Случайные величины

1. Случайные величины

2. Числовые характеристики случайных величин

3.

Характеристики положения:
Числовые характеристики положения определяют
положение случайной величины на числовой оси, то
есть показывают некоторое среднее значение около
которого группируются все возможные значения
случайной величины. К ним относятся:
- математическое ожидание М(Х);
- мода М0;
- медиана МД;
- начальные моменты αk.

4.

Характеристики рассеяния:
Числовые характеристики рассеяния случайной
величины
показывают
насколько
тесно
сгруппированы возможные значения случайной
величины около центра рассеяния (математического
ожидания). К ним относятся:
- дисперсия D(X);
- среднеквадратическое отклонение σ(X);
- центральные моменты μk.

5. Математическое ожидание

6.

Математическим ожиданием ДСВ Х называется
сумма произведений всех возможных значений
случайной величины на вероятности этих значений:
n
M ( X ) xi pi .
i 1
Вероятностный смысл математического ожидания
состоит в следующем: математическое ожидание
приблизительно равно (тем точнее, чем больше число
испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых
значений случайной величины.

7.

Математическим ожиданием НСВ Х, возможные
значения которой принадлежат интервалу (a; b)
называется определенный интеграл, определяемый
выражением:
b
M ( X ) x f ( x)dx.
a
Если все возможные значения НСВ принадлежат
всей числовой прямой, то
M ( X ) x f ( x)dx.

8. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины
равно самой постоянной:
M (С ) C.
2.
Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:
M (СX ) CM ( X ).
3. Математическое ожидание суммы двух СВ равно
сумме математических ожиданий слагаемых:
M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

9.

4. Математическое ожидание произведения двух
независимых СВ равно произведению их
математических ожиданий:
M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).
5. Математическое ожидание числа появлений
события А в n независимых испытаниях равно
произведению числа испытаний на вероятность
появления события в каждом испытании:
M ( X ) n p.

10. Дисперсия

11.

Дисперсией ДСВ Х называется математическое
ожидание квадрата отклонения СВ от ее
математического ожидания:
По определению: D( X ) М ( Х М ( Х )) 2 .
n
D( X ) М ( Х М ( Х )) 2 [ xi M ( X )]2 pi .
i 1
Для вычисления дисперсии удобнее пользоваться
формулой:
D( X ) М ( Х 2 ) М 2 ( Х ).
Среднее квадратическое отклонение:
( X ) D( X ).

12.

Дисперсией НСВ Х называется математическое
ожидание
квадрата
отклонения
СВ
от
ее
математического ожидания и определяется по
b
формуле:
2
D( X ) x M ( X ) f ( x)dx
b
à
или D( X ) х 2 f ( x)dx М 2 ( X ).
а
Если все возможные значения НСВ принадлежат
всей числовой прямой, то
D( X ) x M ( X ) f ( x)dx
2
или
D( X ) х 2 f ( x)dx М 2 ( X ).

13. Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна 0:
D (C ) 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за
знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX ) C 2 D( X ).
3. Дисперсия суммы или разности двух
независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
D( X Y ) D( X ) D(Y ).

14.

4. Дисперсия суммы постоянной величины и
случайной величины равна дисперсии случайной
величины:
D(С X ) D( X ).
5. Дисперсия числа появлений события А в n
независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность р постоянна, равна произведению числа
испытаний на вероятности появления и непоявления
события в одном испытании:
D( X ) npq.

15.

Пример. Дискретная случайная величина задана
законом распределения
Х
2
4
5
6
pi
0,3
0,1
0,2
0,4
Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Математическое ожидание
определяется по
n
M ( X ) xi pi
формуле
i 1
или M X 2 0,3 4 0,1 5 0,2 6 0,4 4,4.

16.

Дисперсия,
характеризующая
рассеяние
случайной величины от своего среднего значения,
определяется по одной из формул:
D X M X M X
2
или
D X M X M X .
2
2
Составим закон распределения отклонения
случайной величины от математического ожидания:
X M ( X )
pi
-2,4
0,3
-0,4
0,1
0,6
0,2
1,6
0,4
D( X ) ( 2,4) 2 0,3 ( 0,4) 2 0,1 (0,6) 2 0,2
(1,6) 2 0,4 2,84.

17.

Дисперсию удобнее вычислять по второй формуле:
D X M X M X
2
2
Составим закон распределения квадрата случайной
величины:
X2
pi
4
0,3
16
0,1
25
0,2
36
0,4
D( X ) 4 0,3 16 0,1 25 0,2 36 0,4 (4,4) 2 2,84.
Среднее квадратическое отклонение найдем по
формуле:
X 2,84 1,68.

18.

Пример.
Дана
распределения НСВ:
интегральная
функция
при x 0;
0,
F ( x) sin x, при 0 x ;
2
при x .
1,
2
Найти математическое ожидание, дисперсию и
вероятность того, что случайная величина примет
значение из интервала ; .
6 4

19.

