Сложное сопротивление

1.

x
F
l
y
z
yF

2.

F
x
x
yF
F
M
l
l
y
y
z
z
M=yfF

3.

x
F
M
M=yfF
RA
MA
Изгиб
l
HA
y
F
Сжатие
z
Изгиб: RA=0; MA=-M=-yfF
Сжатие: HA=F
yf F
Mz
MA
Mz
y
y
y
Iz
Iz
Iz
N
F
N
A
A
Сумма:
М N
z
yf F
Iz
y
F
A

4.

М N
yf F
z
x
Iz
y
F
A
N
F
M
М
l
y
z

5.

Центральная ось
y0
Нейтральная линия
Найдем y0:
М N
z
yf F
Iz
y
F
Iz
F Iz
0 y0
A
A y F Ay
f
f
Пусть сечение имеет прямоугольную форму:
x
Найдем e*=yf такой, что y0=-h/2:
y0
y
z
h
b
Iz
2I
W
h
yf z z
Ay f
2
Ah
A

6.

e*
Wz
A
Найдем e**=yf такой, что y0=h/2:
y0
Iz
2I
W
h
e ** z z
Ay f 2
Ah
A

7.

x
yF
Растяжение
x
F
F
Mz
zF
yF
l
l
y
y
z
z
Mz=-yfF; My=zfF
My

8.

My
Mz
yF
F yf F
F
Мz Мy N
y
z
y z z
Iz
Iy
A
Iz
Iy
A
Найдем нейтральную линию:
yf
Iz
y
yz
1
z 0
Iy
A
yf F
Iz
y
yz F
F
z 0
Iy
A
- уравнение нейтральной линии
z 0 y0
y 0 z0
Iz
;
Ay f
Iy
Az f

9.

F
Пример
x
C
B
Колонна с
центрально
расположенной
цилиндрической шахтой внецентренно нагружена
силой F. Чему должен быть равен эксцентриситет
x, что бы сторона ABCD колонны была не
нагружена?
М N
z
xF
F
y
Iz
A
Iz
xF
F
y
a
y 0
0
Ax
Iz
A
D
A
x
a/2 a
F
2a
a 2a
a4
Iz
64 16 0.35a
x
12
2
Aa
2
a
2a a
4
3

10.

Задача на самостоятельное решение
F
x
C
Колонна нагружена
центрально приложенной
силой F. На каком расстоянии от центра колоны
следует предусмотреть канал круглого сечения, что бы
сторона ABCD колонны была не нагружена?
B
D
A
x
a/2
F
2a
a

11.

y
t
x
F
z
b
a
y
y
x
z
На кромке стальной полосы,
работающей на растяжение появилась
Чтобы
трещина
не
F трещина.
распространялась, на ее месте была
выфрезерована
галтель.
Найти,
насколько
увеличились
от
этого
напряжения в полосе. Размеры сечения
полосы: b = 100 мм, t = 8 мм, глубина
галтели a = 10 мм, растягивающая сила F
60 КН. Концентрацией напряжений
пренебречь
x
z
y
a
F
Mx
F
2
y
Мx N
max
2
t b a
Ix
A
t b a
6
F
e
b
x
a
t
max
F
3a
1
111,1МПа
b a t b a
Следовательно, напряжения увеличились на 48%

12.

y
20 КН
RAY
RBY
q=10 КН/м
100 КН
HA
RAZ
z
2м
1. Найдем реакции:
X :100 H A 0 H A 100
M Z A : 10 2 1 20 3 2 RBY 0 RBY 40 КН
M Z B :10 2 1 20 1 2 RAY 0 RAY 0 КН
M Y A : 30 2 RBZ 0 RBZ 15 КН
M Y B : 30 2 RAZ 0 RAZ 15 КН
Проверка:
Y : RAY RBY 20 10 2 0
Z : RAZ RBZ 0
x
RBZ
30 КНм
1м

13.

y
H A 100 КН
20 КН
RAY
q=10 КН/м
RAY 0 КН
RBY
RBY 40 КН
100 КН
HA
RAZ
x
RBZ
2м
z
30 КНм
1м
RAZ 15 КН
RBZ 15 КН
2. Изгиб в плоскости xy (относительно оси z):
2.1 0<x<2
2.2 2<x<3
2
x
M z RA x 2 10 x RB x 2 20 x 1 40 x 2
M z RA x 10 5 x 2
2
2
M z 0 0; M z 2 20 КНм M z 2 20; M z 3 0
2
3. Изгиб в плоскости xz (относительно оси y):
3.1 0<x<2
M y RAZ x 15 x
3.2 2<x<3
M z 30 КНм
M y 0 0; M z 2 30 КНм
3. Растяжение вдоль оси х:
N x H A 100 КН

14.

y
20 КН
RAY
q=10 КН/м
RBY
100 КН
HA
RAZ
2м
z
Nx
x
RBZ
30 КНм
1м
100 КН
x
20 КНм
Опасное сечение
– точка B слева:
Mz
x
30 КНм
My
x

15.

