Цепи переменного тока

1. Наименование темы

• ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

2. Оглавление:

Введение. Понятие переменного тока.
2.1. Получение переменного тока.
2.2. Генератор переменного тока.
2.3. Параметры синусоиды.
2.4. Действующее и среднее значение
синусоидального тока.
2.5. Среднее значение синусоидального тока.
2.6. Представление синусоидальных величин в виде
векторов. Векторные диаграммы.
2.7. Комплексная плоскость.
2.8. Законы Ома и Кирхгофа для цепей
синусоидального тока.

3. Содержание темы

• Широкое применение в электро- и
радиоустановках находят периодические эдс,
напряжения и токи.
• Периодические величины изменяются по
величине и направлению во времени, причём
эти изменения повторяются через равные
промежутки времени Т, называемые
периодом.
• Переменный ток – это ток, изменяющийся во
времени.
• Синусоидальный ток – ток изменяющийся по
закону синуса.

4. Цель лекции:

• Изучить способ получения переменного тока,
понять устройство генератора переменного
тока и принцип его работы. Изучить
действующее и среднее значение
синусоидального тока. Уметь представлять
синусоидальные величины в виде векторов.
Освоить символический метод расчета, а
также законы Ома и Кирхгофа для цепей
переменного тока и уметь применять их в
расчетах.

5. После изучения вы сможете

• Представлять синусоидальные
величины в виде векторов. Применять в
расчетах символический метод расчета,
а также законы Ома и Кирхгофа для
цепей переменного тока.

6. Основное преимущество синусоидального тока

• Основное преимущество такого закона
изменения эдс и напряжения, заключается в
том, что в процессе передачи электроэнергии
на большие расстояния и при многократной
трансформации (изменении) напряжения. Его
временная зависимость остается постоянной,
т.е. синусоидальной. Как увидим дальше,
передавать электроэнергию экономически
выгодно высоким напряжением, а
распределять из соображений безопасности
низким. Поэтому и приходится его
трансформировать.

7. . Получение переменного синусоидального тока

• Получение переменного тока основано
на явлении электромагнитной индукции.
Рассмотрим вращение прямоугольного
витка с угловой скоростью и
помещенного в однородное магнитное
поле с потоком Ф.

8. Принцип получения

N
N
w
Ф
Vn
α V
V
V
V w
Vn=0 α
S
S
Проводник движется с постоянной линейной скоростью V

9. Получение синусоидальной ЭДС

Когда он пересекает линии магнитного поля тока, в нем индуцируется эдс:
епр = Вl Vn,
где В – магнитная индукция;
l – активная длина проводника;
Vn – составляющая линейной скорости, нормальная к магнитному
потоку.

10. Синусоидальная ЭДС

При перемещении (повороте) рамки на угол α = ωt, Vn = V sin ωt.
Тогда епр = ВlV sin ωt, обозначим ВlV – Еm – величина постоянная и
запишем:
епр = Еm sin ωt

11. Начальная фаза ЭДС

Если в начальный момент рамка находилась под углом ψ к полю, то через
время t она окажется к нему под углом (ωt + ψ) и наводимая эдс будет
равна:
епр = Еm sin (ωt + ψ)
Еm – максимальное значение эдс;
(ωt + ψ) – фаза эдс;
ψ – начальная фаза эдс.

12. . Генератор переменного тока

• Переменный ток создают синхронные
генераторы. Простейший синхронный
генератор состоит из неподвижной
части – статора, и вращающейся –
ротора.
• Статор имеет форму полого цилиндра,
в пазах которого уложены
изолированные проводники,
образующие обмотку статора.

13. Устройство генератора синусоидального тока

Ротор
в
профильном
+
N
-
S
случае
представляет
собой
электромагнит,
возбуждаемый постоянным током.
Ток возбуждения в обмотку ротора подается через медные кольца,
укрепленные на валу ротора. По кольцам скользят неподвижные щетки,
соединенные проводами с возбудителем – небольшим относительно
генератора постоянного то

14. Магнитный поток

• При вращении ротора создается
магнитный поток, который пересекает
проводники статора и индуктирует в них
переменную эдс: Φ = Φm cos ωt.

