Теория вероятностей и математическая статистика

1.

Теория вероятностей
и математическая статистика
Лекции
Южно-Уральскийский государственнаый
аграрный университет
Лектор: кандидат физико-математических наук,
профессор РАЕ
Завьялов Олег Геннадьевич
24.07.2023
1

2. Теория вероятностей

Тема 1. Случайные события. Основные
понятия. Алгебра событий. Частота и ее
свойства. Вероятность события.
Классическая формула. Основные
теоремы. Геометрическая вероятность.
24.07.2023
2

3. Теория вероятностей -

Теория вероятностей раздел математики, изучающий
закономерности случайных явлений,
наблюдаемых при массовых повторениях
испытаний
24.07.2023
3

4. Литература

1. Письменный Д. Конспект лекций по теории
вероятностей и математической статистике. М.:
Айрис-Пресс.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и
математическая статистика., М.: Высшая школа.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической статистике.
М.: Высшая школа.
24.07.2023
4

5. Основные понятия теории вероятностей

Испытание
(опыт)
Событие
Осуществление некоторого
комплекса условий
(или действие, результат
которого заранее неизвестен)
Всякий факт, который в
результате опыта может
произойти или не произойти
События обозначаются обычно большими
латинскими буквами A, B, D, F ...
24.07.2023
5

6. Классификация событий

Достоверное событие, которое при
повторении опыта
обязательно
произойдет
• обычно обозначатся -
Невозможное событие, которое при
повторениях опыта
никогда не
происходит
• обычно обозначается
Случайное событие, которое при повторении
опыта иногда происходит, иногда нет
24.07.2023
• обычно обозначается - A, B, C, D ...
6

7.

Взаимосвязь событий
Совместные
события
Несовместные
события
Зависимые
события
24.07.2023
События А и В совместны, если
появление одного из них не
исключает появление другого.
Несколько событий совместны, если
совместны хотя бы 2 из них
События А и В несовместны, если
появление одного из них исключает
появление другого.
Несколько событий несовместны,
если они попарно несовместны
События А и В зависимы, если
появление события В зависит от
появления события А.
7

8.

Взаимосвязь событий
События А и В независимы, если
появление одного из них никак не
влияет на возможность появления
другого.
Равновозможные События в опыте называются
равновозможными, если условия их
события
появления одинаковы и нет
оснований считать какое-либо из
них более возможным, чем любое
другое
Если события А, В, С, ... не могут
Элементарные
быть выражены через более простые
события
события их называют
элементарными событиями
24.07.2023
8
(элементарными исходами)
Независимые
события

9.

Взаимосвязь событий
Полная группа событий несколько событий таких, что в результате
опыта непременно должно произойти хотя
бы одно из них.
Противоположные события 2 несовместных события , образующих
полную группу событий
Пример 1:
24.07.2023
Опыт - бросание игральной кости
9

10.

События:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
B - выпадение четного числа очков
C - выпадение более 7 очков
D - выпадение не менее 3 очков
E - выпадение не более 6 очков
F - выпадение не менее 1 очка
24.07.2023
10

11.

Анализ событий опыта:
E - невозможное событие
F - достоверное событие
A1 - A6 - элементарные события
A1 - A6 - полная группа несовместных
равновозможных событий
B, C, D - можно выразить через более
простые (элементарные) события
Например:
В - наступит либо А2, либо А4, либо А6
24.07.2023
11

12.

Алгебра событий
Сумма (объединение) событий А1, А2, …,Аn событие, состоящее в появлении хотя бы одного из
этих событий
Обозначение: А1+ А2 +…+Аn = А1 А2 … Аn
Произведение (пересечение) событий А1, А2, …,Аn событие, состоящее в появлении всех этих событий
Обозначение: А1·А2 · … ·Аn = А1 А2 … Аn
24.07.2023
12

13.

A+B=A B
Пример 2:
A•B=A B
Опыт - два выстрела по мишени
Обозначим
А1 -попадание в мишень при первом выстреле
А2-попадание в мишень при втором выстреле
Сформулируйте события:
B=A1+A2, C=A1+A2, D=A1A2, E=A1A2+A1A2
24.07.2023
13

14.

