Перпендикулярность прямых и плоскостей

1.

Перпендикулярные
прямые в
пространстве
Перпендикулярность
прямой и плоскости
Преподаватель ФГОУ СПО «СТК»
Якимчук Любовь Григорьевна

2.

Модель куба.
1. Как называются
прямые АВ и ВС?
D1
А1
2. Найдите угол между
С1 прямыми АА1 и DC;
ВВ1 и АD.
В пространстве
В1
перпендикулярные
прямые
могут пересекаться
и могут скрещиваться.
D
А
С
В

3.

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC.
АА1 || СС1 ; DC
D1
А1
D
А
СС1
С1
Если одна
АА1 DC
В1 из параллельных
прямых перпендикулярна
к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна
к этой прямой.
С
В

4.

Перпендикулярность прямой и
плоскости
• Определение:
Прямая
и
плоскость
называются
перпендикулярными,
если
прямая перпендикулярна любой прямой,
лежащей на плоскости.
а
р
l
q
m

5.

Признак перпендикулярности прямой
и плоскости.
• Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в
плоскости, то она перпендикулярна и
самой плоскости.
а
q
l

6.

Задача №1 Дано: ABCD – квадрат,
EA BC ; K BE
Доказать: BC AK
E
BC AB, BC AE
BC AÂÅ BC AK
K
А
D
В
т.к. АК принадлежит (АВЕ)
С

7.

Задача №2
Дано: ABCD – квадрат, MD ABC
Доказать: MB AC
М
MD ABC MD AC
AC MD , AC BD
AC MDB
AC MB
А
D
С
В

8.

Задача №3
Дано: ABCD – прямоугольник,
AE ABC ,
BE 15, CE 24, DE 20
Доказать, что ∆ DEC прямоугольный
Найти: АЕ
Е
AE ABC CD AE,
CD AE, CD AD
CD ADE CD DE
С
24
20 15
D
А

9.

CDE ïðÿìîóãîëü íûé , CD ÑÅ ED
2
CD 24 20
2
2
24 20 24 20 4
2
11
ABE ïðÿìîóãîëü íûé , BA ÂÅ ÀÅ
2
2
ÂA 15 4 11
2
225 176 49 7
С
2
Е
24
20 15
D
А

10.

Задача №4
Один конец отрезка АВ лежит на плоскости, а другой
находится от плоскости на расстоянии 22 см. Найдите
расстояние от середины этого отрезка до плоскости.
А
Дано: АВ∩α=В
С АВ, ВС=СА, АА1
АА1=22 см.
Найти: СС1
С
В
С1
СС1||АА1
Ответ: СС1- средняя линия ∆АВС,
СС1 =11см.
А1

11.

Задача №5
Концы отрезка АВ находятся на расстоянии 6 см и 10 см
от плоскости α. Найдите расстояние от середины этого
отрезка до плоскости.
А
К
Дано: АВ не параллельна α
К АВ, АК=КВ, ВВ1 α ,
АА1 α
АА1 =10см, ВВ1 =6см
А1
К1
В
В1
Найти: КК1
КК1||АА1||ВВ1,
КК1- средняя линия трапеции АА1В1В,
Ответ: КК1=8см