Опасное сечение – точка B слева:
Nx=100 КН
Му(2)=-30 КНм
Мz(2)=-20 КНм
Самая опасная точка - С

16.

Самая опасная точка – С. Подберем прямоугольное сечение h=2b:
max C
My
F Mz
A Wz
Wy
b2h
b3
bh 2 2b3
Wy
; Wz
6
3
6
3
F 3 My 3 Mz
max C 2 3
2b
b
2b3
3
3 My Mz
3
3
3
30
10
1.5
20
10
3
2
b
3
0.091 м
160 106
Пусть b = 0.092 м, h= 2b=0.184 м.
F 3 My 3 Mz
100 103 3 30 103 3 20 M z
C 2 3
160 МПа
2b
b
2b3
2 0.0922
0.0923
2 0.0923
Условие прочности выполняется b = 0.092 м, h= 2b=0.184 м.
My
F Mz
max C
A Wz
Wy

17.

My
Nx M z
C
160 МПа
A Wz
Wy
160
M
Nx M y
A
z 148.2 МПа
A Wy
Wz
M
Nx M y
B
z 71.2 МПа
A Wy
Wz
71.2
y
B
71.2
C
160
M
Nx M y
D
z 83 МПа
A Wy
Wz
z
M
F M
N Мy Мz y z z y
A Iy
Iz
3
N x I z N x bh
z 0 y0
AM z M z bh 12
N x h2
14.1 мм
M z 12
NxI y
N x b3 h
y 0 z0
M
bh
12
AM y
z
2
N b
x
2.35 мм
M z 12
z0>0
y0<0
148.2
A
D
148.2
83
83

18.

l1 2 м, l2 3 м
М 0 4 F , F1 2 F ,
F2 3F , F3 4 F
F4 4 F , F5 2 F , F6 F
D
D =2*R=0.2 м
Для каждого участка стержня:
• Построить эпюры внутренних силовых факторов N, Mx, Mz, и My.
• Определить положение опасного сечения.
• Определить грузоподъемность круглого сечения стержня и размеры прямоугольного
поперечного сечения участка с помощью условия прочности, отвечающего критерию
наибольших касательных напряжений.
• Определить положение нейтральной линии в опасном сечении участка.
• Определить положение опасной точки (точек) в опасном сечении.
• Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений в плоскости
опасного сечения участка.

19.

y
x
z
y
Nx
y
x
Nx
Mx
Mx
x
z
z
y
x1
Mz
Mz
x
z
y
Mx
y
M0
Mz
F3
Nx
z
x
x
My
F1
F2
x1
z
My
My

20.

y
Mx
M0
Mz
F3
Nx
z
x
My
F1
F2
x1
Найдем внутренние усилия:
N x F1 M x M 0 M y F3 x
М 0 4 F , F1 2 F ,
M z F2 x
F2 3F , F3 4 F
2F
Nx
4F
Mx
My
8F
6F
Mz
Опасное сечение
– x1=l1=2м:
Nx=2F;
Mx=4F;
My=8F;
Mz=-6F;

21.

y
Mx
Mz
Nx M y
M
N Мy Мz
z z y 0
A
Iy
Iz
N x R4
N x R2
2F R2
R2
NxIz
z 0 y0
2
Mz 4
6F 4
12
AM z M z 4 R
N x I y N x R2
2F R2
R2
y 0 z0
AM y M y 4
8F 4
16
x
Nx
z
My
Опасное сечение
Nx=2F; Mx=4F; My=8F; Mz=-6F;
y
M r F
M изг M z M y
M изг
Nx
My
Mz
M y Mz
2
2
N x M изг
A
W
N
M
B max x изг
A
W
N
M
A min x изг
A
W
max,min
z
B
My
y0<0
Mизг
z0<0 Mz
A

22.

B max
max
N x M изг
A
W
Mx
Wp
N x M изг 2
M x2
экв max 4 max (
) 4
2
A
W
Wp
2
W W y Wz
2
2
R 3
4
Wp
4M изг
2M x
4
3
3
R
R
2
16 F 64 F 36 F
2
F
R 3
4 116
2
2
R 3
A R 2
2
Nx=2F; Mx=4F; My=8F; Mz=-6F;
4
2
M изг
M x2
3
R
M M M
2
x
2
y
2
z
R 3
4
R 3
4
0,13 160 106
4 116
40 103
116
1,16 104
2
2
64 16
16
экв F
4
A
W
W
p
F
2
2
64 36
16
4
4 4
2
2
3
R
R
R 3
11 КН
М 0 44 KНм, F1 22 КН ,
F2 33 КН , F3 44 КН
F4 44 КН , F5 22 КН , F6 11 КН

23.

y
z
y
x
z
x
x2
Найдем внутренние усилия:
N x F6 F3 33 КН
M x F2l1 66 КНм
M y F4 x F1 x F3l1 22 x 88 M y (0) 88 КНм; M y (l2 ) 22 КНм
M z M 0 F5 x F2 x 110
M z (0) 44 КНм; M z (l2 ) 44 КНм

24.