15. Параметры синусоиды

Рассмотрим синусоиду E
e Ет
Ет – максимальное значение
e – мгновенное значение
t

16. Период

• Время одного полного оборота ротора
называется периодом Т [сек].
• Величина, обратная периоду,
называется частотой f = 1/T [1/сек] = [Гц]
в системе СИ.
• При полном обороте рамки α = 2π и α =
ωТ, т.к. время t = Т.

17. Параметры синусоиды

-период
f- частота
α = 2π
ωt=T
2π= ωt
ω = 2π/T
ω=2π f
ω-угл.частота
f=50Гц
ω=314рад/с
n об/мин
f=n/60

18. Действующее значение синусоидального тока

• Как постоянный, так и синусоидальный
токи используются для сКовершения
какой-либо работы, в процессе которой
эл. энергия преобразуется в другие
виды энергий (тепловую, механическую
и т.д.).
• Для количественной оценки
синусоидального тока пользуются
действующим значением тока

19. Определение:

• Действующим значением
синусоидального тока называется такое
значение постоянного тока, который за
период в одном и том же сопротивлении
выделяет то же количество теплоты, что
и рассматриваемый переменный ток.

20. Действующее значение

При синусоидальном токе i = Imsin ωt в резисторе R выделится
теплота за период Т.
T
~
Q i 2 Rdt ,
0
при постоянном токе за это время
Q RI 2T - по закону Джоуля – Ленца
~
Q Q (приравняем),
T
RI T i 2 Rdt
2
0
T
I
Im
1 2
i
dT
T 0
2
, отсюда

21. Решаем интеграл

dt
2 cos 2 t
i
dt
I
sin
tdt
I
I
0
0
0 2 m 0 2 dt ,
T
T
2
T
2
m
T
2
T
2
m
T
I m2 T
т.к. cos 2 tdt 0 , то i dt
, подставим
2
0
0
2
I
1 I m2 T
I
m 0.707 I m
T 2
2

22. Действующее значение

• Действующее значение синусоидальной
величины меньше максимального в
раз.
• Например, если Umax=141B, то
вольтметр покажет U=100В.
Действующее значение измеряют
приборы электромагнитной,
электродинамической систем.

23. Выводы

Действующее
значение синусоидальной величины меньше
максимального в 2 раз.
Em
Um
E ; U ;
2
2

24. Среднее значение синусоидального тока

• Под средним значением понимают
среднеарифметическое значение
синусоиды за пол периода, т.к. за
период оно будет равно нулю
(положительные и отрицательные
полуволны совпадают по форме).

25. Определение:

Среднее значение синусоидального тока это такое значение
постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же Эл.
2Im
Заряд, что и при синусоидальном токе. Iср

26. Среднее значение

T
I ср
2
T /2
idt , где
Im - среднее значение тока.
0
1
TI
2TI m I mT
2 T
cos t T0 / 2 m cos
cos 0
,
2
T
2
2
0
0
2I
2E
2U
тогда I ср m =0,637 Im. Аналогично Eср m , U ср m . Коэффициент
I
амплитуды k a m 2 . Среднее значение меньше действующего. Это
I
I
показывает
коэффициент
формы
Для
kф
1,11 .
I ср 2 2
Т /2
T /2
idt I sin tdt I
m
m
несинусоидальных токов ka и kф будут другими.
Среднее значение используется для выпрямительных установок.

27. Представление синусоидальных величин в виде векторов

• При расчете электрических цепей
необходимо складывать или вычитать
синусоидальные величины.
Графическое сложение двух (или
более) таких величин является
довольно трудоемкой операцией, а
хорошая точность может быть
достигнута при сложении очень
большого числа мгновенных значений

28. Связь между вращающимся вектором и синусоидой

Рассмотрим синусоидальную величину и соответствующий ей
вращающийся вектор.
Y
Im
ωt1
Im
Io
o
ψ
Io
Im
X
ψ
0 t1
ωT

29. Начальная фаза

При t = 0 мгн. значение тока Io и является проекцией вектора на ось ОУ
(вертикальная ось), ψ = начальной фазе синусоиды, величина вектора
равна Im .

