Integrallar. Kurs ishi

1.

Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti matematika
fakulteti 5130100 matematika ta’lim yo’nalishi 2-A1 guruh talabasi
Ollanazarova Zuhra
Matematik analiz fanidan
KURS ISHI
TOPSHIRDI:
QABUL QILDI:
OLLANAZAROVA Z
IZETAEVA G
NUKUS 2022
1

2.

MUNDARIJA
Kirish……………………………………………………………………………..3
I.BOB. Birinchi tur egri chiziqli integrallar……………………………………..4
1.1. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari……………………......8
1.2. Birinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash……………………………9
1.3. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi bir tadbiqlari……………….13
II.BOB. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar……………………………………14
2.1.Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari…………………………22
2.2.Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash…………………………..24
III.BOB. Egri chiziqli integrallarni hisoblashga oid masalalar……………….....26
Xulosa…………………………………………………………………………...30
Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………………31
2

3.

KIRISH
Ushbu kurs ishi matematik analiz
fanining “Egri chiziqli integrallar”
bo’limi bo’yicha tayyorlangan bo’lib, unda nazariy ma’lumotlar keltirilgan , misol
va masalarning izohli yechimlari bilan ko’rsatilgan. Bu yerda birinchi va ikkinchi
tur egri chiziqli integrallarning ta’riflari sodda tilda keltirilgan bo’lib, ba’zi egri
chiziqli integrallar ta’rif yordamida hisoblab ko’rsatilgan. Bu esa egri chiziqli
integralni yaxshi tushunishga , yechilgan misol va masalalarning mohiyatini
anglashga xizmat qiladi.
Integrallash
sohasi
biror
egri
chiziq
bo’lgan
aniq
integralning
umumlashtirilishi egri chiziqli integral deb ataladi. Ma’lumki , f funksiyadan
a, b kesma bo’yicha olingan integralni , shu kesma bilan ustma-ust tushuvchi
va chiziqli zichligi f funksiyaga teng bo’lgan o’zakning massasi deb hisoblash
mumkin.Endi bordiyu kesma bukilib, biror egri chiziqqa aylangan bo’lsa , u holda
bunday bukilgan o’zak massasini qanday topish mumkin?
Buning uchun xuddi kesma bo’yicha olingan aniq integral holidagidek ish
tutamiz. Chunonchi , bu egri chiziqni qismiy yoylarga bo’lamiz va har bir bo’lakni
taxminan birjinsli deb faraz qilib, barcha bo’laklar massasini yig’ib chiqamiz.
Aynan mana shu hosil bo’lgan kattalik bukilgan o’zakning taxminiy massasi
bo’lib, uning qiymati egri chiziqli integral tasavvurini beradi.
Biz quyida birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar, xossalari va ularni
hisoblash
formulalari
bilan tanishamiz. Bundan tashqari
integrallarning ba’zi bir tadbiqlari keltirilib o’tiladi.
3
egri chiziqli

4.

Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi
Tekislikda biror sodda AB A a , a2 R 2 , B b1 , b2 R 2 egri chiziqni (yoyni)
1
olaylik.Bu ikki
yo’nalishdan birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy
yo’nalish deb qabul qilaylik.
(1-chizma )
A0 A, A1 ,..., An B Ak xk , yk AB, k 0,1,..., n, A0 x0 , y0 a1 , a2 , An xn , yn b1, b2
nuqtalar yordamida n ta bo’lakka bo’lamiz. Bu A0 , A1 ,..., An nuqtalar sistemasi AB
yoyining bo’laklashi deb ataladi va u
P A0 , A1 ,..., An
kabi belgilanadi. Ak Ak 1 yoy ( bo’laklash yoylari) uzunliklari Sk k 0,1, 2,..., n ning
eng kattasi P bo’laklash diametri deyiladi va u p bilan belgilanadi:
p max Sk
Ravshanki , AB egri chiziqni turli usullar bilan istalgan sonda bo’linishlarini tuzish
mumkin.
AB egri chiziqda f x, y funksiya berilgan bo’lsin. Bu egri chiziqning
P A0 , A1 ,..., An
4

5.