Решение примера:
В=А1+А2 - хотя бы одно попадание,
C=A1+A2 - хотя бы один промах,
D=A1 A2 - попадание в цель дважды,
Е=А1 A2+A1 А2 - ровно одно попадание.
Задание1: Найдите 1) А+ , 2) А+ , 3) А+А, 4) А А,
5) А , 6) А , 7)A+A , 8).AA
Задание2: Два студента выполняют независимо
друг
от
друга
задание.
Запишите
через
элементарные события следующие события:
оба студента выполнят задание;
только один из них выполнит задание;
хотя бы один из них выполнит задание
24.07.2023
14

15.

Задание3: доказать, что А (В+С)=А В+А С и
А+В С=(А+В) (А+С).
Указание: Доказательство проведите геометрически
с использованием чертежа
24.07.2023
15

16.

0
m
1
n
Частота события и ее свойства
Если опыт воспроизведен n раз, а событие А
произошло m раз, то частотой (относительной
частотой) события А назовем
m
*
Р (А)= n
т.е. отношение числа испытаний, в которых
появилось событие А, к числу всех испытаний.
Свойства частоты.
m
0 1
1) 0< Р*(А) < 1, так как 0< m< n, следовательно,
n
2) Р*( )=1, так как m=n.
3) Р*( )=0, так как m=0.
4) Р*(А+В)=Р*(А)+Р*(В)-Р*(А В).
24.07.2023
16

17.

Доказательство:
Пусть опыт повторен n раз, причем событие А
появилось m1 раз, событие В появилось m2
раза, вместе А и В появились при этом m3
раза. Тогда
Р* ( A B)
24.07.2023
m1 m2 m3 m1 m2 m3
P* ( A) P* ( B) P* ( A B)
n
n
n
n
17

18.

Условной частотой события В относительно
события А, обозначение Р*(В/А), назовем
частоту события В при условии, что событие А
уже произошло,
это число равно отношению числа опытов NAB, в
которых
произошли
события
А
и
В
одновременно, к числу опытов NA, в которых
появилось событие А, т.е.
N AB
P ( B / A)
NA
*
24.07.2023
18

19.

5) Р*(А В)=Р*(А) Р*(В/А).
Доказательство:
Пусть опыт повторен n раз, событие А при этом
появилось m1 раз, событие В появилось m2
раза, вместе А и В появились m3 раза. Тогда
P* ( A B)
m3 m3 m1 m1 m3
P * ( A) P* ( B / A).
n
n m1
n m1
Аналогично,
можно
Р*(А В)=Р*(В) Р*(А/В).
24.07.2023
доказать,
что
19

20.

Частота случайного события обладает свойством
устойчивости, т.е. при увеличении числа опытов
значения частоты события группируются около
некоторого числа, характеризующего возможность
появления данного события в данном опыте.
Таким образом, мы приходим к понятию
вероятности события в данном опыте.
24.07.2023
20

21.

Вероятность события. Аксиомы
теории вероятностей
Вероятностью Р(А) события А в опыте назовем
численную меру объективной возможности
появления события А в данном опыте.
Основные аксиомы:
Аксиома1. Вероятность любого события А есть
число Р(А), удовлетворяющее неравенствам
0 P ( А) 1.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события
равна единице, т.е. Р( )=1.
Аксиома 3. Вероятность невозможного события
24.07.2023
равна нулю, т.е. Р( )=0.
21

22.

Классическая формула
События Е1, Е2,...,Еn называются случаями в
опыте, если
они образуют полную группу событий, т.е.
Е1+Е2+...+Еn= ;
несовместны, т.е. Еi Ej= , где i j;
равновозможны.
Случай называется благоприятным событию А,
если появление этого случая влечет появление
события А. Пусть в данном опыте
благоприятными событию А являются случаи Е1,
Е2,...,Еm, т.е. А= Е1 + Е2 +... + Еm. Покажем, что
m
P( A) ,
n
где m - число благоприятных событию А случаев,
24.07.2023
22
n - число всех случаев в данном опыте.

