Число Пи. История. Реальность. Гипотезы

1.

Число
История,
реальность,
гипотезы

2.

Введение
В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза
длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных
табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно
извлечь из текста Библии:
«И сделал литое из меди море, — от
края его до края его десять локтей, —
совсем круглое... и снурок в тридцать
локтей обнимал его кругом»
(3 Цар. 7. 23)
Однако уже во II тысячелетии до н. э.
математики Древнего Египта находили
более точные значения отношения
длины окружности к её диаметру,
названное позднее числом π
назад
вперёд

3.

О числе π
Числом π называется отношение
длины окружности к её диаметру.
Это отношение постоянно для
любых окружностей и выражается
иррациональным числом.
Это означает, что число π не является
целым или дробным, иррациональные
числа могут быть представлены только
бесконечными непериодическими
десятичными дробями.
Иррациональность числа π была
установлена и доказана немецким
математиком И. Ламбертом в 1766 г.
назад
Ламберт Иоганн Генрих
(1728 - 1777),
немецкий математик,
астроном, физик
вперёд

4.

О числе π
В цифрах числа π после запятой нет
цикличности и системы.
Кроме того, число π является
трансцендентным, то есть оно не может
удовлетворять никакому алгебраическому
уравнению с целыми коэффициентами
(этот факт стал основной сложностью
перед учёными, вычислявшими точное
значение числа π).
Существование трансцендентных чисел и,
в частности, трансцендентность числа π
впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.
назад
Лиувилль Жозеф
(1809 -1882)
французский
математик
вперёд

5.

О числе π
Итак, число π является иррациональным
трансцендентным числом, цифровое
представление которого является
бесконечной непериодической десятичной
дробью, равной отношению длины
окружности к её диаметру.
Так выглядят первые 350 десятичных знаков числа π:
3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3
751058209749445923078164062862089986280348253421
170679821480865132823066470938446095505822317253
594081284811174502841027019385211055596446229489
549303819644288109756659334461284756482337867831
652712019091456485669234603486104543266482133936
072602491412737245870066063155881748815209209628
назад
вперёд

6.

Обозначение числа π
Символ, которым математики
обозначают число π, является
одноимённой буквой греческого
алфавита.
Это обозначение, образованное от
первой буквы греческого слова perijereia
(окружность) стало общепринятым после
работы Леонарда Эйлера, знаменитого
математика и физика, относящейся к
1736 году, однако впервые оно было
употреблено английским математиком У.
Джонсом в 1706 году.
назад
Леонард Эйлер
(1707 – 1783),
математик, механик
и физик.
вперёд

7.

Свойства числа π
За последние несколько лет
математикам удалось сделать
важный шаг к ответу на вопрос,
насколько случайны цифры числа π.
Им удалось связать теорию чисел с
теорией хаоса.
Теперь, когда значение числа π
известно с точностью до
триллионов знаков после запятой,
есть основание утверждать, что в
нем нет ни одной циклической
последовательности и, если
математики не ошибаются, никогда
не будет, сколько бы еще знаков
ни вычислили.
назад
вперёд

8.

Свойства числа π
Любая последовательность цифр
одинаковой длины встречается в
числе π с одинаковой частотой.
Например, вероятность найти
последовательность 234 равна вероятности
обнаружить 876; а 23568 попадается так же
часто, как 98427.
Математики называют такие числа
"нормальными". Другие примеры
"нормальных" чисел - корень квадратный из
2 и натуральный логарифм 2.
назад
вперёд

9.

Исследование числа π
Но, до сих пор строгого доказательства
нормальности числа π нет. Как считает
Дэвид Бэйли из Национальной
лаборатории Лоуренс Беркли в США,
нормальность некоторых математических
констант связана с гипотезами из области
хаотической динамики.
Бэйли и его канадские коллеги математики Питер Борвин и Саймон
Плуфф написали компьютерную
программу, вычисляющую
произвольную цифру числа π, не
вычисляя предыдущие, - раньше это
считалось невозможным.
назад
вперёд

10.

Исследование числа π
Отличительная особенность алгоритма
Бэйли - то, что он работает не целиком с
числом, а с его фрагментами. То есть
ученые взяли числа 0.314; 0.141; 0.415;
0.159 и т.д. Все они составлены из трех
последовательных цифр числа π. Если
цифры π случайны, то все эти числа
должны быть случайно распределены
между 0 и 1.
Правда, ученые работали не с
десятичной, а с двоичной записью числа
π, то есть с последовательностями из
нулей и единиц.
назад
вперёд

11.