bo’linishini
va
uning
har
bir
yoyida
Ak Ak 1
ixtiyoriy
Qk k , k
Q , A A , k 0,1, 2,..., n nuqta olamiz.Berilgan funksiyaning Q ,
k
k
k
k
k 1
k
k
k
nuqtadagi f k , k qiymatini Ak Ak 1 ning Sk uzunligiga ko’paytirib quyidagi
yig’indini tuzamiz:
n 1
f k , k Sk
(0.1)
k 0
Endi AB egri chiziqning shunday
P1 , P2 ,..., Pm ,...,
(0.2)
bo’linishlari ketma-ketligini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil
topgan
p , p ,..., p ,...,
1
2
m
Ketma-ketlik nolga intilsin: p 0
bunday bo’linishlarga nisbatan
m
kabi
yig’indilarni tuzib, ushbu
1 , 2 ,..., m ,...,
ketma-ketlikni
hosil qilamiz. Ravshanki bu
ketma-ketlikning
har bir hadi
Qk k , k nuqtalarga bog’liq.
1.1-ta’rif. Agar AB egri chiziqning (1.2) ko’rinishdagi bo’linishlari ketmaketligi Pm olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat m ketma-ketlik
k , k tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta I soniga
intilsa, bu son yig’indining limiti deb ataladi va
n 1
lim lim f k , k Sk I
x 0
x 0
k 0
kabi belgilanadi.
5
(0.3)

6.

1.2-ta’rif. Agar 0 son olinganda ham shunday 0 topilsaki, AB egri
chiziqning diametri p bo’lgan har qanday P bo’linishi uchun tuzilgan
yig’indi ixtiyoriy k , k Ak Ak 1 nuqtalarda
I
Tengsizlik bajarilsa, I son yig’indining p 0 dagi limiti deb ataladi va (1.3)
kabi belgilanadi.
1.3-ta’rif. Agar p 0 da yig’indi chekli limitga ega bo’lsa
u holda
f x, y funksiya c egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Bu limit f x, y
funksiyaning egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va
f x, y dS
AB
kabi belgilanadi.
Shunday qilib kiritilgan egri chiziqli integral tushunchasining o’ziga xosligi
qaralayotgan ikki argumentli funksiyaning berilish sohasi tekislikdagi biror AB
egri chiziq ekanligidir.
Uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligi
Faraz qilaylik , AB egri chiziq ushbu
x x s
y y s
0 s S
(0.4)
sistema bilan berilgan bo’lsin. Bunda s AQ yoyning uzunligi Q x, y AB , S
esa AB yoyning uzunligi. f x, y funksiya shu AB egri chiziqda berilgan bo’lsin,
modomiki , x x s x x s , y y s 0 s S ekan, unda
bo’lib, natijada ushbu
f x s , y s F s
6
0 s S
x, y f x s , y s

7.

funksiyaga ega bo’lamiz.
AB egri
chiziqning P A0 , A1 ,..., An
bo’linishini va har bir Ak Ak 1 da
ixtiyoriy Qk k , k nuqtani olaylik. Har bir Ak nuqtaga mos keladigan AAk ning
uzunligi sk , har bir AQk ning uzunligi sk deylik. Ravshanki, Ak Ak 1 ning uzunligi
sk 1 sk sk bo’ladi.
Natijada P bo’linishga nisbatan tuzilgan
n 1
f k , k sk
k 0
yig’indi ushbu
n 1
n 1
k 0
k 0
n 1
f k , k sk f x sk , y sk sk F sk sk
k 0
ko’rinishga keladi. Demak
n 1
F sk sk
k 0
Bu
yig’indini 0, S oraliqdagi F s funksiyaning
(0.5)
integral yig’indisi
ekanligini payqash qiyin emas.
Agar f x, y funksiya
AB egri
chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda F x
bu holda F s funksiya 0, S da
funksiya 0, S da uzluksiz bo’ladi.Demak
integrallanuvchi:
n 1
S
k 0
O
lim F sk sk F s ds
p 0
(0.6)
Shunday qilib,(1.5) va (1.6) munosabatlardan p 0 da yig’indining limiti
mavjud bo’lishi va
7

8.

S
lim F s ds
p 0
O
ekanligini topamiz.Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
1.1-teorema. Agar f x, y funksiya AB egri chiziqda uzluksiz bo’lsa , u holda
bu funksiyaning
AB egri chiziq bo’yicha
birinchi tur egri chiziqli integrali
mavjud bo’ladi va
S
f x, y ds f x s , y s ds
0
AB
bo’ladi.
Bu teorema bir tomondan uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining
mavjudligini
aniqlab
bersa
,
ikkinchi
tomondan
bu
integralning
aniq
Birinchi tur egri chiziqli integrallar ham Riman integrallari xossalari
kabi
integralga(Riman integraliga) kelishini ko’rsatadi.
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari
xossalarga ega bo’ladi.Shuni e’tiborga olib , egri chiziqli integrallarning asosiy
xossalarini sanab o’tish bilan kifoyalanamiz.
(1.4) sistema bilan aniqlangan AB egri
chiziqda f x, y funksiya berilgan va
uzluksiz.
1 . Agar AB AC CB bo’lsa, u holda
f x, y ds f x, y ds f x, y ds
AB
CB
AC
bo’ladi.
2 . Ushbu
8