23.

Действительно, Р(Е1+Е2+...+Еn)=Р( )=1, так как
события несовместны, то
Р(Е1) + Р(Е2) +...+ Р(Еn) =1
(1).
По условию события равновозможны, следовательно,
Р(Е1) = Р(Е2) =...= Р(Еn)
(2).
Из равенств (1) и (2) следует, что Р(Е1)=Р(Е2) =…
1
=Р(Еn) =
n
Найдем
m
Р(А) = Р(Е1 + Е2 +... + Еm) = Р(Е1)+Р(Е2)+...+Р(Еm) =
n
24.07.2023
23

24.

Пример 4:
Опыт - бросание игральной кости
Событие А - выпадение числа очков, кратного 3.
Найдем вероятность события А.
Решение:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Всего случаев 6. Благоприятных из них 2,
следовательно, P ( A) 2 1
24.07.2023
6 3
24

25.

Элементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее
генеральной совокупностью. Из генеральной
совокупности наудачу отбираем m объектов, эту
отобранную совокупность назовем выборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок
объектов (элементов) играет роль, и может быть
неупорядоченной, если порядок элементов роли не
играет.
Выборка может быть без повторений, если
элементы повторяться не могут, и может быть с
повторениями, если элементы в выборке
повторяются.
Например, телефонный номер 260-61-51 - упорядоченная
выборка с повторениями из десяти цифр по шести.
24.07.2023
25

26.

Упорядоченная выборка из n элементов по m называется
размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по
m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c
повторениями и без повторений из n элементов по m можно
найти из следующей таблицы.
Выборка
Без
повторений
С
повторениями
Упорядоченная
n!
m
An
(n m)!
m
n
А n
m
Неупорядоченная
n!
C nm
m! ( n m )!
C nm
( n m 1)!
m! ( n 1)!
n!=1·2·3·... ·n, 0!=1
24.07.2023
26

27.

Пример 5:
Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти
вероятность того, что из четырех взятых на
проверку счетов один счет окажется с ошибками.
Решение:
Имеем дело с неупорядоченными выборками без
повторений, следовательно, всего случаев n=С104,
благоприятных из них m=С21 С83.
Следовательно
1
3
C2 C8
P( A)
4
C10
2! 8!
1! 1! 3! 5!
=
10!
24.07.2023
4! 6!
8
1 2 (1 2 3 4 5 6 7 8) (1 2 3 4) (1 2 3 4 5 6)
.
=
=
(1 2 3) (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
15
27

28.

Геометрическая вероятность
На практике часто встречаются испытания, число
возможных исходов которых бесконечно.
Пример 6:
Два студента условились встретиться в
определенном месте между 18 и 19 часами.
Пришедший первым ждет 15 мин и уходит.
Определить вероятность встречи, если время
прихода каждого независимо и равновозможно в
течение указанного часа.
24.07.2023
28

29.

Если пространство содержит бесконечное множество
равновозможных элементарных событий и задача сводится к
случайному бросанию точки на область (отрезок), то используют
метод геометрической вероятности, причем этот метод может
быть использован в том случае, если вероятность попадания
точки в любую часть области пропорциональна мере (площади,
объему, длине) этой части области и не зависит от
расположения и формы этой части области.
Если мера всей области равна S, а мера части D области,
попадание в которую благоприятствует появлению события А,
равна SD, то вероятность события А равна
P ( A)
24.07.2023
SD
S
.
29

30.

Решение примера 6:
Пусть х- время прихода одного студента, у- время
прихода второго. Чтобы встреча состоялась,
необходимо и достаточно, чтобы х - у 15,
т.е. -15 x - y 15. Область возможных значений квадрат со стороной, равной 60.
24.07.2023
30

31.

Область D- часть квадрата между прямыми
х – у = -15 и х - у = 15. Следовательно,
SD
60 2 452 1575 7
p
2
60
3600 16
S
24.07.2023
31

32.

