ТЕМА 7 АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
ЛЦ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД ДИФФ. УРАВНЕНИЙ)
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД ДИФФ. УРАВНЕНИЙ)
ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)
ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)
ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)
СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД
СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
АЧХ И ФЧХ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ ЦЕПИ
АЧХ И ФЧХ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ ЦЕПИ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ
2.76M
Категория: ЭлектроникаЭлектроника

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи. Урок 7

1. ТЕМА 7 АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

2. ЛЦ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ


При прохождении любых сигналов через ЛЦ с постоянными
параметрами изменяется их форма за счёт ослабления или
усиления составляющих их спектра в зависимости от частоты,
что
приводит
к
линейным
частотным
искажениям.
Количественная оценка таких изменений выполняется путём
применения методов анализа, в принципе, пригодных для любого
типа ЛЦ.
Существуют четыре основных метода: классический; временной;
спектральный; операторный. Все они, КРОМЕ классического,
используют принцип суперпозиции, т. е.:
1 – входной сигнал разбивается на сумму элементарных
сигналов: коротких импульсов – во временном методе;
гармонических
колебаний

в
спектральном
методе;
гармонических колебаний, затухающих по экспоненте – в
операторном методе;
2 – с помощью той или иной характеристики цепи находится
отклик на каждый элементарный сигнал;
3 – определяется сумма откликов, представляющая собой
выходной сигнал.

3. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД ДИФФ. УРАВНЕНИЙ)

• Основан на том, что по законам Кирхгофа составляется
линейное дифференциальное уравнение n-й степени,
связывающее известную функцию входного сигнала
(воздействия) Uвх(t) и искомую функцию выходного
сигнала (реакции) Uвых(t):
dU âû õ (t )
d 2U âû õ (t )
d nU âû õ( t )
a0U âû õ (t ) a1
a2
... an
2
n
dt
dt
dt
dU âõ (t )
d 2U âõ (t )
d mU âõ (t )
b0U âõ (t ) b1
b2
... bm
2
dt
dt
dt m
где a0, a1, … an и b0, b1, … bm – для ЛЦ с постоянными
параметрами являются постоянными вещественными
коэффициентами.

4. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД ДИФФ. УРАВНЕНИЙ)

Искомая функция сигнала на выходе цепи Uвых(t)
определяется в виде суммы двух функций:
Uвых(t) = Uвых1(t) + Uвых2(t),
где Uвых1(t) – частное
решение
дифференциального
уравнения, которое непосредственно зависит от вида
входного воздействия и описывает вынужденный
режим;

Uвых2(t) – общее решение уравнения при Uвх(t) = 0,
которое описывает переходные процессы в цепи.
• Решение дифференциального уравнения можно найти
путём использования формализованных процедур
преобразования Лапласа (операторного метода). Этот
метод используется для анализа простейших цепей,
описываемых дифференциальными уравнениями не выше
2-го порядка.

5. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)

• Базируется на использовании импульсной (ИХ) или
переходной (ПХ) характеристик цепи и разбиении сигнала
на короткие импульсы. Используется чаще всего для
анализа переходного режима цепи.
• ИХ обозначается h(t) и является функцией реакции цепи на
входное воздействие в виде единичной дельта-функции:
Uвх(t) = (t) и Uвых(t) = h(t) = T[ (t)].
где T – оператор цепи.
• ПХ обозначается g(t) и является функцией реакции цепи на
входное воздействие в виде единичного скачка (функции
Хевисайда):
Uвх(t) = (t) и Uвых(t) = g(t) = T[ (t)].

6. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)

• Так как (t )
d (t )
, то
dt
d (t ) d (T [ (t )]) dg (t )
h(t ) T [
]
dt
dt
dt
и
t
g (t ) h(t )dt
• Учитывая, что спектр дельта-функции (t) равномерный и
бесконечный, h(t) и K(j ) взаимосвязаны
преобразованиями Фурье:
1
j t
h(t )
K
(
j
)
e
d
2
K ( j ) h(t )e j t dt

7. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД (МЕТОД ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ)