Исследование числа π
Вычисления по созданной Бэйли и его
коллегами программе показали, что
цифры числа π ведут себя в
соответствии с теорией хаоса, то есть,
их последовательность действительно
случайна.
Возможные применения этих результатов:
- разработка криптографических алгоритмов
- новый алгоритм генератора случайных чисел
назад
вперёд

12.

Исследование числа π
Из того факта, что в цифрах числа π после запятой нет
цикличности и системы, следует, что в десятичном разложении π
присутствует любая последовательность цифр, какую только
можно себе представить.
Это позволяет предположить, что в числе π, в
закодированном виде, содержатся все написанные и
ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая
существовала, существует и будет известна человечеству.
Остаётся только найти способ расшифровать эту информацию.
Предполагается, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне.
Несмотря на то, что у этой теории очень много воодушевлённых
грандиозностью перспективы поклонников, многие учёные
относятся к ней скептически.
назад
вперёд

13.

Свойства числа π
Число π стало одной из древнейших математических загадок. Еще
большую загадочность оному придает тот факт, что тайна числа π
простирается далеко за границы чистой математики - это число вы
найдете везде:
- в астрономии;
- в теории вероятности;
- в статистике;
- в физике звука и света;
- в биологии и генетике.
Подобное всеобъемлющее присутствие этого набора чисел
действительно заставляет задуматься. Может быть, узнай мы
закономерность этого числа, перед нами откроются доселе
неизвестные тайны вселенной?
назад
вперёд

14.

Запоминание числа π
Для запоминания большого числа знаков существуют забавные
поговорки и стихи.
Нужно только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четъ/рнадиатъ, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
В следующих фразах знаки числа π можно определить по
количеству букв в каждом слове:
«Что я знаю о кругах?» (π ~ 3,1416);
«Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π ~ 3,1415927);
«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу
примечать» (π ~ 3,141 59265359).
назад
вперёд

15.

Свойства числа π
Через число π может быть определена
любая другая математическая константа,
включая константу постоянной тонкой
структуры ά, константу золотой
пропорции (f = 1,618…), не говоря уж о
числе e.
Математикам удалось получить
соотношение, связывающее эти
безразмерные константы.
Формула имеет вид:
назад
вперёд

16.

Свойства числа π
Полученные результаты подтверждают
геометрический статус постоянной
тонкой структуры, а также указывают на
то, что основные безразмерные параметры,
которые характеризуют микромир и
Вселенную, определяются числами π, ά и
числом золотой пропорции и являются
принципиально вычисляемыми.
Это порождает надежду на то, что
наконец-то появится хоть какая-то
возможность подступиться к решению
запутанной головоломки о таинственном
числе ά, что не дает покоя физикам.
назад
вперёд

17.

Свойства числа π
Константа ά была введена в физику Арнольдом
Зоммерфельдом в 1916 году при создании теории
тонкой структуры энергии атома.
До сих пор природа происхождения
этой константы и ее физический
смысл не раскрыты. По мнению
автора формулы, теперь можно
установить геометрический, или
пространственный смысл
постоянной тонкой структуры, что, в
свою очередь, позволит приоткрыть
тайны микромира и устройства
материи.
назад
Арнольд
Зоммерфельд
(1868 -1951)
немецкий
физик и
математик
вперёд

18.

Свойства числа π
В 1965-ом году американский математик польского происхождения
Станислав Улам (именно ему принадлежит ключевая идея
конструкции термоядерной бомбы). Чтобы как-то развлечься, он
начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в десятичную
запись числа π. Поставив в центре клетчатого листа 3 и двигаясь по
спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и
прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно
обводил все простые числа кружками.
Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством
стали выстраиваться вдоль прямых. Этот феномен заставил
многих учёных задуматься над хаотичностью десятичных
знаков числа π, однако опровергнуть или доказать что-либо
ещё никому не удалось.
назад
вперёд

19.

Вычисление числа π
На протяжении всей истории изучения числа π,
вплоть до наших дней, велась своеобразная
погоня за десятичными знаками этого числа.
Начало положил Леонардо Фибоначчи, в 1220 году определивший три
первых точных десятичных знака числа π (3 целых и 14 сотых).
В XVI веке Андриан Антонис смог определить шесть знаков. Франсуа
Виет (используя метод Архимеда с многоугольниками), вычисляя
периметры вписанного и описанного возле окружности
322.216-угольников, получил девять десятичных знаков. Андриан Ван
Ромен таким же способом (только вычисляя периметры
1.073.741.824-угольников) получил пятнадцать десятичных знаков.
Следующим стал Лудольф Ван Кёлен, вычислив периметры
32.512.254.720-угольников и получив двадцать десятичных знаков
числа.
назад
вперёд

20.