Основные теоремы
Теорема 1. Теорема сложения
вероятностей.
Р(А1+А2+А3+...+Аn)= Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) +
... + Р(Аn) - Р(А1 А2) - Р(А1 А3) - Р(A2 A3) -...- P(An-1 An) + P(A1 A2 A3) + P(A1 A2 A4) +...+
+ P(An-2 An-1 An) -...+
+(-1)n-1 P(A1 A2 ... An).
Для трех событий:
Р(А1+А2+А3)= Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) - Р(А1 А2) –
-Р(А1 А3) - Р(A2 A3) + P(A1 A2 A3).
24.07.2023
32

33.

Доказательство (для n=3).
Р(А+В+С) = Р((А+В)+С) = / по аксиоме 4 / =
Р(А+В)+Р(С)-Р((А+В) С) = Р(А+В) + Р(С) Р(А С+В С) = Р(А+В) + Р(С) - (Р(А С) + Р(В С) Р(А В С)) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(А В) - Р(А С)Р(В С) + Р(А В С).
24.07.2023
33

34.

Следствие 1. Вероятность суммы двух любых
событий равна сумме вероятностей этих событий
без вероятности их произведения, т.е.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А В).
Следствие 2. Если события А и В несовместны, то
А В= и следовательно,
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие 3. Если события А1, А2, ... ,Аn
несовместны, то
Р(А1+А2+...+Аn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).
24.07.2023
34

35.

Замечание .
Так как , A А ,
События А и А
то P ( A А) 1 .
несовместны, поэтому
P( A А) P( A) P( A )
Следовательно, P( A) P( A ) 1
,
откуда
P( A ) 1 P( A)
24.07.2023
.
35

36.

Определение. Условной вероятностью Р(А/В)
события А относительно события В назовем
вероятность события А при условии, что событие
В уже произошло.
Теорема 2. Теорема умножения
вероятностей.
Р(А1 А2 А3 ... Аn) =
Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1 А2) …
Р(Аn/А1 А2 А3 ... Аn-1).
Для трех событий:
Р(А1 А2 А3) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1 А2) .
24.07.2023
36

37.

Доказательство
Воспользуемся методом математической индукции.
Р(А1 А2)=Р(А1) Р(А2/А1).
Предполагаем, что теорема верна для (n-1)
событий; докажем, что она верна для n событий.
Найдем Р(А1 А2 А3 ... Аn)=P((A1 A2 A3 ... An-1) An) =
=P(A1 A2 A3 ... An-1) P(An/A1 A2 A3 ... An-1) = / по
предположению /= P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1 A2) .. P(An1/A1 A2 A3 An-2) P(An/A1 A2 A3 ... An-1).
24.07.2023
37

38.

Следствие 1. Вероятность произведения двух
любых событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого
относительно первого, т.е.
Р(А В)=Р(А) Р(В/А)=Р(В) Р(А/В).
Событие А называется независимым от события В,
если условная вероятность события А относительно
события В равна безусловной вероятности события
А, т.е. Р(А/В)=Р(А). Нетрудно доказать, что если А не
зависит от В, то и В не зависит от А.
Следствие 2. Если события А и В независимы, то
Р(А В)=Р(А) Р(В).
24.07.2023
38

39.

Пример 7:
Студент знает ответы на 20 из 25
вопросов. Какова вероятность того, что он
ответит на два выбранных наудачу
вопроса?
24.07.2023
39

40.

Решение.
Рассмотрим события:
А- студент знает ответ на первый вопрос,
В- студент знает ответ на второй вопрос.
Найдем Р(А В).
Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = 20 19 19
25 24
24.07.2023
30
40

41.

Определение.
Несколько событий называют независимыми
(или независимыми в совокупности),
если независимы каждые два из них и
независимы каждое событие и все возможные
произведения остальных.
Следовательно, если А1, А2, ... ,Аn независимы, то
Р(А2/А1) = Р(А2), Р(А3/А1 А2) = Р(А3), ... ,
Р(Аn/A1 A2 A3 ... An-1) = P(An), тогда
Р(А1 A2 A3 ... An)=P(A1) P(A2) P(A3) ... P(An).
24.07.2023
41

42.