9.

cf x, y ds c f x, y ds
AB
c const
AB
tenglik o’rinli.
AB egri chiziqda f x, y funksiya bilan g x, y funksiya ham berilgan va uzluksiz.
3 . Quyidagi
f x, y g x, y ds f x, y ds g x, y ds
AB
AB
AB
formula o’rinli bo’ladi.
4 . Agar x, y AB da f x, y 0 bo’lsa , u holda
f x, y ds 0
AB
bo’ladi.
5 . f x, y funksiya shu AB da integrallanuvchi va
f x, y ds f x, y ds
AB
AB
bo’ladi.
6 . Shunday c1 , c2 AB nuqta topiladiki ,
f x, y dsdx f c , c S
1
2
AB
bo’ladi, bunda S AB ning
uzunligi.Ushbu
xossa
o’rta
qiymat
haqidagi
teorema deb ataladi.
Birinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash
Birinchi tur egri chiziqli integrallar, asosan Riman integrallariga keltirilib
hisoblanadi. Yuqorida keltirilgan 1.1-teoremaga ko’ra AB egri chiziq ushbu
9

10.

x x s
y y s
0 s S
sistema bilan berilganda (bunda s yoy uzunligi) ga AB da f x, y shu uzluksiz
bo’lganda egri
chiziqli integral Riman integraliga
integralini
hisoblash
natijasida
egri
keldi.Demak, bu Riman
chiziqli
integral
topiladi.
Endi AB egri chiziq ushbu
x t
y t
0 s S
(0.7)
sistema bilan ( pa rametrik formada) berilgan bo’lsin. Bunda t , t funksiyalar
, da ' t , ' t hosilalarga ega va bu hosilalar shu oraliqda uzluksiz hamda
, A va , B
bo’lsin.
Ravshanki, 1.7 sistema , oraliqni AB egri
chiziqqa akslantiradi.Bunda
, , ning AB egri chiziqdagi A A aksining uzunligi
t t dt
'2
'2
bo’ladi.
2-teorema. Agar f x, y funksiya AB da berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda
f x, y ds f t , t t ' t dt
'2
AB
2
(0.8)
bo’ladi.
Isbot , oraliqning
P t0 , t1 ,..., tn t0 t1 ... tn
bo’linishini olaylik.Bu bo’linishning bo’luvchi nuqtalari tk k 0,1, 2..., n ning AB
10

11.

dagi mos akslarini Ak k 0,1, 2..., n deylik.Ravshanki, bu Ak k 0,1, 2..., n nuqtalar
AB egri chiziqning
A0 , A1,..., An
bo’linishini hosil qiladi. Bunda Ak tk , tk k 0,1, 2,..., n va Ak Ak 1 ning
uzunligi
tk 1
sk '2 t '2 t dt
tk
bo’ladi.O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagilarni topamiz:
sk '2 k '2 k tk 1 tk '2 k '2 k tk ,
bunda
tk t tk 1 .Endi
k k , k k
deb
olamiz.Ravshanki,
k , k Ak Ak 1 k 0,1, 2,..., n 1 bo’ladi. AB egri chiziqning yuqorida aytilgan
A0 , A1,..., An
bo’linishini va har bir Ak Ak 1 da k , k nuqtani olib,
n 1
f k , k sk
k 0
yig’indini tuzamiz. Uni quyidagicha ham yozish mumkin:
n 1
n 1
k 0
k 0
f k , k sk f k , k '2 k '2 k tk
Bu
tenglikning
o’ng
tomonidagi yig’indi
funksiyaning , oraliqdagi
(0.9)
f t , t '2 t '2 t
Riman yig’indisidir.Shartga ko’ra f x, y
' t , ' t funksiyalar uzluksiz.Murakkab
funksiyaning
uzluksizligi
va
haqidagi
teoremadan kelib chiqadiki ushbu funksiya , oraliqda uzluksiz. Demak, bu
funksiya , oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
11

12.

