Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии. 9 класс

1.

9-А, Б КЛАССЫ
АЛГЕБРА
30.03.2023
ТЕМА: ФОРМУЛА СУММЫ
N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ

2.

ЦЕЛИ УРОКА
1. Закрепить тему: « Формула n-го члена
геометрической прогрессии»
2. Вывести формулу суммы n первых
членов геометрической
прогрессии.
3. Закрепить знания в ходе решения
конкретных примеров.

3.

4.

1
Определение арифметической
прогрессии
аn a1 d (n 1)
7
2
Формула n – го члена
геометрической прогрессии
bn 1 bn q
4
3
Разность арифметической
прогрессии
bn b1 q n 1
4
Определение геометрической
прогрессии
d а n 1 a n
5
Формулы суммы n первых
членов арифметической
прогрессии
bn 1
q
bn
6
Знаменатель геометрической
прогрессии
Sn
Sn
7
Формула n – го члена
арифметической прогрессии
6
2a1 d (n 1)
n
2
a1 a n
2
2
3
n
а n 1 a n d
5
1

5.

6.

1
2
3
4
Найдите
Найдите шестой
Является ли
Является ли
разность
член
последовательно последовательнос
сть
ть аn= n2 - 5
арифметической арифметической
арифметической арифметической
прогрессии
прогрессии
прогрессией?
прогрессией
7; 15; 23;…
an = - 0,5n +1
5; 12; 19;…
Найдите
знаменатель 5
геометрической
прогрессии
-5; 3; - 1,8;…
Найдите третий Является ли
Найдите
6 последовательно
член
неизвестный8
7
сть
член
геометрической
геометрической геометрической
прогрессии
прогрессии
прогрессией
b n = 3 * 2n
..; 7; 21; у ; 189;..
0,5; 5; 40;…

7.

Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
Определение
а n 1 a n d
bn 1 bn q
Формула n – го члена
а n a1 d (n 1)
bn b1 q n 1
Формула суммы n - первых членов
Sn
a1 a n
2
n
2a1 d (n 1)
Sn
n
2

8.

ФОРМУЛА СУММЫ
N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ

9.

Легенда о геометрической
прогрессии
9

10.

Шахматная игра была придумана в Индии, и
когда индусский царь Шерам познакомился с
нею, он был восхищен ее остроумием и
разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его
подданных, царь приказал его позвать, чтобы
лично
наградить
за
удачную
выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону
повелителя. Это был скромно одетый ученый,
получавший средства к жизни от своих учеников.
10

11.

-Я
желаю
достойно
вознаградить тебя, Сета, за
прекрасную игру, которую ты
придумал, -сказал царь.
Мудрец поклонился.
-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое
смелое твое пожелание, - продолжал царь. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты
получишь ее.
Сета молчал.
-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое
желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить
его.
-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок
обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою
просьбу.
11

12.

Когда на другой день Сета снова явился к
ступеням трона, он удивил царя беспримерной
скромностью своей просьбы.
-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать
мне за первую клетку шахматной доски одно
пшеничное зерно.
-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи
выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за
пятую - 16, за шестую -32…
12

13.

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. –
Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски,
согласно твоему желанию: за каждую вдвое
больше против предыдущей. Но знай, что просьба
твоя недостойна моей щедрости. Прося такую
ничтожную
награду,
ты
непочтительно
пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои
вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся
хитро,
покинул
дворец
и
стал
дожидаться
у
ворот дворца.
13

14.

Дано: (bn) – геометрическая прогрессия
b1=1, q = 2, n = 64.
Найти: S64
Решение
1) S = 1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263.
2) Умножим обе части на знаменатель прогрессии:
2S = 2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264.
3) Вычтем из второго равенства первое и упростим:
2S – S = (2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264) –
(1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263) = 264 - 1

15.