Пример 8:
Два студента выполняют независимо друг от друга
задание. Вероятность того, что задание будет
выполнено первым студентом 0,6;
для второго студента эта вероятность равна 0,8.
Найти вероятность того, что
оба студента выполнят задание;
только один из них выполнит задание;
хотя бы один из них выполнит задание.
24.07.2023
42

43.

Решение.
События: А - задание выполнит первый студент,
В - задание выполнит второй студент.
По условию Р(А) = р1 = 0,6; Р(В)=р2 = 0,8; следовательно,
Р( A) = 1-p1 = q1 = 1-0,6 = 0,4; P( B ) = 1-p2 = q2 = 1-0,8 = 0,2.
Р(А В) = /события А и В - независимые события / =
Р(А) Р(В) = р1 р2 =0,6 0,8 = 0,48.
Р(А B + A B) = / A B и A B - несовместные события
/= Р(А B ) + Р( A В) = Р(А) Р( B ) +
Р( A ) Р(В) = p1 q2+q1 p2 = 0,6 0,2 + 0,4 0,8 = 0,44.
P(A+B)=/ А и В - совместные события /= Р(А)+Р(В)Р(А В)=0,6+0,8-0,48=0,92
или т.к. А+В и A B противоположные события, то
Р(А+В)=1-Р(A B )= 1 - Р( A ) Р( B ) = 1-q1 q2 = 1-0,4 0,2 =
1-0,08 = 0,92.
24.07.2023
43

44.

Пример 9:
Для получения кредита предприятие обратилось к
трем банкам. Статистические исследования
показали, что вероятности выделения кредита
этими банками соответственно равны р1=0,5, р2=0,4
и р3=0,9. Банки выделяют кредит независимо друг от
друга и, если примут решение о его выделении, то в
размере: первый банк-160 тыс. руб., второй-40 тыс.
руб., третий-200 тыс. руб.
Найти вероятности того, что предприятие получит
кредит
а) в размере 200 тыс. руб.,
б) не менее 240 тыс. руб.
с)
в любом размере.
24.07.2023
44

45.

Решение.
События:
А - первый банк выделит кредит,
В - второй банк выделит кредит,
С - третий банк выделит кредит,
D - предприятие получит кредит в размере 200 тыс.
руб.,
E - предприятие получит кредит в размере не менее
240 тыс. руб.,
F – получит кредит.
24.07.2023
45

46.

а) Т.к. D = A B C ABC
,
то P(D) = 0,5 0,4 (1 - 0,9) + (1 - 0,5) (1 - 0,4) 0,9 = 0,02 +
0,27 = 0,29.
б)Т.к.E=A B C A B C A B C
,
то P(E)=0,5 (1-0,4) 0,9+(1-0,5) 0,4 0,9+0,5 0,4 0,9=0,63.
с) F A B C , то P(F) = 1 – P( F ) = 1 – 0 ,5 0,6 0,1=
0,97.
24.07.2023
46

47.

Теорема 3. Формула полной вероятности
Пусть в результате опыта может появиться какоелибо из несовместных событий Н1,Н2,...,Нn,
образующих полную группу. Событие А может
появиться только вместе с одним из этих событий.
События Н1, Н2,..., Нn называются гипотезами.
Если известны вероятности гипотез Р(Нi) и
условные вероятности Р(А/Нi), где i = 1, n , то
n
P( A) P( H i ) P( A / H i )
i 1
24.07.2023
47

48.

Доказательство.
Р(А)=Р(А ) =
=Р(А (Н1+Н2+...+Нn)=P(A H1+A H2+...+A Hn)=
/события A Hi и A Hj, где i j, несовместные события,
т.к. (A Hi) (A Hj)=A Hi Hj=A (Hi Hj)=A = /
= Р(А Н1)+Р(А Н2)+...+Р(А Нn)=
=P(H1) P(A/H1)+P(H2) P(A/H2)+...+P(Hn) P(A/Hn).
24.07.2023
48

49.