22
N x 33 КН
M x 66 КН
M y (0) 88 КНм; M y (l2 ) 22 КНм
M z (0) 44 КНм; M z (l2 ) 44 КНм
z2
y2
x2
y1
Nx
-33
Mx
-66
My
88
-44
Mz
Опасное сечение
– x2=0:
Nx=-33;
Mx=-66;
My=88;
Mz=-44;
22
Nx
44
Mx
My
88
-66
Mz
x1
z1

25.

Самая опасная точка – D .
Подберем прямоугольное сечение h=2b:
Mz
B
My
NX
Mz
max D
A
Wz
Wy
2
3
2
bh
b
bh
2b3
Wy
; Wz
6
3
6
3
Nx 3 M y 3 M z
max D 2 3
2b
b
2b3
C
y2
Nx
z2
My
b 3
x2
A
Опасное сечение
– x2=0:
Nx=-33;
Mx=-66;
My=88;
Mz=-44;
D
3
Mz
3
3
3
88
10
1.5
44
10
2
3
0.127 м
6
160 10
3 My
Пусть b = 0.128 м, h= 2b=0.256 м.
Nx 3 M y 3 M z
33 103
3 88 103 3 66 103
D 2 3
158 МПа
3
2
3
3
2b
b
2b
2 0.128
0.128
2 0.128
Условие прочности выполняется b = 0.128 м, h= 2b=0.256 м.

26.

My
M
Nx
z 158 МПа
A Wy
Wz
M
Nx M y
A
z 93 МПа
A Wy
Wz
D
M
Nx M y
B
z 156 МПа
A Wy
Wz
Mz
Nx M y
C
95 МПа
A Wy
Wz
B
C
156
95
A
D
156
z
M
F M
N Мy Мz y z z y 0
A Iy
Iz
3
N x I z N x bh
z 0 y0
AM z M z bh 12
N x h2
1.02 мм
M z 12
N x b3 h
NxI y
y 0 z0
M
bh
12
AM y
y
2
N b
x
2.05 мм
M y 12
B
y
C
95
D
158
z0<0
y0<0
93
A
93
158

27.

Касательные напряжения
= 8 МПа
= 6.3 МПа

28.

= 8 МПа
= 6.3 МПа
Nx M y
E1
125 МПа
A Wy
My
N
E2 x
127 МПа
A Wy
2
EIII E2 4 max
127,9 МПа
2
2
Nx M z
30,5МПа
1
A Wz
Nx M z
F2
32,5 МПа
A Wz
F
* 2
FIII F2 4 max
34,5 МПа
2
2

29.

Определение перемещения конца стержня
по заданному направлению
1) 0 ≤ x1 ≤ l1
N x F1 ;
N x
F2
0 M x M0;
M x
0 M y F3 x;
F2
M y
F2
0 M z F2 x;
M z
x
F2
2) 0 ≤ x1 ≤ l2
N x F6 F3 ;
N x
F2
0
M z M 0 F5 x F2 x;
M x F2l1 ;
M z
x
F2
N x
F2
l1
M y F4 x F1 x F3l1 ;
2
2
M x M x
M z M z
M M z
F2
dx
dx z
dx
EI z F2
GI p F2
EI z F2
0
0
0
l1
l
l
2
2
M 0 F5 x F2 x x
F2 x 2
F2l 2
dx
dx
dx
4
EI
G
b
EI
z
z
0
0
0
l1
l
l
M y
F2
0

30.

1
t t
П : xП dt 2.5 м / с xП 0 zП 0 H O (P 10 Па; 0 T 100 C )
5
2
o

31.

M
l1
l2
(l1)
(l1)
(l1) l2
y(l1)
l1
l2

32.

33.

y
b
F
D
C
h
a
A
B
a
F
h
ez
z
ey
a
b
a
b a
h a
F
F
My
Mz
F
2
2
y F
Мy Мz N
z
y
z
Iy
Iz
A
a4
a4
a2
12
12
y
ez
C’
D’
A’
B’
ey
z

34.

35.

F

36.

x
yF
zF
D’
C’
A’
yF
B’
l
y
z
F