Электрические цепи переменного тока. Лекция 5

1.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

2. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ (ГАРМОНИЧЕСКОЙ) ФУНКЦИИ

Fm
Fср
T
T/2
-Fср
- Fm
t

3. ƒ(t)=Fmaxsinωt

T
1
FСР f (t )dt 0
T 0
T /2
2 Fmax
2
FСР f (t )dt
0.637 Fmax
T 0

4.

Действующие значения
гармонических
токов и
напряжений
4

5.

Действующие значения тока
и напряжения характеризуют
тепловое действие в линейном
резистивном элементе
с сопротивлением R

6.

Действующее значение
гармонического тока i
численно равно такому
постоянному току I , который
за время Т в том же
сопротивлении R выделяет
такое же количества тепла W

7.

При токе и напряжении:
i I m sin( t i )
u U m sin( t u )

8.

R
i
+
u
ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА:
T
W i R dt I R T , Дж
2
2
0
ПО ЗАКОНУ ОМА:
u R i, B
T 2 , c

9.

Действующее значение тока
T
1 2
Im
I
i
dt
2
T 0

10.

Действующее значение
напряжения
T
1 2
Um
U
u
dt
2
T 0

11.

Действующие значения тока
и напряжения не зависят
от угловой частоты
и начальной фазы

12.

В результате
i 2 I sin( t i )
u 2 U sin( t u )

13.

14.

а(t ) Аm sin( t )
Где: а (t )
- мгновенное значение
Аm - амплитудное значение
2 (рад/с) - угловая частота
2 f
T
1
f
T
(1/с) или (Гц) - циклическая частота

15.

16.

Т 360 2 рад
0
Векторная диаграмма - это изображение
синусоиды в виде вектора в прямоугольной системе
координат, длина которого равна амплитуде
синусоиды, а угол поворота равен начальной фазе и
отсчитывается от оси абсцисс против часовой
стрелки.
Волновая диаграмма - это развертка вращающегося
вектора во времени.

17.

Таким образом, любую синусоидальную
функцию (ток, напряжение, мощность)
можно отобразить в виде
тригонометрической функции типа
ƒ(t) =Fmaxsin(ωt ± ψƒ), графически в осях
координат[ƒ(t) или ƒ(ωt)] или в виде
вращающихся с круговой частотой (ω)
векторов c длиной равной амплитуде
функции

18.

Совокупность векторов, вращающих с
одинаковой частотой (ω), построенных
в одних осях называются
векторными диаграммами
U(t),I(t)
U
ψU
ψI
ωt
Проекции векторов
на ось ординат
равны мгновенным
значениям функций
φ = ψU – ψI – угол
сдвига между
векторами напряжения
и тока

19. Пример работы с векторными диаграммами

Векторные диаграммы позволяют заменить
арифметические действия с тригонометрическими
функциями на работу с векторами
i2(t)
i1(t)
2
ψ2
i3(t)
i2= I2 max sin (ωt+ψ2)
i3= I3 max sin (ωt+ψ3)
1
ψ1
ψ3
3
i1 = i2 + i3
i1 = I1max sin (ωt + ψ1)

20. Отображение синусоидальных величин символическим способом

• Символический метод является
основным и применяется для
расчета линейных цепей с
гармоническими токами и
напряжениями. Этот метод основан
на изображении гармонических
функций комплексными числами

21. Комплексная плоскость. Комплексное изображение функции

-1
Мнимая ось
Комплексная плоскость.
Комплексное изображение функции
0
+j
в
А
А
α
A – комплексное
число (КЧ)
a
+1
Вещественна ось
А = а + jв = А cos α + j A sin α
-j
j=
1

22.

Алгебраическая форма записи КЧ
А = А ( соs α + jsin α),
где А – Модуль КЧ,
α – аргумент КЧ
А=
a в
2
2
α = arctg в/a
a = А cos α - Вещественная часть КЧ
в = jА sin α – Мнимая часть КЧ

23. Комплексное изображение тока

i I sin t i
i Ie
j t i
I [cos t i j sin( t i )]
i Ie
j i
e
j t
где I m Ie
j t
I me ,
j i

24. Комплексное изображение напряжения

u U sin t u
u Ue
j t U
U cos t U j sin t U
u Ue
где
j U
e
j t
U me
U m Ue
j U
j t

25.