Для реальных цепей h(t) = 0 при t 0 и K(j ) является
аналитической функцией, то есть K(j ) = KRe( ) + jKIm( ).
Минимально-фазовая цепь - электрическая цепь, амплитудночастотная и фазо-частотная характеристика которой
определяются друг через друга однозначно.
для минимально-фазовых цепей функции KRe( ) и KIm( ) связаны
между собой преобразованиями Гильберта, поэтому достаточно
знать одну из них.
Так как Sвых(j ) = K(j ) Sвх(j ), то
t
t
0
0
U âû õ (t) h(t ) U âõ (t ) h( )U âõ (t )d h(t )U âõ ( )d
t
t
dU âõ (t )
dU âõ ( )
g (t )
d g (t )
d
d
d
0
0
- четыре вида интегралов Дюамеля.
• Недостатком метода являются существенные вычислительные
трудности нахождения интегралов свёртки для сложных функций

8. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД


Основан на использовании свойств передаточной частотной
характеристики (ЧХ) цепи K(j ) и известной спектральной
плотности входного сигнала Sвх(j ). Применяется для анализа
цепей в установившемся режиме. Реализуется так:
1) определение ЧХ цепи K(j );
2) определение спектра входного сигнала с помощью прямого
преобразования Фурье:
Sâõ ( j ) U âõ (t )e j t dt
3) нахождение спектра выходного сигнала:
Sâû õ ( j ) Sâõ ( j ) K ( j ) Sâõ ( ) K ( )e
j[ âõ ( ) ê ( )]
где K( ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
к( ) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ) цепи;
Sвх( ) и вх( ) – соответственно, модуль и фаза спектра Uвх(t).

9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД

• 4) определение выходного сигнала с помощью обратного
преобразования Фурье:
1
j t
U âû õ (t )
S
(
j
)
e
d
âû
õ
2
• Этот метод широко применяется благодаря свойству
гармонических сигналов не изменять свою форму при
прохождении через ЛЦ и физической наглядности, когда
достаточно найти спектр Uвых(t), чтобы судить об
искажениях Uвх(t).
• На основе этого метода легко сформулировать требования
к неискаженной передаче сигналов: АЧХ цепи должна быть
постоянной, а ФЧХ – линейной в пределах эффективной
ширины спектра входного сигнала.

10. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД

• МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Используется представление входного и выходного сигналов
преобразованиями Лапласа:
прямое преобразование –
Sâõ ( p) U âõ (t )e pt dt
0
обратное преобразование –
1
U âû õ (t )
2 j
c j
c- j
Sâû õ ( p)e pt dp
где Uвх(t), Uвых(t) и Sвх(p), Sвых(p) – соответственно, оригинал и
изображение входного и выходного сигналов; p = + j –
оператор Лапласа.
• При этом Sâû õ ( p ) Sâõ ( p ) K ( p ) ,
где K(p) – передаточная функция цепи.

11. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД

• Передаточная функция К(р) получается путем замены
переменной j на p.
• Нахождение Uвых(t) при заданном Uвх(t) и K(p) содержит три
процедуры:
– 1) преобразование Uвх(t) Uвх(p);
– 2) определение Uвых(p) = K(p)Uвх(p);
– 3) преобразование Uвых(p) Uвых(t).
• Практическое применение операторного метода ранее
упрощалось благодаря наличию таблиц прямого и
обратного преобразований Лапласа, теперь - благодаря
наличию пакетов прикладного ПО.

12. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ


ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
Рассмотрим дифференцирующую (а) и интегрирующую (б) цепи.
C
R
i(t)
i(t)
R
Uвх(t)
Uвых(t)
Uвх(t)
а
C
Uвых(t)
б
При дифференцировании
dU âõ (t )
U âû õ (t ) 0
dt
При интегировании
1
U âû õ (t )
U âõ (t ) dt
0
0
где 0 – постоянная величина, имеющая размерность времени
для сохранения размерности исходного сигнала.

13. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ


Согласно теоремам о преобразовании спектров сигналов, имеем:
для дифференцирующей цепи Sвых(j ) = Sвх(j ) 0j , т. е. K(j ) = 0 j
АЧХ
ФЧХ
K( )
/2
0,7
/4
реальная
идеальная
идеальная
реальная
гр
0
– /2
гр
0
а
( )
1
б
для интегрирующей цепи Sвых(j ) = Sвх(j ) / ( 0 j ), т. е. K(j ) =1/( 0 j )
АЧХ
K( )
( )
ФЧХ
реальная
1
/2
идеальная
0
0,7
идеальная
/4
0 гр
а
- /2
б
реальная
гр