1) S = 1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263.
2) Умножим обе части на знаменатель прогрессии:
2S = 2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264.
3) Вычтем из второго равенства первое и упростим:
2S – S = (2 + 22 + 23 +24 +….+ 263 + 264) –
(1 + 2 + 22 + 23 +….+ 262 + 263) = 264 - 1
S n q S n bn q b1
S n q S n S n (q 1)
S n (q 1) bn q b1
bn q b1
Sn
q 1

16.

Формула суммы n первых членов
геометрической прогрессии, в которой q ≠ 0
Sn
bn q b1
q 1
b1 (q 1)
Sn
q 1
n

17.

3. Докажите, что последовательность ( bn)
2. 1. Найдите
Найдите
сумму
сумму
первых
первых
шести
пяти членов
является геометрической прогрессией, и
геометрической
геометрической
прогрессии:
прогрессии,12;
у которой:
36; ….;
найдите сумму первых четырёх её членов,
b1= 8, bq == 2.
если
0,2 * 5n
n
.

18.

За обедом царь вспомнил об изобретателе
шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою
жалкую награду.
-Повелитель, - был ответ, - приказание твое
исполняется.
Придворные
математики
исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы
повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз
осведомился, давно ли Сета со своим мешком
пшеницы покинул ограду дворца.
-Повелитель, - ответили ему, - математики
твои трудятся без устали и надеются еще до
рассвета закончить подсчет.
18

19.

Утром
царю
доложили,
что
старшина
придворных математиков просит выслушать
важное донесение.
Царь приказал ввести его.
-Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил
Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец,
Сете та ничтожная награда, которую он себе
назначил.
-Ради
этого
я
и
осмелился явиться перед
тобой в столь ранний час,
- ответил старик. – Мы
добросовестно исчислили
все
количество
зерен,
которое желает получить
Сета.
Число
это
так
велико…..
19

20.

-Как бы велико оно ни было, - надменно
перебил царь, - житницы мои не оскудеют.
Награда обещана и должна быть выдана..
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять
подобные желания. Во всех амбарах твоих нет
такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет
его и в житницах целого царства. Не найдется
такого числа зерен и на всем пространстве Земли.
И если желаешь непременно выдать обещанную
награду, то прикажи превратить земные царства в
пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны,
прикажи растопить льды и снега, покрывающие
далекие северные пустыни.
20

21.

Пусть все пространство их будет сплошь
засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих
полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит
свою награду…
С изумлением внимал царь словам старца.
- Назови мне это чудовищное число, сказал он
в раздумьи.
21

22.

18 446 744 073 709 551 615
-Восемнадцать квинтильонов
четыреста сорок шесть
квадрильонов семьсот сорок четыре
триллиона семьдесят три биллиона
семьсот девять миллионов пятьсот
пятьдесят одна тысяча шестьсот
пятнадцать, о повелитель!
22

23.

Масса такого числа
зерен больше
триллиона тонн.
Индусский царь не в
состоянии был выдать
подобной награды.
Но будь он силен в
математике, он бы не
попал впросак…
23

24.

1)Найдите
двадцать
четвертый член
арифметической
прогрессии, если
а1=-9, d=-2.
2) Найдите
девятнадцатый
член
арифметической
прогрессии
7; 3,5; …
6)Найти седьмой член
геометрической
прогрессии, если b1=64;
1
q= - 2.
3) Является ли число
42 членом
арифметической
прогрессии, если
1
а1=6; d= ?
3
7) Найти номер
подчеркнутого члена
геометрической
прогрессии:
-2; -4; …; -128; …
4)Найти а1 и
разность
арифметической
прогрессии, если
а5=10; а12=17.
8) Найти
знаменатель
геометрической
прогрессии, если
b9 =72; b7=2.
5) Найдите сумму
первых n членов
арифметической
прогрессии (an),
если известно, что
2
a1=-6, d=3, n=36.
9) Найдите сумму
первых шести членов
геометрической
прогрессии (bn),
заданной следующими
1
условиями: b1= 4, q=2
Самостоятельная работа
24

25.

Домашнее задание
Учить формулы
арифметической и
геометрической прогрессий
Прислать фото с/р до 14.00
сегодня