Решение:
Найдем функцию плотности распределения:
при x 0;
0,
f ( x) F ( x) cos x, при 0 x ;
2
при x .
0,
2
Определим математическое ожидание:
b
2
M ( X ) x f ( x)dx x cos xdx
a
0
2
1.

20.

Определим дисперсию:
b
2
2 а
0
D( X ) х 2 f ( x)dx М 2 ( Х ) x 2 cos xdx
1 3.
2
Определим искомую вероятность попадания
случайной величины в заданный интервал:
P( x ) F ( ) F ( ) sin sin
4
6
2 1
2 1
.
2 2
2

21. Мода и медиана

22.

Модой ДСВ Х М0 называется ее наиболее
вероятное значение
Pi
M0
x

23.

Модой НСВ Х М0(Х) называется такое ее возможное
значение, при котором плотность распределения
имеет максимальное значение:
M 0 ( X ) max f ( x).
f(x)
maxf(x)
M0
x

24.

Медианой МД(Х) НСВ Х называется такое ее
значение, относительно которого равновероятно
получение большего или меньшего значения НСВ:
P( Х M Д ) P( X M Д ) или
МД
1
P( Х M Д ) f ( x)dx .
2
0

25.

Геометрически, медиана – абсцисса
точки, в
которой
площадь,
ограниченная
кривой
распределения делится пополам, каждая из которых
равна 0,5.

26.

Пример. НСВ Х задана плотностью распределения:
при x 0;
0,
f ( x) 2cos 2 x, при 0 x ;
4
при x .
0,
4
Найти моду и медиану.
Решение:
Функция f ( x) 2cos 2 x в интервале 0; не
4
имеет максимума.
Поэтому НСВ не имеет и моду.

27.

Найдем медиану НСВ, исходя из определения:
P( Х M Д ) P( X M Д ) или P ( X M Д ) 0,5.
Учитывая, что возможные значения СВ Х
положительны, получим:
МД
1
P(0 Х M Д ) 2 cos 2 xdx .
2
0
МД
МД
MД
1
2 cos 2 xdx 2 cos 2 xd (2 x) sin 2 x
2 0
0
0
sin 2 M Д 0,5 2 M Д
6
MД
1
.
2
12
.

28.

Пример. Найти моду и медиану НСВ Х, заданной
плотностью распределения:
при x 0;
0,
f ( x) 4 x2
8 xe , при x 0.
Решение:
4 x 2
Найдем точку максимума функции f ( x) 8 xe на
интервале 0; .
Для этого исследуем данную
функцию на экстремум.
1
0,35.
В результате исследования получили xmax
8
Следовательно, мода M 0 ( X ) 0,35.

29.

Медиана определяется как значение СВ, которое
делит площадь фигуры, ограниченной графиком
функции f(х) на две равные части:
МД
8 xe
4 x 2
0
МД
8 xe
4 x 2
dx
0
t 4 x 2 ,
e dt e
0
Тогда e
x 0 t 0
dt 8 xdx, x М Д t 4М
4 М 2Д
t
1
dx
2
4 М 2Д
t
1 e
0
4 M 2Д
4 М 2Д
2
Д
1
.
2
0,5 M 0,25ln 2 M Д 0,42.
2
Д

30. Начальные и центральные моменты

31.

Начальным моментом k-го порядка случайной
величины Х называется математическое ожидание
случайной величины Xk: k M ( X k ).
n
Для ДСВ
k xik pi .
i 1
b
k
Для НСВ x f ( x)dx.
a
Из начальных моментов на практике широко
используется начальные моменты первого и второго
порядка: при k 1 1 M ( X ),
при k 2 2 M ( X 2 ).

32.

Центральным моментом k-го порядка случайной
величины Х называется математическое ожидание
отклонения случайной величины в k-ой степени:
k М (( X М ( Х )) k ).
n
k
Для ДСВ k ( xi M ( x)) pi .
i 1
b
Для НСВ
k ( x M ( x))k f ( x)dx.
а

33.

Центральные
моменты
выражаются
начальные моменты по формулам:
2 2 12 ;
3 3 3 1 2 2 ;
2
1
4 4 4 1 3 6 12 2 3 14 .
через

34.

Пример. НСВ задана плотностью распределения:
при x 0;
0,
f ( x) 0,5 x, при 0 x 2;
0,
при x 2.
Найти начальные и центральные моменты
первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Решение:
Найдем начальные моменты:
2
2
4
1
2
1 x 0,5 xdx 0,5 x dx ;
3
0
0
2
2
0
0
2 x 2 0,5 xdx 0,5 x3dx 2;

35.

2
2
0
0
2
2
3 x3 0,5 xdx 0,5 x 4dx 3,2;
16
4 x 0,5 xdx 0,5 x dx .
3
0
0
4
5
Найдем центральные моменты:
1 0;
2
4 2
2 2 2 ;
3 9
8
2
3 3 3 1 2 2 1
;
135
2
1
16
4 4 4 1 3 6 2 3
.
135
2
1
4
1