14. АЧХ И ФЧХ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ ЦЕПИ


Для дифференцирующей цепи ЧХ определяется как
U âû õ ( j )
1
K ( j )
U âõ ( j ) 1 1/( j 0 )
или при переходе от комплексных величин АЧХ будет
K ( )
1
1 1 / ( 0 ) 2
Для ФЧХ получим
где 0=RC – постоянная времени RC-цепи.
Граничная частота полосы пропускания RC-цепи гр по уровню
0,707 равна гр = 1 / 0
1
( ) arctg
0

15. АЧХ И ФЧХ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ ЦЕПИ


Для интегрирующей цепи ЧХ определяется как
U âû õ ( j )
1
K ( j )
U âõ ( j ) 1 j 0
или при переходе от комплексных величин АЧХ будет
K ( )
Для ФЧХ получим
1
1 ( 0 ) 2
( ) arctg( 0 )
где 0=RC – постоянная времени RC-цепи.
Таким образом, рассмотренные цепи могут осуществлять
процесс приближенного дифференцирования входного сигнала
при условии fв<<fгр
( fв– верхняя частота в спектре сигнала, f гр 1 / 2 0 )
и интегрирования при fв>>fгр.

16. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ


Для прямоугольного импульса с амплитудой Е напряжения на
элементах RC-цепи изменяются как
U R (t ) Ee
t / 0
U C (t ) E 1 e
E
0,9E
Uс(t)
0,63
UR(t)
0,1E
0
0
• Время нарастания – tн = 2,3 0 .
2,3 0
t
t / 0

17. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ


Для прямоугольного импульса с амплитудой Е напряжения на
элементах RC-цепи изменяются как
U R (t ) Ee
t / 0
U C (t ) E 1 e
E
0,9E
Uс(t)
0,63
UR(t)
0,1E
0
0
• Время нарастания – tн = 2,3 0 .
2,3 0
t
t / 0

18. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ


Представим входной прямоугольный импульс в виде
U(t) = E[1(t) – 1(t – tи)].
Из теории цепей известно, что импульсная характеристика для
дифференцирующей RC-цепи
h(t ) (t )
1
0
e t / 0 1(t )
Тогда, по методу интеграла Дюамеля, выходной сигнал
1 t / 0
U вых (t ) U вх ( )h(t )d E 1( ) 1( tи ) (t ) e
d
0
0
0
t
t
Ee t / 0 1(t ) Ee( t и ) / 0 1(t и ) .
Напряжение на резисторе
0, t 0;
t / 0
U R (t ) Ee
, 0 t и;
Ee t / 0 Ee (t и ) / 0 , t .
и

19. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ


Представим входной прямоугольный импульс в виде
U(t) = E[1(t) – 1(t – tи)].
Для интегрирующей RC-цепи импульсная характеристика равна
h(t )
Выходной сигнал
t
t / 0
1 t /
0 d
U âû õ (t ) E 1( ) 1( è ) e
τ
0
0
E 1 e
1 t / 0
e
1(t )
0
1(t ) E 1 e
Напряжение на конденсаторе
( t è ) / 0
1(t ) .
è
0, t 0;
t / 0
UC (t ) E (1 e
), 0 t è ;
t / 0
(t è ) / 0
E
(1
e
)
E
(1
e
), t è .

20. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ

Uвх(t)
Uвх(t)
E
E
а
а
0
Uвых(t)
E
0,9Е
б
0
и
01
Uвых(t)
E
0,9Е
02 03
б
0,1Е
0
и
и1
и2
01
< 02< 03
и
t
01
02
03
t
01
02
03
t
01
02
03
0,1Е
и
0
и1
t
и2
и3
01
< 02< 03

21. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ ДЦ И ИЦ


Форма сигнала на выходе дифференцирующей RC-цепи тем
ближе к производной от входного сигнала, чем меньше значение
0 1/(2 fâ ) fâ 1/ è
0 в сравнении с и или когда
,
Эта цепь как бы “укорачивает” импульсный сигнал.
При fв>>fгр цепь не оказывает влияния на сигнал за исключением
устранения постоянной составляющей и используется в качестве
разделительной цепи по постоянному току.
Форма сигнала на выходе интегрирующей RC-цепи тем ближе
к интегралу от входного сигнала,
0 1/(2 чем
fâ ) больше
fâ 1/ è значение 0 в
сравнении с и или когда
,
Эта цепь как бы “удлиняет” импульсный сигнал.
При fв<<fгр , ( 0 / и 0,03) выходной сигнал близок к входному
Аналогичные результаты можно получить, используя RL-цепи.
Так, заменяя C на L, соответственно получим интегрирующую и
дифференцирующую RL-цепи.
.
English     Русский Правила