Вычисление числа π
Темпы постоянно возрастали. Вычисление
десятичных знаков числа π не давало
покоя математикам всего мира.
В 1844-м году З. Дазе вычисляет двести
знаков числа π.
В 1847-м году Т. Клаузен получает 248 знаков.
В 1853-м Рихтер вычисляет 330 знаков, и в
том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе
и 513 знаков - У. Шенкс.
назад
вперёд

21.

Вычисление числа π
С появлением компьютеров соперничество
перешло к их разработчикам. Только
потенциальная мощность компьютеров
ограничивает возможности по вычислению
десятичных знаков числа π.
Хронология вычислений с использованием
первых компьютеров:
1949 год - 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, на компьютере ENIAC),
1958 год - 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, на компьютере IBM-704),
1961 год - 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс, на компьютере IBM-7090),
1973 год - 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, на компьютере CDC-7600),
1986 год - 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, на компьютере Cray-2),
1987 год - 134217000 десятичных знаков (Т. Канада, на компьютере NEC SX2).
назад
вперёд

22.

Вычисление числа π
Особых успехов в вычислении десятичных
знаков числа π добились Д. Чудновский и
Г. Чудновский. Используя сразу два
компьютера: Cray-2 и IBM-3040, им удалось
вычислить 1011196691 десятичный знак
числа уже в 1989 году. На этом они
останавливаться не стали и в 1991 году
получили 2260000000 знаков, а в 1994 году
уже 4044000000.
Дальнейшие рекорды принадлежат японцу
Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286
знаков, в 1997-м - 51539600000.
назад
вперёд

23.

Вычисление числа π
В настоящее время число π известно до
12,411 триллионного десятичного знака после
запятой. Их вычислили учёные из Центра
информационных технологий Токийского
университета.
Для этого был разработан уникальный сверхмощный компьютер,
способный выполнять более двух триллионов операций в секунду.
Этому, не имеющему аналогов по вычислительной мощности
компьютеру, потребовалось более трёх недель беспрерывной
работы для выполнения поставленной задачи. Достижение ученых
занесено в Книгу Рекордов Гиннеса.

24.

Цели вычисления числа π
Зачем нужны такие сложные и дорогостоящие вычисления этого
загадочного числа, равного отоношению периметра окружности к
её диаметру, казалось бы абсолютно бесполезного?
Многие считают, что такое точное определение числа π позволит более
точно решать сложные геометрические задачи. На самом деле, даже при
вычислении астрономических величин (например расчёт траектории
движения планет) необходимо такое количество десятичных знаков
числа π, которое было известно ещё несколько веков назад. В частности
для расчета траектории полета на край нашей галактики с точностью,
равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа π. Цели,
приследуемые учёными при проведении подобных вычислений
являются лишь исследовательскими. Ведь это таинственное число это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства
мира, в конце концов, это очень интересно.
назад
вперёд

25.

Методы вычисления числа π
Существует множество способов вычисления
значения числа π. Начиная от обычных
уточнений (например 16/9 = 3,1604 у египтян,
22/7 = 3.1428 у греков), и до астрономической
точности нашего времени.
Самым первый способ вычисления, которым
были с достаточно высокой точностью
вычислены первые несколько десятков
десятичных знаков числа π, был изобретён ещё
Архимедом в третьем веке до нашей эры.
Архимед вписывал в круг правильный
многоугольник и находил отношение его
периметра к радиусу описанной окружности.
назад
Архимед
(287 - 212 до н. э.)
древнегреческий
учёный, математик
и механик
вперёд

26.

Методы вычисления числа π
В семнадцатом веке в Европе Ф.Виет нашел число
π с 9 правильными десятичными знаками, сделав
16 удвоений числа сторон многоугольников.
Но, при этом Ф.Виет первым заметил, что число π
можно отыскать, используя пределы некоторых
рядов.
Это открытие имело огромное значение, так как
позволило вычислять π с какой угодно
точностью.
Франсуа Виет
(1540 -1603),
французский
математик
Именно, вычисляя пределы рядов, современные
компьютеры вычисляют десятичные знаки числа π.
назад
вперёд

27.

Методы вычисления числа π
Благодаря Франсуа Виету открылся тот
факт, что пределы некоторых
арифметических последовательностей,
составляемых по простым законам,
приводят к тому же числу π.
Первым был найден Лейбницем в 1673
году следующий ряд:
Лейбниц
(1646-1716),
немецкий философ,
математик
назад
вперёд

28.

Методы вычисления числа π
Помимо вычисления рядов, возможно
также представление числа π с
помощью тригонометрических формул,
например:
Именно с помощью этой формулы
вычислялись первые сотни тысяч
десятичных знаков числа π с
использованием компьютеров.
назад

29.

Спасибо за
внимание!
назад