Линейные пространства. Тема 4

1.

ТЕМА 4 .ЛИНЕЙНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА

2.

4.1. понятия о линейных пространствах
Понятие линейного пространства относится к числу самых
основных и востребованных в современной математике и различных
ее приложениях.
Множество всех векторов плоскости или трѐхмерного
пространства и, что особенно важно, различные множества функций
(функциональные пространства) можно охарактеризовать одними и
теми же общими свойствами линейности. Следуя принятому в
математике аксиоматическому подходу, выделяют основные из этих
свойств в систему аксиом, определяющих общее понятие линейного
пространства.
Непустое множество L элементов x, y, z, ... называется
линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим
условиям:

3.

I. Для любых двух элементов x ,y ϵL , однозначно определен
третий элемент z ϵ L называемый их суммой и обозначаемый
x +y , причем выполнены аксиомы сложения:
1) x +y =y +x (коммутативность);
2) x +(y+ z)= (x +y)+ z (ассоциативность);
3) в L существует такой элемент 0, что x +0=x , для всех xϵ L
(существование нулевого элемента);
4) для каждого x ϵ L существует такой элемент y ϵ L , что
x +y=0(существование противоположного элемента).
II. Для любого числа λ и любого xϵ L определен элемент λxϵL
(произведение элемента х на число ), причем для любых
x,y ϵ L , и любых скаляров λ,μ, выполнены аксиомы умножения на
число:

4.

Таким образом, множество называется линейным
пространством, если на нем определены две операции – сложение
элементов и умножение элемента на число, удовлетворяющие
вышеуказанным аксиомам.
В качестве числовых множителей (скаляров) λ,μ, ... в линейном
пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В
первом случае L называется вещественным (действительным)
линейным пространством, во втором – комплексным линейным
пространством.
Приведѐм некоторые простые следствия, вытекающие из
.
определения
линейного пространства

5.

Элементы x, y, z,... линейного пространства L называются
линейно зависимыми, если существуют такие числа , ,..., не все
равные нулю, т.е.
В противном случае эти элементы называются линейно
независимыми. Иначе говоря, элементы линейно независимы, если
из равенства (4.1) следует, что
Бесконечная система элементов x, y, z,… пространства L
называется линейно независимой, если любая ее конечная
подсистема линейно независима.
Как известно, понятие линейной зависимости обобщает
понятия коллинеарности и компланарности векторов.
Если в пространстве L можно найти n линейно
независимых элементов, а любые n+1 элементов этого
пространства линейно зависимы, то говорят, что
пространство L имеет размерность n (n-мерное
пространство).

6.

Если же в L можно указать систему из произвольного числа
линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L –
бесконечномерно.
Базисом в n-мерном пространстве L называется любой набор
из n линейно независимых элементов.
Конечномерные линейные пространства систематически
изучаются в вузовском курсе линейной алгебры. В функциональном
анализе главным образом рассматриваются бесконечномерные
линейные пространства.
Поскольку свойства линейного пространства – это свойства
операций сложения и умножения на число, то естественно ввести
следующее понятие изоморфизма (равноструктурности).
Линейные пространства L и