Ya’ni
n 1
k 1
lim f k , k '2 k '2 k tk f t , t '2 t '2 t dt
max tk 0
Modomiki, x t , y t funksiyalar , da uzluksiz ekan, unda max tk 0
da xk 0, yk 0 demak, sk 0 . Bundan esa p 0 bo’lishi kelib chiqadi.(1.8)
munosabatdan foydalanib
lim f t , t '2 t '2 t dt
p 0
bo’lishini topamiz.Bu esa
2
2
f x, y ds f t , t ' t ' t dt
AB
ekanini bildiradi.Teorema isbotlandi.
Bu teoramadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1.1-natija. AB egri chiziq ushbu
y y x a x b, y a A, y b B
tenglama bilan aniqlangan bo’lib, y y x funksiya a, b da hosilaga egava uzluksiz
bo’lsa, u holda
b
f x, y ds f x, y x 1 y ' x dx
2
AB
a
bo’ladi.
1.2-natija. AB egri chiziq ushbu
0 1
12

13.

tenglama bilan (qutb koordinata sistemasida) berilgan bo’lib, funksiya 0 , 1
da hosilaga ega va uzluksiz bo’lsin.Agar f x, y funksiya shu AB da berilgan va
uzluksiz bo’lsa, u holda
1
f x, y ds f cos ,sin ' d
2
AB
2
(0.10)
0
bo’ladi
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi bir tatbiqlari
Birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligini,jismning
massasini, og’irlik markazlarini topish mumkin.Quyida biz birinchi tur egri chiziqli
integrallar yordamida yoy uzunligini hisoblashni ko’rsatamiz.
Tekislikda sodda AB egri chiziq berilgan bo’lsin.Bu chiziqda f x, y 1 funksiyani
qaraylik. Ravshanki, bu funksiya AB da uzluksiz. f x, y funksiyaning birinchi tur
egri chiziqli integrali ta’rifidan quyidagini topamiz:
n 1
n 1
f x, y ds lim f k , k sk lim sk S.
AB
p 0
p 0
k 0
k 0
Demak,
S ds
(*)
AB
Misol. Ushbu
x x t a cos3 t
3
y y t a sin t
Sistema bilan berilgan AB chiziqning uzunligi topilsin.Bu chiziq astroidani
ifodalaydi.(*) formulaga ko’ra astroidaning uzunligi
13

14.

2
2
2
2
ds 4 x ' t y ' t dt 4
0
AB
4
0
2
2
2
2
0
2
3a cos t sin t 3a sin t cos t dt
2
9a
cos 2t
sin 2 2tdt 6a sin 2t 6a
2 6a
4
2
0
0
2
Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi
Tekislikda biror sodda AB egri chiziqni qaraylik.Bu egri chiziqda f x, y
funksiya berilgan bo’lsin. AB egri chiziqning
P A0 , A1 ,..., An
bo’linishini va uning har bir Ak Ak 1 k 0,1,..., n 1 yoyida ixtiyoriy Qk k , k
nuqtani
Q , A A , k 0,1,..., n 1 olaylik.
k
k
k
Qk k , k nuqtadagi
k
k 1
f k , k qiymatini
Ak Ak 1 ning
Berilgan
funksiyaning
ox oy o’qdagi
xk yk
proyeksiyasiga ko’paytirib quyidagi yig’indini tuzamiz:
n 1
n 1
' f k , k xk '' f k , k yk .
k 0
k 0
(0.11)
Endi egri chiziqning shunday
P1 , P2 ,..., Pm ,...
(0.12)
bo’linishlari ketma-ketligini qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan
mos
p , p ,..., p ,...
1
2
m
ketma-ketlik nolga intilsin:
p 0
m
14

15.

bunday bo’linishlarga nisbatan (1.11) kabi yig’indilarni tuzib ushbu
1' , 2' ,..., m' ,... 1'' , 2'' ,..., m'' ,...
ketma-ketlikni hosil qilamiz.Ravshanki,bu ketma-ketlikning har bir hadi, xususan
k , k nuqtalarga ham bog’liq.
AB egri chiziqning har qanday (1.12) ko’rinishdagi
1.4-ta’rif. Agar
bo’linishlari ketma-ketligi Pm olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat
ketma-ketlik
'
m
k , k nuqtalarning
''
m
, A A tanlab olinishiga
k
k
k
k 1
bog’liq bo’lmagan ravishda hamma vaqt bitta I ' I '' songa intilsa, bu son ' ''
yig’indining limiti deyiladi va
n 1
lim ' lim f k , k xk I '
p 0
p 0
k 1
n 1
lim '' lim f k , k yk I ''
p 0
p 0
(0.13)
k 1
kabi belgilanadi.
1.5-ta’rif. Agar p 0 da ' '' yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, u holda
m
f x, y funksiya AB egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi.Bu limit f x, y
funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi
va u
f x, y dx
AB
f x, y dy
AB
kabi belgilanadi.Demak,
n 1
'
f x, y dx lim lim f k , k xk
AB
p 0
p 0
k 0
n 1
''
f x, y dy lim lim f k , k yk
AB
p 0
p 0
15
k 0

16.

