Многочлены от одной переменной

1. 2.1. Многочлены от одной переменной

• Многочлены.
• Делимость многочлена.
• Теорема Безу.
• Схема Горнера.
• Корни многочлена.

2. 1.1. Многочлены

• Выражение вида:
a0 x a1 x
n
n 1
a2 x
n 2
... a n 1 x a n
• называется многочленом степени n
одного аргумента (переменной).
• Будем обозначать многочлен одной
переменной через
• P x , Q x ,
…

3.

• Степенью многочлена называется
наивысшая степень аргумента
многочлена.
• Для указания степени многочлена
будем использовать нижний индекс
заглавной буквы: Pn x .

4.

• Запись
Pn x a0 x n a1 x n 1 a 2 x n 2 ... a n 1 x a n
• представляет собой стандартный вид
многочлена одной переменной х
степени n, где
• a0 , a1 , ..., an 1 , an – коэффициенты
• степеней переменной х.

5. Определение 1.

• Два многочлена
Pn x
и
Qn x
,
• называются равными,
• если их коэффициенты
• при соответствующих степенях х
равны,

6.

• т.е. пусть
n
n 1
n 2
P
x
a
x
a
x
a
x
... a n 1 x a n
• n
0
1
2
,
n
n 1
n 2
• Qn x b0 x b1 x b2 x ... bn 1 x bn ,
• тогда Pn x Qn x
• a0 b0 ,
a1 b1
,…
a n bn
.

7.

• Многочлен Qm x
• называется многочленом степени
• выше чем многочлен Gk x
,
• если наивысший показатель степени
х многочлена Qm x
• больше наивысшего показателя
степени х многочлена Gk x
• т. е.
m k

8.

• Многочлены
Qm x
и
Gk x
• называются многочленами
одинаковой степени, если
m k
.

9. Основные формулы сокращенного умножения:

• (a b) 2 a 2 2ab b 2 ;
• (a b) 2 a 2 2ab b 2 ;
• (a b) a 3a b 3ab b ;
3
3
2
2
3
• (a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ;
• a 2 b 2 (a b)(a b)
;
• a b (a b)(a ab b );
3
3
2
2
• a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) ;

10. 1.2. Деление многочлена на многочлен

• Любой многочлен может быть
представлен в виде:
Pn x Qm x Gk x R x ,
• где
• Qm x
– делитель многочлена P x ,
n
• Gk x – частное от деления многочлена
• Pn x на многочлен Qm x ,

11.

• R x – остаток от деления многочлена
• Pn x на многочлен Qm x .
• Причем, сумма степеней делителя и
частного равна степени делимого,
• т. е.
m k n
,
• степень остатка меньше степени
делителя.

12. Определение 1.

• Многочлен
Pn x
• делится на многочлен
Qm x
,
• если остаток от деления равен нулю,
• т.е.
R x 0
.

13. Пример 1.

• Найти частное и остаток от деления
многочлена
• на
P4 x x 4 3x 3 5x 2 6 x 1
2
Q
x
x
3x 2 .
• 2

14. Деление столбиком.

• x4 + 3x3 - 5x2 + 6x – 1
-x2 + 3x + 2
• x4 - 3x3 - 2x2
- x2 - 6 x - 15 = G2(х)
6x3 - 3x2 + 6x
6x3 -18x2 - 12x
15x2 + 18x - 1
15x2 - 45x - 30
63 x + 29 = R(x)

15. 1.3. Деление многочлена на двучлен

16. Теорема Безу

• При делении многочлена Pn x
• на двучлен
x
• остаток от деления равен значению
многочлена при x ,
• т. е. R x Pn .

17. Доказательство.

• Пусть при делении многочлена Pn x
• на двучлен
x
• имеем
• Pn x x Qn 1 x R x .

18.

• Подставим в полученное выражение
значение
x
,
• получим Pn Qn 1 R ,
• или
• или
Pn 0 Qn 1 R
Pn R
,
,
• что и требовалось доказать.

19. Определение 1.

• Корнем многочлена называется
такое значение аргумента, при
котором значение многочлена
обращается в нуль.

20.

• Таким образом,
x
• является корнем многочлена , Pn x
• если
Pn 0
.

21. Следствия из теоремы Безу

22. 1.

• Многочлен
Pn x
• делится на двучлен x
• тогда и только тогда, когда число
является корнем многочлена .
x

23. Другими словами,

• если при делении многочлена
• на двучлен
Pn x
x
• остаток R(x) от деления равен нулю,
• то значение
x
• – корень многочлена.

24. Доказательство.

• По теореме Безу
• если R 0 ,
• то следовательно
,
Pn R
Pn 0
.
• По определению корня многочлена
имеем, что
x
• – корень многочлена, что и
требовалось доказать.

25. 2.

26. 3.

27. 4.

28. Пример1.

29. Решение.

30. Пример 2.

31. Решение:

32. Теорема.

33. Доказательство.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40. Примечание.

41. Пример 4.

42. Решение.

43. 1. 4. Корни многочлена. Теорема о корнях многочлена.

44. Определение

45. Теорема (без доказательства).