Таким образом, любой
синусоидальной величине
(току или напряжению)
соответствует комплекс ее
действующего значения и
наоборот
Например: току
i 2.82 sin( t 30 ), А
соответствует
2.82 j30
I I
e
2

26.

При этом, например, комплексу
действующего значения
напряжения
U U 100 e
j45
,В
соответствует синусоидальная
функция времени
u 2 100 Sin ( t 45 ), В

27.

Действия
с комплексными
числами

28.

Где:
F F e
j
a jb - комплексное
число
F - модуль
- аргумент (фаза)
a - вещественная составляющая
b - мнимая составляющая

29.

1. Переход от алгебраической
формы записи
к показательной форме

30.

a jb Fe
F a b
b
arctg
a
2
2
j

31.

2. Переход от показательной
формы записи
к алгебраической форме

32.

Fe
j
a jb
a F cos
b F sin

33.

3. Сложение и вычитание

34.

F1e
j 1
F2e
j 2
(a1 jb 1 ) (a 2 jb 2 )
(a1 a 2 ) j(b1 b 2 )
j
a jb Fe .

35.

4. Умножение

36.

(a1 jb1 )(a 2 jb 2 )
F1e
j 1
F1F2e
j 2
j( 1 2 )
F2e
j
Fe .

37.

5. Деление

38.

j 1
a1 jb1 F1e
j 2
a 2 jb 2 F2e
F1 j( 1 2 )
e
F2
j
Fe .

39.

6. Возведение в степень

40.

m
(a1 jb1 )
(F1e
j 1 m
)
m jm 1
F1 e
j
Fe .

41.

7. Некоторые соотношения

42.

j 1
2
j 1
3
1 j
j
j j

43.

j e
j90
1 e
j0
j e
j90
1 e
j180

44.

Действия
с синусоидальными
величинами

45.

Рассмотрим действия
с синусоидальными
величинами, имеющими
одинаковую угловую
частоту

46.

1. Сложение

47.

f (t ) 2F sin( t )
f1 ( t ) f 2 ( t )

48.

f1 (t ) 2F1 sin( t 1 )
F1 F1e
j 1
f 2 (t ) 2F2 sin( t 2 )
F 2 F2e
j 2

49.

Для определения
используются:
F и

50.

а) комплексные числа
j 2
Fе
определяются
F и
F1е
j 1
F2е
j

51.

б) вектора на комплексной
плоскости
j
0
F1
1 0
2 0
F2
F Fe
j
+1
графически
определяем
Fи

52.

2. Вычитание

53.

f (t ) 2F sin( t )
f1 ( t ) f 2 ( t )

54.

f1 ( t )
f 2 (t )
F1 F1e
j 1
F 2 F2e
j 2

55.

Для определения
используются:
F и

56.

а) комплексные числа
j 2
Fе
определяются
F и
F1е
j 1
F2е
j

57.

б) вектора на комплексной
плоскости
j
F1
F
Fe
1 0
0
2 0
F2
j
+1
графически
определяем
Fи

58.

3. Дифференцирование

59.

f (t ) 2F sin( t )
F Fe
j
df (t )
2 F sin( t 90 )
dt
Fe
j( 90 )
j F

60.

В результате при
f (t ) F
имеем
df (t )
j F
dt

61.

Таким образом
дифференцированию
синусоидальной функции
соответствует умножение
изображающего ее комплекса
на j

62.

4. Интегрирование

63.

f (t ) 2F sin( t )
F Fe
j
2F
f (t )dt
sin( t 90 )
F j( 90 ) F
e
j

64.

В результате при
f (t ) F
имеем
F
f (t )dt
j

65.

Таким образом интегрированию
синусоидальной функции
соответствует деление
изображающего ее комплекса
на j