Структура та моделі технічних систем. Практична робота №2

1.

Дисципліна: ТЕОРІЯ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ
ПРАКТИЧНА РОБОТА №2
Структура та моделі
технічних систем
Доцент кафедри Інноваційної інженерії Н.Г. Банник

2.

Мета: навчитись досліджувати структуру технічних систем.
Теоретичні відомості
Якщо дати формалізоване визначення структури технічної системи, то
можна сказати, що це – стійка впорядкованість в просторі і в часі її елементів і
зв'язків.
Систему можна зобразити, як сукупність блоків, які виконують деякі
функціональні перетворення, і зв'язків між ними, при цьому отримаємо
структурну схему, яка в узагальненому вигляді описує структуру технічної
системи.
Структурна схема не є математичною моделлю структури ТС, вона являє
собою лише перехід від змістовного до математичного опису структури
системи. Найбільшого поширення для формалізованого опису структури ТС
отримали графи.
Граф – це пари G = (A, B), в яких А – це безліч вершин, які є суміжними; В:
A→A – безліч ребер (дуг). Кожне ребро графа пов'язує дві вершини, які є
суміжними. Вершини нумерують, і якщо порядок суміжних вершин має
значення, то граф називають орієнтованим.

3.

Граф структури ТС будують, використовуючи структурну схему.
При цьому з вершинами графа зіставляють блоки, а з ребрами – зв'язки
між блоками (Рис. 2.1).
Рисунок 2.1 - Графи структурних схем: а - неорієнтований; б –
орієнтований
Поруч з графічними методами опису структур, широко
застосовуються аналітичні методи їх опису за допомогою матриць.

4.

Поруч з графічними методами опису структур, широко застосовуються
аналітичні методи їх опису за допомогою матриць. Наприклад, орієнтований
граф (див. Рис. 2.2, б) задається матрицею суміжності вершин
в якій Vij 1, якщо граф містить ребро (ij)та Vij 0 – в протилежному
випадку (якщо не містить ребро). Аналогічно будується матриця неорієнтованого
графа.
Крім наведеного вище методу, застосовується інша форма матричного
запису графа за допомогою матриць інцидентності:
Матриця інцидентності H – це матриця розміру n x m, де n - число вершин
графа, m - число ребер графа. Зазвичай в матриці інцидентності рядки
відповідають вершинам графа, а стовпці - ребрам графа.

5.

Аналіз структури технічних систем
На підставі побудови графів і їх аналізу можна сказати, що граф це модель структури ТС, яка не дає ніякої інформації про властивості її
елементів. Тому будь-який аналіз структури ТС за допомогою графів є
топологічним. Розглянемо основні етапи цього аналізу.
1. Аналіз елементів
На цьому етапі найважливішим завданням є виділення
елементів, які відповідають ізольованим, висячим і
тупіковим вершинам графа.
Пояснимо, що ізольовані вершини – це ті, що не
інцидентні ні одному з ребер графа, висячі – це ті, в які
неможливо потрапити ні з жодної іншої вершини графа,
тупикові – ті, з яких неможливо потрапити ні в одну
вершину графа. Наприклад, граф на рис. 2.2 містить одну
ізольовану вершину 12, висячі вершини 1, 2, 3 і не має
тупикових вершин.
Рисунок 2.2 - До
аналізу
елементів
і
зв'язків структури ТС

6.

Якщо граф містить ізольовані вершини, то це є
ознакою того, що допущені помилки при формуванні
або при описі структури. Висячі вершини графа
відповідають вхідним елементам структури, тупікові –
вихідним її елементам. Через ці елементи відбувається
процес взаємодії ТЗ з оточенням.
Рисунок 2.2 - До
аналізу
елементів
і
зв'язків структури ТС

7.

2. Аналіз зв'язків
Метою аналізу зв'язків між елементами структури є
виявивлення петель, контурів і сильно пов’язаних
підграфів.
Петля – це наявність зв'язків між входом і виходом
одного і того ж елемента. наприклад, граф на рис. 2.2 має
петлю у вершини 11.
Контур
характеризується
наявністю
шляху
(послідовності ребер і вершин), в якому початкова і кінцева
вершини збігаються. приклад – контури, створені ребрами,
які з'єднують вершини 4-5-6-9-4 і 6-9-10-11-6.
Сильнопов'язаним є підграф, у якого всі вершини
взаємодосяжні, тобто, з кожної з них можна потрапити в
будь-яку іншу.
Перераховані дефекти графів ускладнюють структуру
ТС і процес її аналізу та моделювання. З метою
позбавлення від них будують, так звану, конденсацію
вихідного графа. Конденсація є значно простішою, ніж
вихідний граф, але зберігає його основні властивості.
Рисунок 2.2 - До
аналізу
елементів
і
зв'язків структури ТС

8.

