Непрерывные дроби

1.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
«ЧЕБОКСАРСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТНЫХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
(ГАПОУ "ЧЕБОКСАРСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНССТРОЙТЕХ" МИНОБРАЗОВАНИЯ ЧУВАШИИ)
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
НА ТЕМУ
«НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ»
ОБУЧАЮЩИЙСЯ: СМЕТАНИН РОМАН СЕРГЕЕВИЧ
ГРУППА: 1-СЭЗС-01-22
РУКОВОДИТЕЛЬ: СОРОКИНА АЛИСА АНАТОЛЬЕВНА

2.

ПЛАН
1. ВВЕДЕНИЕ
2. ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
3. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
4. КАКИЕ БЫВАЮТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
6. ИСТОЧНИКИ

3.

1.ВВЕДЕНИЕ
ЦЕПНАЯ ДРОБЬ (ИЛИ НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ) — ЭТО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ВЫРАЖЕНИЕ ВИДА
ГДЕ A0 ЕСТЬ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО И ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ A^N НАТУРАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА (ТО ЕСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ). ЛЮБОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ
ЧИСЛО МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ ЦЕПНОЙ ДРОБИ (КОНЕЧНОЙ
ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЙ). ЧИСЛО ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ КОНЕЧНОЙ ЦЕПНОЙ
ДРОБЬЮ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНО РАЦИОНАЛЬНО. ЧИСЛО
ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНО ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТИЧНОЙ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬЮ.

4.

2.ИСТОРИЯ
СОЗДАНИЯ
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ БЫЛИ ВВЕДЕНЫ В 1572 ГОДУ
.ИТАЛЬЯНСКИМ МАТЕМАТИКОМ БОМБЕЛЛИ.
СОВРЕМЕННОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
ВСТРЕЧАЕТСЯ У ИТАЛЬЯНСКОГО МАТЕМАТИКА
КАТАЛЬДИ В 1613 ГОДУ. ВЕЛИЧАЙШИЙ МАТЕМАТИК
XVIII ВЕКА ЛЕОНАРДО ЭЙЛЕР ПЕРВЫЙ ИЗЛОЖИЛ
ТЕОРИЮ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ, ПОСТАВИЛ ВОПРОС ОБ ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ПРИМЕНИЛ ИХ К
РАЗЛОЖЕНИЮ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВЛЕНИЮ
БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ, ДАЛ ВАЖНОЕ ИХ
ОБОБЩЕНИЕ.
РАБОТЫ ЭЙЛЕРА ПО ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ БЫЛИ
ПРОДОЛЖЕНЫ М. СОФРОНОВЫМ (1729-1760),
АКАДЕМИКОМ В.М. ВИСКОВАТЫМ (1779-1819), Д.
БЕРНУЛЛИ (1700-1782) И ДР. МНОГИЕ ВАЖНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭТОЙ ТЕОРИИ ПРИНАДЛЕЖАТ
ФРАНЦУЗСКОМУ МАТЕМАТИКУ ЛАГРАНЖУ, КОТОРЫЙ
НАШЕЛ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ С
ПОМОЩЬЮ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА ДАЕТ ВОЗМОЖНОСТЬ НАЙТИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (ИЛИ РАЗЛОЖЕНИЕ) ЛЮБОГО
РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА В ВИДЕ ЦЕПНОЙ ДРОБИ. В
КАЧЕСТВЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПНОЙ ДРОБИ ПОЛУЧАЮТСЯ
НЕПОЛНЫЕ ЧАСТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ДЕЛЕНИЙ
В СИСТЕМЕ РАВЕНСТВ, ПОЭТОМУ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПНОЙ
ДРОБИ НАЗЫВАЮТСЯ ТАКЖЕ НЕПОЛНЫМИ
ЧАСТНЫМИ. КРОМЕ ТОГО, РАВЕНСТВА СИСТЕМЫ
ПОКАЗЫВАЮТ, ЧТО ПРОЦЕСС РАЗЛОЖЕНИЯ В
ЦЕПНУЮ ДРОБЬ СОСТОИТ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ
ВЫДЕЛЕНИИ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ И ПЕРЕВЕРТЫВАНИИ
ДРОБНОЙ ЧАСТИ.

5.

3.Свойства непрерывных дробей
10 . Всякое рациональное число
p (где р>q) можно
q
представить в виде конечной цепной дроби
33
13
1
1
1
1 1 1
1
20
7
1
20
20
1
1
13
13
13
7
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1
7
1
6
Иррациональные
цепные дроби.
числа
p
1
a0
q
a1
1
an
разлагаются
в
бесконечные

6.

3.Свойства непрерывных дробей
20. Обрывая цепную дробь, можно получать очень
хорошие рациональные приближения к данному числу,
которые называются подходящими дробями.
Подходящая дробь – это дробь, которая получается при
обрыве бесконечной цепной дроби.
Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]
Первые подходящие дроби – это самые известные
приближения:
22
1
3
7
7
355
1
3
1
113
7
15

7.

4.Геометрические изображения цепных
дробей

8.

Цепные
дроби
в природе

9.

5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная исследовательская работа показывает значение цепных дробей в
математике.
Их можно успешно применить к решению неопределенных
уравнений вида
ax+by=c.
Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том,
чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот,
с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания
такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопр
еделенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:
( ).
Бесконечные цепные дроби могут быть использованы
для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для
быстрого вычисления значений отдельных функций.
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение
в вычислительной технике,
ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда
задач на ЭВМ.

10.

6.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
HTTPS://RU.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/НЕП
РЕРЫВНАЯ_ДРОБЬ
HTTP://EGAMATH.NAROD.RU/BOOKS/JONES.HTM