30. Мгновенные значения синусоиды

При t = t1 i = Im вектор повернулся на угол ωt1. Т.о., проекция на ось ОУ
вектора, вращающегося с постоянной скоростью ω и имеющего длину,
равную амплитуде тока, изменяются по синусоидальному закону, т.е.
представляют собой мгновенные значения синусоиды

31. Связь между синусоидой и вектором

• Между синусоидой и вектором
существует строго однозначная связь и
любую синусоидально изменяющуюся
величину можно изобразить
вращающимся вектором. Начальное
положение вращающегося вектора
определяется углом, равным начальной
фазе синусоиды.

32. Направление вращения вектора

• Положительное направление вращения
вектора принимается против часовой
стрелки. Т.к. напряжения и токи имеют
одинаковую частоту, то изображающие
их вектора вращаются с одинаковой
скоростью. Их взаимное расположение
в плоскости остается постоянным

33. Изображение векторов

• Поэтому в практике векторы не
вращают, а строят, соблюдая между
ними углы (углы сдвига фаз).
(Комплексную плоскость также не
рисуют.)

34. Векторная диаграмма

• Совокупность векторов токов и
напряжений, построенных в масштабе
соблюдения фаз между ними
называются векторной диаграммой

35. Векторная диаграмма

Принято на векторной диаграмме откладывать не максимальные, а
I j j
I
действующие значения синусоиды. I m m e Ie
2 2

36. Пример сложения векторов

Пример:
İ2
İ1+ İ2
İ1m

37. . Комплексная плоскость

+j
c sinφ
j 1
a
ejφ
с a 2 b2
b
φ
c cosφ
a+jb
cejφ=c cos φ + jc sin φ
+1
tgφ=b/a
φ=+arctg (b/a)
a = c cos φ
b = c cos φ

38. Комплексное число

Комплексное число можно изображать на комплексной плоскости либо
координатами a и b (a+jb), либо вектором
(формула Эйлера).
e j cos j sin

39. Математические операции над синусоидальными величинами

• Математические операции над
синусоидальными величинами можно
проводить в комплексной (векторной)
форме. Докажем соответствие
синусоидальной величины и её
изображения на комплексной плоскости

40. Алгебраическая форма

Примем с = Im, тогда: Im еjφ = Imсosφ + j Imsinφ.
Величина вектора в Im раз больше. Положим, что угол изменяется
прямо пропорционально времени, т.е. φ = ωt+ψ тогда:
Im еj(ωt+ψ) = Imсos(ωt+ψ) + j Imsin(ωt+ψ)

41. Действительная и мнимая части

Imсos(ωt+ψ) - действительная часть Re Im еj(ωt+ψ);
Imsin(ωt+ψ)мнимая часть Im Im еj(ωt+ψ)
Т.о. синусоидально изменяющийся ток i = Imsin(ωt+ψ) может быть
представлен как Im Im еj(ωt+ψ) или как проекция вращающегося вектора на
ось +j.

42. Изображение векторов

Для единообразия принято изображать векторы синусоидально
изменяющихся величин для момента времени ωt = 0 (φ=ψ), тогда Im еj(ωt+ψ)
= Im еjψ = İm – комплексная величина, модуль ее равен Im , а угол вектора к
+1 оси равен начальной фазе ψ . İm - комплексная амплитуда тока i.
i = 8 sin(ωt+20o) A → İm = 8 еj20 = 7,52+2,74 j.
İm = 25 е-j30 A → i = 25 sin(ωt - 30o)

43. Сложение и вычитание

• Сложение и вычитание комплексных
чисел удобнее проводить в
алгебраической форме:
• (a1+jb1)+(a2+jb2)-(a3+jb3) = (a1+a2-a3) +
j(b1+b2–b3)

44. Пример

Пример: Пусть надо сложить два тока i = i1 + i2
i1 = I1m sin(ωt+ψ1);
i2 = I2m sin(ωt+ψ2);
представляем в виде вектора
İ1m = I1m еjψ
İ2m = I2m еjψ
геометрически сложим
I1m cosψ1 + j I1m sinψ1
İm = Im еjψ
I2m cosψ2 + j I2m
sinψ2
+
I2m cosψ2 + j I2m sinψ2
i = Im sin(ωt+ψ)
X + jУ
I1m cosψ1 + j I1m sinψ1
+
I2m cosψ2 + j I2m sinψ2
=
X + jУ