Shunday qilib, AB egri chiziqda berilgan f x, y funksiyadan ikkita ox o’qidagi
proyeksiyalar vositasida va oy o’qidagi proyeksiyalar vositasida olingan ikkinchi
tur egri chiziqli integral tushunchalari kiritildi.
Faraz qilaylik, AB egri chiziqda ikkita P x, y va Q x, y fuksiyalar berilgan
bo’lib, P x, y dx , Q x, y dy lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari
AB
AB
bo’lsin. Ushbu
P x, y dx Q x, y dy
AB
AB
Yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va
P x, y dx Q x, y dy
AB
kabi yoziladi. Demak,
P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy
AB
AB
AB
Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1.3-natija. Ikkinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqning yo’nalishiga
bog’liq bo’ladi.
1.4-natija. AB egri chiziq ox oy o’qiga perpendikular bo’lgan to’g’ri
chiziq kesmasidan iborat bo’lsin. f x, y funksiya shu chiziqda berilgan bo’lsin.
U holda
f
x
,
y
dx
f
x
,
y
dy
AB
AB
mavjud bo’ladi va
16

17.

f x, y dx 0 f x, y dy 0 .
AB
AB
Bu tenglik bevosita ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan kelib chiqadi.
Endi AB -sodda yopiq egri chiziq bo’lsin, ya’ni A va B nuqtalar ustma-ust
tushsin.Bu yopiq chiziqni K deb belgilaylik.Bu sodda yopiq chiziqda ham ikki
yo’nalish bo’ladi. Ularning birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy yo’nalish
deb qabul qilaylik.Shunday yo’nalishni musbat deb qabul qilamizki, kuzatuvchi
yopiq chiziq bo’ylab harakat qilganda,
(2-chizma)
yopiq chiziq bilan chegaralangan soha unga nisbatan doim chap tomonda yotsin.
Faraz qilaylik, K sodda yopiq chiziqda f x, y funksiya berilgan bo’lsin.Bu K
chiziqda ixtiyoriy ikkita turli nuqtalarni olib, ularni A va B bilan belgilaylik. AaB va
BbA chiziqlarga ajraladi (2-chizma).
Ushbu
f x, y dx f x, y dx
AaB
BbA
Integral (agar mavjud bo’lsa ) f x, y funksiyaning K yopiq chiziq bo’yicha
ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va
17

18.

f x, y dx yoki f x, y dx
K
K
kabi belgilanadi.Bunda K yopiq chiziqning musbat yo’nalishi olingan.Shunga
o’xshash
f x, y dy
K
hamda umumiy holda
P x, y dx Q x, y dy
K
integrallar ta’rifilanadi.
AB fazoviy
egri
chiziq
chiziqda f x, y, z funksiya
bo’lib,bu
berilgan
bo’lsin.Yuqoridagidek, f x, y, z funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur
egri chiziqli integrallari ta’riflanadi va ular
f x, y, z dx , f x, y, z dy , f x, y, z dz
AB
AB
AB
kabi belgilanadi. Umumiy holda AB da P x, y, z , Q x, y, z , R x, y, z funksiyalar
berilgan bo’lib, ushbu
P x, y, z dx , Q x, y, z dy , R x, y, z dz
AB
AB
AB
Integrallar mavjud bo’lsa , u holda
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz
AB
AB
AB
Yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va u
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz
AB
18

19.

kabi belgilanadi.Demak,
P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz.
AB
AB
AB
AB
Uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali
Endi ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjud bo’lishi taminlaydigan shartni
topish bilan shug’ullanamiz.
Faraz qilaylik AB egri chiziq ushbu
x t
y t
t
(0.14)
Sistema bilan (parametric formada )berilgan bo’lsin.Bunda t funksiya , da
' t hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz, t funksiya ham , da
uzluksiz hamda , A va , B bo’lsin.
t paramer dan ga o’zgarganda x, y t , t nuqta A dan B ga qarab AB ni
chiza borsin.
1.3-teorema. Agar f x, y funksiya AB da berilgan va uzluksiz bo’lsa, u
holda bu funksiya AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali
f x, y dx
AB
mavjud va
f x, y dx f t , t t dt
'
AB
bo’ladi.
Isboti. , oraliqning
19

20.

