременту
15
+4

16. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – колебания, при
которых наблюдаемая величина изменяется во
времени:
с постоянной частотой ν (круговой частотой
ω), задаваемой внешней вынуждающей силой
Fв.
В данном случае на тело массой m вдоль оси Ох действуют три силы:
сила упругости Fупр
сила трения Fтр .
вынуждающая сила
Fв, которая действует периодически с круговой частотой ωв:
Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:
k = 0 2 m
и
r
2
m
max Fупр x Fтр х Fв
Учтём, что:
При сокращении каждого слагаемого на m и переносе всех членов влево от знака
равенства, получим:
16
+5

17. Вынужденные колебания (продолжение)

Проведём замену:
Получаем конечный вид дифференциального уравнения
второй степени:
Решение такого уравнения состоит из двух
частей-решений: х=х1+х2:
F0
f0
m
удельная вынуждающая сила
Решение х1 описывает неустановившейся режим
колебаний, когда их амплитуда увеличивается во
времени (рис.5).
Решение х2 описывает установившийся режим
колебаний.
Рис. 5. График вынужденного колебания.
В установившемся режиме вынужденных колебаний
смещение х2 подчиняется гармоническому закону
и происходит с частотой ωв.
17
+4

18. Резонанс

Амплитуда А вынужденных колебаний зависит от многих
разобранных выше параметров:
частоты собственных колебаний 0 ,
коэффициента затухания ,
силы f0 ,
частоты вынуждающей силы в.
Амплитуда А будет максимальна, если частота в действия
вынуждающей силы определяется формулой:
в 02 2 2
При этом наблюдается явление резонанса.
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды А вынужденных
колебаний при совпадении частоты действия вынуждающей силы
с частотой системы , т.е.:
в
в 02 2 2
Если бы затухание в системе отсутствовало (
= 0), то резонанс наступал бы
при условии: 0 = в, где 0 – собственная частота гармонического колебания.
При этом амплитуда достигала бы бесконечно большого значения.
18
+5

19. График резонанса

колебательная
система с
коэффициентом
затухания
Резонансные кривые при различных уровнях затухания:
1 – колебательная система без трения:
при резонансе амплитуда xmax вынужденных колебаний неограниченно возрастает;
2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной
добротностью: Q2 > Q3 > Q4.
На низких частотах (ω << ω0) xmax ≈ fmax. На высоких частотах (ω >> ω0) xmax → 0
19
+2
β

20. Спасибо за внимание!

Курс физики для студентов 1 курса БГТУ
Кафедра физики БГТУ
доцент Крылов Андрей Борисович
Часть I.
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Спасибо за внимание!
Зависимость смещения от времени при разных колебаниях
20
+1
English     Русский Правила