3. Аналіз зв'язності
Зв'язність – найменша кількість вершин (або ребер), вилучення яких з графа
веде до незв'язності (містить ізольовані вершини) або тривіальності (має лише
одну вершину) графа.
Для оцінки зв'язності структур застосовують показник , який
характеризує відносну різність загальної кількості зв'язків R структури і кількості
зв'язків Rmin, необхідної для зв'язності цієї структури:
де n – загальна кількість вершин графа.
Значення R визначається за допомогою матриць суміжності
Рисунок 2.2 - До
аналізу
елементів
і
зв'язків структури ТС

9.

4. Аналіз діаметра структури
Діаметр структури d – максимальне значення з безлічі
довжин найкоротших шляхів між будь-якою з висячих і
будь-якою з тупікових вершин, яка дорівнює кількості
ребер, що складають цей шлях.
Діаметр структури дозволяє судити про ряд
найважливіших параметрів ТС, в тому числі, про її
надійність, інерційність та ін.
5. Аналіз складності
Для оцінки складності структури ТС використовують показник:
де m1 і m2– кількість висячих і тупікових вершин в графі структури, а ij –
кількість різних шляхів, які ведуть від i-ї висячої вершини до j-ї тупікової
вершини.

10.

2. Зразок виконання аналізу графа структури
технічної системи
Виконуємо креслення заданого графа (рис. 2.3):
Рисунок 2.3 – Граф структури технічної системи
Аналіз структури виконуємо в послідовності, наведеній
в теоретичній частині.

11.

1. Аналіз елементів
Заданий граф містить:
- ізольовані вершини - 1 (вершина 2);
- висячі вершини - 2 (вершини 1, 7);
- тупікові вершини - 2 (вершини 5, 8).
Висновок: встановлено, що система має два входи
(вершини 1, 7) і два виходи (вершини 5, 8). Структура
системи побудована некоректно, оскільки граф містить
ізольовану вершину 2.
2. Аналіз зв'язків
Висновок: - петель немає; - контурів немає.
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

12.

3. Аналіз зв'язності
Визначаємо міру надлишку зв'язків за залежністю
Для цього для представленого графа побудуємо матрицю
суміжності.
Використовуючи матрицю суміжності, визначаємо суму зв'язків в її
рядках:
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

13.

тоді, враховуючи, що кількість вершин n 10, міра
надлишку зв'язків визначиться:
Висновок: в структурі ТС, яка аналізується, існує
надлишок зв'язків. Крім основного висновку можна зробити і
додатковий, який є результатом аналітичного аналізу
елементів: вершини 1, 7 є висячими (всі елементи 1-го і 7-го
стовпців дорівнюють нулю); вершини 5, 8 є тупіковими (всі
елементи 2-го і 5-го рядків дорівнюють нулю); вершина 2 є
ізольованою (всі елементи 2-го рядки і 2-го стовпця
дорівнюють нулю).
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

14.

4. Діаметр структури
Для визначення діаметра структури знаходимо мінімальний
шлях між висячими вершинами 1 та 7 і тупіковими вершинами 5 та
8.
Із аналізу графа очевидно, що dmin(1-5)=1 ребро (шлях 1 – 5),
dmin(1-8)=2 ребра (шлях 1 – 4 – 8),
dmin(7-5)=2 ребра (шлях 7 – 3 – 5),
dmin(7-8)=3 ребра (шлях 7 – 10 – 9 – 8).
Тоді діаметр структури визначається за залежністю:
d=max(1,2,2,3)=3
Висновок: діаметр структури дорівнює найбільшому з
найкоротших шляхів між двома входами та двома виходами системи
и дорівнює три ребра.
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

15.

5. Аналіз складності
Показник складності структури визначається за залежністю:
Із аналізу елементів маємо: кількість висячих вершин m1 =2,
кількість тупікових вершин m2 =2.
Підраховуємо загальну кількість шляхів, які ведуть з
двох висячих вершин 1 та 7 в дві тупикові вершини 5 і 8:
- кількість шляхів з висячої вершини 1 до тупікової
вершини 5:
ρ15 = 2 (шляху 1-4-5, 1-5);
- кількість шляхів з висячої вершини 1 до тупікової
вершини 8:
ρ18 = 1 (шлях 1-4-8);
- кількість шляхів з висячої вершини 7 до тупікової
вершини 5:
ρ75 = 4 (шляху 7-10-9-5, 7-10-6-5, 7-3-6-5, 7-3-5);
- кількість шляхів з висячої вершини 7 до тупікової
вершини 8:
ρ78 = 1 (шлях 7-10-9-8);
Підсумовуючи всі перераховані шляхи і підставляючи
їх в формулу (8), отримуємо:
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

16.

Висновок: структура складна, оскільки структура з
мінімальною складністю має показник складності ρ = 0.
Рисунок 2.3 – Граф структури
технічної системи

17.

2.3. Практичне завдання
Самостійно виконати аналіз графа структури технічної
системи. Зробити висновок про складність структури.
+Варіант 5
+Варіант 8
Варіанти завдань до практичної роботи №2.
+Варіант 3
+Варіант 6
Вихідний граф, структура ТС
+Варіант 9
+Варіант 1
+Варіант 2
+Варіант 4
+Варіант 7
+ означає, що варіант завдання вже виданий студенту.
Варіант 10

18.

Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16

19.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!