Пример 10:
На стройку поступают блоки с трех баз, причем 50%
с первой базы,30% со второй базы, остальные с
третьей базы. Вероятность того, что блок c первой
базы бракованный - 0,09; со второй - 0,1; с третьей 0,08. Найти вероятность того, что взятый наудачу на
стройке блок окажется бракованным.
Решение.
Рассмотрим гипотезы:
Н1 -взятый наудачу блок поступил с первой базы,
Н2 -взятый наудачу блок поступил со второй базы,
Н3 -взятый наудачу блок поступил с третьей базы.
Событие А -взятый наудачу на стройке блок
окажется бракованным.
24.07.2023
49

50.

По условию
Р(Н1)=50/100=0,5;
Р(Н2)=30/100=0,3;
Р(Н3)=(100-50-30)/100 = 0,2.
Р(А/Н1)=0,09;
Р(А/Н2)=0,1;
Р(А/Н3)=0,08.
Следовательно, по формуле полной вероятности
Р(А)=0,5 0,09+0,3 0,1+0,2 0,08=0,091.
Запомним
n
P( H ) 1.
24.07.2023
i 1
i
50

51.

Теорема 4. Формула Байеса
(теорема переоценки гипотез)
Пусть в условиях предыдущей теоремы событие
А наступило и мы нашли вероятность Р(А).
Спросим, как изменились вероятности гипотез в
связи с появлением события А, т.е. найдем
Р(Нi/А), где i=1,2,...,n.
По аксиоме 5: Р(А Нi)=P(A) P(Hi/A)=P(Hi) P(A/Hi),
откуда
P( H i ) P( A / H i )
P( H i / A)
P( A)
24.07.2023
.
51

52.

Пример 11:
В предыдущем примере событие А наступило, т.е.
взятый наудачу на стройке блок оказался
бракованным. Определить вероятность того, что
этот блок поступил со второй базы.
Решение.
P( H 2 ) P( А / H 2 ) 0,3 0,1 30
0,33.
Р(Н2/А) =
P( А)
0,091 91
24.07.2023
52

53.

Теорема 5 . Формула Бернулли
Студенческий фольклор Санкт-Петербургского
государственного университета
24.07.2023
53

54.

Теорема 5 . Формула Бернулли
Производится n независимых испытаний, в каждом из
которых событие А наступает с постоянной вероятностью
р. Найдем вероятность того, что в этих n испытаниях
событие А появится ровно m раз, т.е. найдем Pn(m).
Обозначим через Аi -появление события А в i-ом опыте,
тогда
Pn(m)=P(A1 A2 ... Am Am 1 Am 2 ... An +...+ A1 A2 ... An m
An-m+1 ... An)=
/ сумма
несовместных событий, каждое из
которых – произведение n независимых событий /
m
= C n pm (1-p)n-m, следовательно,
24.07.2023
54

55.

Pn(m)= C n pm qn-m, где q=1-p
m
Пример 12:
Каждый из пяти независимо работающих элементов
отказывает с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что
откажут три элемента из пяти.
Решение.
Р5(3)=
C
3
5
р3q2=
5!
0,43 0,62 =
3! 2!
=10 0,064 0,36=0,23.
24.07.2023
55

56.

Наивероятнейшее число
наступлений события при
повторении испытаний
Если m0 - наивероятнейшее число появления
события А в n независимых испытаниях, в каждом
из которых событие А наступает с постоянной
вероятностью р
np-q < m0 < np+p.
24.07.2023
56

57.

Пример 13:
Найти наивероятнейшее число отказавших элементов, если
каждый из пяти независимо работающих элементов
отказывает с вероятностью 0,4.
Решение.
Так как n=5, p=0,4, q=0,6, то 5 0,4-0,6 m0 < 5 0,4+0,4
или
1,4 < m0 < 2,4. Следовательно, m0=2.
24.07.2023
57