45. В векторной форме

I m x 2 y 2 e
I m I m e j
y
jarctg( )
x
+j
İ1m
ψ2
ψ1
ψ
İ2m
İm
+1

46. Деление иумножение

Деление комплексных чисел удобнее проводить в показательной
форме:
c3e
j 3
c1e j 1 c1 j ( 1 2 )
e
j 2
c2e
c2
c3
c1
; 3 1 2
c2
Умножение комплексных чисел – в показательной форме:
с4 e j 4 c1e j 1 c2 e j 2 c1 c2 e j ( 1 2 )
Модуль функции еjα=1
е j cos 2 sin 2 1
I m I m j
I
e Ie j .
Комплекс действующего значения
2
2

47. Умножение на j и -j

Умножение вектора на j и –j даёт вектор, по модулю равный
исходному, но поворачивает его на 900 в сторону
опережения/отставания.
Å=A*ejφa
j=0+1j=1e j90 =e j90
0
0
-j=0-1j=1e - j90 =e - j90
Å j=Ae
jφa
опережает
j
0
e
j90
0
jÅ
Å
0
отстает
0
=Ae
0
j(φa +90 )
-Å j=Ae jφa e- j90 =Ae j(φa -90
+1
0
)
-jÅ

48. Законы Ома и Кирхгофа для цепи синусоидального тока

• Т.к. синусоидальные напряжения и ток
характеризуется мгновенными,
максимальными и действующими
значениями таким образом для каждого
из них существует своя формулировка
закона.
• Для максимальных и действующих
значений законы Ома и Кирхгофа
справедливы в векторной форме:

49. Законы Кирхгофа

n
I закон Кирхгофа:
I
k 1
n
k
0
n
II закон Кирхгофа : U k E k ; U k I k * Z k
k 1
k 1

50. Комплексное сопротивление

Комплексное сопротивление [Ом]:
Z z * e j R j L
j
C (точка не ставится, т.к. Z не изменяется по sin
закону)
İm*Z=Ėm, комплексные амплитуды поделим на
İ=
Е
- закон Ома для цепи синусоидального тока.
Z
2:

51. Активное и реактивное сопротивление

Z R jX
R – активное сопротивление, X L
Закон Ома для участка цепи:
1
C
- реактивное.
U
I
Z
-
сопротивление Z (полное сопротивление
пропорционален напряжению на участке цепи.
ток, протекающий через
участка
цепи),
прямо

52. Комплексная проводимость [См]:

Y
1
g jb ye j
Z
Ом Сим
1
1
1
R jx
R
X
2
j
g jb
Z R jx R X 2 R 2 X 2
R2 X 2
g
R
X
; b 2
; y g 2 b2
2
2
R X
R X
2
Закон Ома: İ=ŮY или İ=Ůg-jŮb=İa+İr
акт. реакт.

53. Законы Кирхгофа для мгновенных значений

I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов
в узле равна нулю.
n
i
k 1
k
0
i1
i2
i3
i1 i2 i3 0

54. II закон Кирхгофа

II закон Кирхгофа: алгебраическая сумма э.д.с. в замкнутом контуре
равна алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжения.
n
n
U e
k 1
k
e
n
U
k 1
k 1
k
e u1 u 2 u3
Z1
k
U2
U1
0
U3
Z3
Z2
Если е=0, то сумма

55. Информационные источники

• 1. Касаткин А.С., Немцов М.В.. Электротехника. М.: Высш. шк.,
1999.
• 2. Иванов И.И., Лукин А.Ф., Соловьев Г.И. Электротехника:
Основные положения, примеры и задачи. Серия «Учебники для
вузов. Специальная литература» - СПб.: Издательство «Лань»,
1999.
• 3. Атабеков Г.И. Основы теории цепей: Учебник/ Г.И. Атабеков. –
2-е изд., испр.- СПб.: Лань, 2006.- 424с.
• 4. Теоретические основы электротехники: Учеб. Для вузов/ А.И.
Горбунов, И.Д. Кабанов, А.В. Кравцов и др. – М.: МГАУ, 1988.
• 5. Электротехника и электроника: учеб.д ля вузов/ М.В. Немцов,
М.Л. Немцова. – 2-е изд., стер.- М.: Академия,2009. – 427с.
• 6.. Курс электротехники: учеб. Для вузов/ А.С. Касаткин, М.В.
Немцов. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. Шк, 2007.