Производная функции
Производная функции
Производная функции
Производная функции
Производная функции
Что показывает производная?
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производная сложной функции
Производные высших порядков
Производные высших порядков
Производные высших порядков
Производные высших порядков
247.50K
Категория: МатематикаМатематика

Производная функции

1. Производная функции

y f ( x)
f ( x0 )
M0
x0
Сформулируем определение производной функции y=f(x) в точке
M 0 x0 , f ( x0 )

2. Производная функции

y f ( x)
f ( x0 x)
f ( x0 )
M0
x
x0
x
- приращение аргумента
x0 x

3. Производная функции

f ( x0 x)
y f ( x)
y
f ( x0 )
M0
x
x0
x
x0 x
- приращение аргумента
y f x0 x f x0
- приращение функции

4. Производная функции

f ( x0 x)
f ( x0 )
y f ( x)
y
x
y
M0
x
x0
y f ( x0 x) f ( x0 )
.
x
x
x0 x
скорость изменения функции на
x0 , x0 x

5. Производная функции

Опр. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при стремлении последнего к 0 (если этот предел существует).
y
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 ) lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
dy
Обозначения для производной: f ( x), y ,
dx

6. Что показывает производная?

y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 )
.
x
x
при малых
Если
x
x 1 , то
f ( x0 ) f ( x0 1) f ( x0 )
Производная приближенно показывает на сколько
изменится функция, если аргумент x увеличится на
1 единицу (абсолютная скорость роста функции).

7. Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна 0.
Ñ 0

8. Правила дифференцирования

2. Производная суммы двух или нескольких функций равна
сумме их производных
( f g ) f g

9. Правила дифференцирования

3.
( f g ) f g g f

10. Правила дифференцирования

3.
( f g ) f g g f
Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(c f ) c f

11. Правила дифференцирования

4. Если g(x)≠0, то
g f
f
fg
g
2
g

12. Производные основных элементарных функций

1. Логарифмическая функция.
1
y log a x y
x ln a
y ln x
1
y
x

13. Производные основных элементарных функций

2. Показательная функция.
y a
x
y e
x
y a ln a
x
y e
x

14. Производные основных элементарных функций

3. Степенная функция.
y x
n
y n x
n 1

15. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y sin x
y cos x

16. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y cos x
y sin x

17. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y tg x
1
y
2
cos x

18. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y ctg x
1
y
2
sin x

19.

5. Обратные тригонометрические функции.
y arcsin x
y
y arccos x
y
y arc tg x
y arc ctg x
1
1 x
1
2
1 x
1
y
2
1 x
1
y
2
1 x
2

20. Производная сложной функции

Теорема. Пусть h(x)=g(f(x)) – сложная
функция. Тогда
h ( x) g f ( x) f ( x)

21. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.

22. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.

23. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.
f
(4)
( x) f ( x) - производная 4-го порядка.

24. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.
f
(4)
( x) f ( x) - производная 4-го порядка.
………………………………………………………..……..
f
(n)
( x) f
( n 1)
( x)
- производная n-го
порядка.
English     Русский Правила