P t0 , t1 ,..., tn
t0 t1 ... tn
bo’linishni olaylik. Bu bo’linishning bo’luvchi nuqtalari tk k 0,1,..., n ning AB
dagi mos akslarini Ak deylik k 0,1,..., n .Ravshanki, bu Ak nuqtalar AB egri
chiziqning
A0 , A1,..., An
bo’linishini hosil qiladi. Bundan Ak tk , tk k 0,1,..., n bo’ladi.
Bu bo’linishga nisbatan (1.11) yig’indini
n 1
' f k , k xk
k 0
tuzamiz.
Keyingi
tenglikda
xk xk 1 xk tk 1 tk ga
tengdir.Lagranj
teoremasidan foydalanib topamiz:
tk 1 tk ' k tk 1 tk ' k tk
t , t
k
k
k 1
Ma’lumki , k , k Ak Ak 1 , k 0,1, 2,..., n 1 .Agar bu k , k nuqtaga akslantiruvchi
nuqtani rk rk tk , tk 1 deyilsa, unda
k rk , k rk
bo’ladi. Natijada, ' yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi
n 1
' f rk , rk ' k tk
k 0
endi p' max tk 0 da ' yig’indining limitini topish maqsadida uning ifodasini
o’zgartirib quyidagicha yozamiz:
n 1
n 1
k 0
k 0
' f rk , rk ' k tk f rk , rk ' k ' rk tk
20

21.

Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi baholaymiz:
n 1
f r , r r t
'
k
k 0
'
k
k
k
k
n 1
f rk , rk ' k ' rk tk
k 0
n 1
M ' k ' rk tk
k 0
bunda
M max t f t , t
' t funksiya
, da uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga ko’ra,
0 olinganda ham shunday 0 topiladiki, , oraliqning diametri p'
bo’lgan harqanday P bo’linish uchun
' k ' rk
M
bo’ladi. Unda
n 1
f r , r r t
'
k
k 0
'
k
k
k
k
n 1
tk
t
k 0 k
k 0 M
n 1
M
demak,
n 1
lim f rk , rk ' k ' rk tk 0
p 0
k 0
bo’ladi. Bu munosabatni hisobga olib, p 0 limitga o’tib quyidagini topamiz:
n 1
lim lim f rk , rk rk tk f t , t ' t dt
'
p 0
'
p 0
k 0
21

22.

demak,
'
f x, y dx f t , t t dt.
AB
teorema isbotlandi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari
1 . Agar P x, y funksiya AB yoy bo’ylab integrallanuvchi bo’lsa,
kP x, y dx k P x, y dx
AB
AB
tenglik o’rinli.
2 . Agar P1 x, y va P2 x, y funksiyalar
AB yoy bo’ylab integrallanuvchi
bo’lsa,
P x, y P x, y dx P x, y dx P x, y dx
1
2
1
AB
2
AB
AB
tenglik o’rinli.
3 . (Additivlik xossasi)Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga
ajratilgan bo’lib, P x, y
funksiya AC va CB
yoylarning har biri bo’ylab
integrallanuvchi bo’lsa,
P x, y dx P x, y dx P x, y dx
AB
CB
AC
tenglik o’rinli bo’ladi.
4 . Agar P x, y dx egri chiziqli integral ham mavjud bo’lsa,
AB
P x, y dx P x, y dx
AB
BA
22

23.

tenglik o’rinli bo’ladi.
5 . Agar funksiya L yopiq kontur bo’ylab integrallanuvchi bo’lsa, u holda
P x, y dx
L
U holda egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang’ich
nuqta (bu nuqta ham bo’ladi) deb olinishiga bog’liq emas.
Isboti. A va A1 lar teng bo’lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin.
( 3-chizma)
A nuqtani boshlang’ich nuqta deb, egri chiziqli integralni ko’rsatilgan yo’nalish
bo’yicha hisoblasak
P x, y dx P x, y dx P x, y dx
AmA1nA
AmA1
A1nA
tenglikka ega bo’lamiz.
Agar nuqtani boshlang’ich nuqta deb hisoblasak, u holda
P x, y dx P x, y dx P x, y dx
AnA1mA
AnA1
A1mA
tenglikka ega bo’lamiz.
Bu tengliklarning o’ng tomonlari bir xil qo’shiluvchilardan iborat.Shuning
uchun chap tomonlari ham teng bo’ladi.Demak, xossa isbotlandi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash
23

24.

Ikkinchi
tur egri chiziqli integrallar ham asosan Riman integrallariga
keltirilib hisoblanadi:
f x, y dx f t , t t dt
'
(0.15)
AB
f x, y dy f t , t t dt
'
(0.16)
AB
'
'
P x, y dx Q x, y dy P t , t t Q t , t t dt
AB
(0.17)
Xususan AB egri chiziq y y x a x b tenglama bilan aniqlangan bo’lib,
y y x funksiya a, b da hosilaga ega va uzluksiz bo’lsa (1.15)va (1.17) formulalar
quyidagi
b
f x, y dx f x, y x dx
(0.18)
a
AB
b
P x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx
'
AB
a
ko’rinishga keladi.
Shuningdek, AB egri chiziq x x y c y d tenglama bilan aniqlangan
bo’lib, x y funksiya c, d oraliqda hosilaga ega va uzluksiz bo’lsa (1.16) va (1.17)
tenglamalar quyidagi
d
f x, y dy f x y , y dy
c
AB
(0.19)
d
P x, y dx Q x, y dy P x y , y x y Q x y , y dy
'
AB
c
ko’rinishga keladi.
24
(0.20)

25.

Agar P x, y va Q x, y funksiyalar uchun
Q P
x y
Shart bajarilsa, u holda P x, y dx Q x, y dy ifoda biror U x, y funksiyaning to’la
differensiali bo’ladi va
P x, y dx Q x, y dy
AB
integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi, faqat
A
va
B nuqtalarning
berilishi bilan birqiymatli aniqlanadi.To’la differensial bo’yicha funksiyaning o’zi
x
y
x0
y0
U x, y P t , y0 dt Q x, t dt C
formula bo’yicha topiladi.
Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog’lovchi
Q
P
P x, y dx Q x, y dy x y dxdy
D
D
(0.21)
formula Grin formulasi deyiladi.Grin formulasidan D sohaning yuzasini hisoblash
uchun ushbu
S xdy , S ydx
D
(0.22)
1
xdy ydx
2
(0.23)
D
S
formulalar kelib chiqadi.
Egri chiziqli integrallarni hisoblashga oid misollar
1-masala. Quyidagi integralni x 2 cos t , y 2sin t , 0 t yarim aylana
bo’yicha hisoblang
25

26.

ydl.
L
Yechish.Birinchi tur egri chiziqli integralni ta’rif yordamida hisoblash
uchun berilgan yarim aylanani n ta bo’laklarga bo’lib olamiz.(4-chizma)
(4-chizma)
2
2
A A0 2, 0 , A1 2 cos , 2sin , A2 2 cos
, 2sin
,...,
n
n
n
n
n 1 , 2sin n 1 , B A 2, 4 .
An 1 2cos
n
n
n
Berilgan yarim aylananing uzunligi 2 ga, demak har bir bo’lakchaning uzunligi
2
ga teng ekanligi ravshan.Endi Ai Ai 1 i 0,1, 2,..., bo’lakchalardagi ixtiyoriy M i
n
nuqtalar sifatida har bir bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indini
tuzamiz.
2
n 1
2
2 2
f M 0 n 2sin n n 2sin n n ... 2sin
i 0
i
i
n 1 2
n
n
n 1 4 sin sin 2 ... sin n 1 sin n
4
2
... sin
sin sin
n
n
n
n
n
n
n
n
n
26

27.

4
n
n 1
n 1
sin
2 n sin n 8
2n .
2n
2n
sin
sin
2n
2n
sin
Demak,
n
f M lim8 2n
ydl lim
max
L
i 0
i 1
2-masala.Quyidagi
i
i
sin
n
n 1
sin
2n
8.
2n
integralni y x 2 1 parabolaning A 0,1 va B 2,5
nuqtalaridan o’tuvchi AB yoy bo’yicha hisoblang.
I x y dx
L
Yechish. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash uchun AB yoyni n ta
bo’lakchalarga bo’lib olamiz (5-chizma)
2 4
4 16
6 36
A A0 0,1 , A1 , 2 1 , A2 , 2 1 , A3 , 2 1 ,...,
n n
n n
n n
2 n 1 4 n 1
An 1
,
1 , B An 2,5 .
2
n
n
Endi har bir
Ai Ai 1
bo’lakchalardagi ixtiyoriy M i nuqta sifatida shu
bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indi tuzamiz
2 n 1 4 n 1 2 2
2 2 4
2 4 16 2
1
f M i xi 1 2 1 2 1 ...
n
n n n
n
n2
n n n
n
i 0
n 1
2
2
4
2
n 1 2 ... n 1 2 1 4 ... n 1
n
n
n
2 2 n n 1 4 n n 1 2n 1 20n2 18n 4
n
2
.
n n
2
n
6
3n2
27

28.

Demak,
max xi 0
L
20n 2 18n 4 20
.
n
3n 2
3
n 1
I x y dx lim
f xi , yi xi lim
i 0
(5-chizma)
3-masala.Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integralni Grin formulasi
yordamida hisoblang
y dx x y dy
2
2
L
Bu yerda
L chiziq A 3, 0 , B 3,3 va C 0,3 nuqtalarni ketma-ket tutashtiruvchi
uchburchak konturi.
Yechish. Masalaning shartidan chiziq bilan chegaralangan soha
D x, y : 0 x 3,3 x y 3
ekanligini
topamiz. P x, y y 2 , Q x, y x y 2 ,
P
2 y va
y
sohada uzluksiz ekani ma’lum.Grin formulasiga ko’ra
y dx x y dy 2 x y 2 y dxdy 2xdxdy
2
L
2
D
D
28
Q
2 x y lar
x
D

29.

3 3
3
3
3
3
3
2 3
2 xdxdy 2 xdy dx 2 xy
dx
2 x 2 dx x3 18.
3 x
3 0
0 3 x
0 3 x
0
0
4-masala. Quyidagi integralni x 2 y 2 2 x aylana bo’yicha hisoblang
I x y dl.
L
Yechish. x 2 y 2 2 x aylananing parametrik tenglamasi x 1 cos t , y sin t
ko’rinishda bo’lganligi uchun (1.8) formulaga ko’ra
2
I x y dl 1 cos t sin t
L
sin t cos t dt
2
0
2
1 cos t sin t dt t sin t cos t
0
29
2
2
0
2

30.

XULOSA
Ushbu kurs ishi orqali men matematik analiz fanida “Egri chiziqli integrallar”
mavzusini yanada mustahkamladim va menda yangi bilim va ko’nikmalar hosil
bo’ldi.Egri chiziqli integallar nazariyasida egri chiziqlarning muhimligini
e’tiborga olib, ular haqida ba’zi ma’lumotlarni keltirishni lozim topdim. Ayni
paytda ushbu kurs ishi orqali birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning
xossalari, yechilish usullari va ularning ba’zi tadbiqlarini o’rgandim. Qolaversa ,
egri chiziqli integrallarning geometrik va fizik ma’nolari haqida tushunchaga ega
bo’ldim. Birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligini, jism
massasini, og’irlik markazlarini topish mumkin. Ikkinchi tur egri chiziqli
inegrallar asosan fizika fanida qo’laniladi. Ya’ni fizika fanida ikkinchi tur egri
chiziqli integrali tekis kuch maydonining bajarilgan ishini hisoblashda
qo’llaniladi.Egri chiziqli integrallarning bu kabi fanlarga tadbiqlarida umuman
olganda matematik usullar yordamida fizik masalalarda matematik analiz
fanining o’rni naqadar muhim ekanligini anglashimiz mumkin.Xulosa qilib
aytganda, ushbu kurs ishida o’rganilgan egri chiziqli integrallar nazariyasi mavzusi
amaliy ahamiyatga ega bo’lgan, matematik analiz fanidagi muhim mavzulardan
bo’lib, hayotda ko’pgina sohalarda qo’llaniladi.
30

31.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1. T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz asoslari 2-qism. Toshkent
“o’qituvchi” 1994y.
2. Sh.R.Xurramov. Oliy matematika.Barcha texnik yo’nalishlar uchun darslik. 2qism.Toshkent “Tafakkur” nashriyoti , 2018y.
3. Sh.Alimov, R.Ashurov. Matematik analiz 2-qism.Toshkent “Mumtoz so’z”
2018y.
4. B.A.Shoimqulov, T.T.To’ychiyev, D.X.Djumaboyev, Matematik analizdan
mustaqil ishlar. Toshkent 2008y
5. Yo.U.Soatov. Oliy matematika 3-jild.Toshkent “O’zbekiston” 1996y
6. G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, T.X.Mansurov, A.B.Shoimqulov. Matematik
analizdan ma’ruzalar, 2-qism.Toshkent “Voris-nashriyot” 2010 y
7. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. Москва “Наука”
1987.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Том III. Москва: «ФИЗМАТГИЗ» 1960.
9. Shokirova X.R. Karrali va egri сhiziqli integrallar. Toshkent ”O`qituvсhi”
1992y.
31