Производная функции

1. Производная функции

y f ( x)
f ( x0 )
M0
x0
Сформулируем определение производной функции y=f(x) в точке
M 0 x0 , f ( x0 )

2. Производная функции

y f ( x)
f ( x0 x)
f ( x0 )
M0
x
x0
x
- приращение аргумента
x0 x

3. Производная функции

f ( x0 x)
y f ( x)
y
f ( x0 )
M0
x
x0
x
x0 x
- приращение аргумента
y f x0 x f x0
- приращение функции

4. Производная функции

f ( x0 x)
f ( x0 )
y f ( x)
y
x
y
M0
x
x0
y f ( x0 x) f ( x0 )
.
x
x
x0 x
скорость изменения функции на
x0 , x0 x

5. Производная функции

Опр. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при стремлении последнего к 0 (если этот предел существует).
y
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 ) lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
dy
Обозначения для производной: f ( x), y ,
dx

6. Что показывает производная?

y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 )
.
x
x
при малых
Если
x
x 1 , то
f ( x0 ) f ( x0 1) f ( x0 )
Производная приближенно показывает на сколько
изменится функция, если аргумент x увеличится на
1 единицу (абсолютная скорость роста функции).

7. Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна 0.
Ñ 0

8. Правила дифференцирования

2. Производная суммы двух или нескольких функций равна
сумме их производных
( f g ) f g

9. Правила дифференцирования

3.
( f g ) f g g f

10. Правила дифференцирования

3.
( f g ) f g g f
Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(c f ) c f

11. Правила дифференцирования

4. Если g(x)≠0, то
g f
f
fg
g
2
g

12. Производные основных элементарных функций

1. Логарифмическая функция.
1
y log a x y
x ln a
y ln x
1
y
x

13. Производные основных элементарных функций

2. Показательная функция.
y a
x
y e
x
y a ln a
x
y e
x

14. Производные основных элементарных функций

3. Степенная функция.
y x
n
y n x
n 1

15. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y sin x
y cos x

16. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y cos x
y sin x

17. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y tg x
1
y
2
cos x

18. Производные основных элементарных функций

4. Тригонометрические функции.
y ctg x
1
y
2
sin x

19.

5. Обратные тригонометрические функции.
y arcsin x
y
y arccos x
y
y arc tg x
y arc ctg x
1
1 x
1
2
1 x
1
y
2
1 x
1
y
2
1 x
2

20. Производная сложной функции

Теорема. Пусть h(x)=g(f(x)) – сложная
функция. Тогда
h ( x) g f ( x) f ( x)

21. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.

22. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.

23. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.
f
(4)
( x) f ( x) - производная 4-го порядка.

24. Производные высших порядков

f ( x)
называется производной 1-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 2-го порядка.
f ( x) f ( x)
- производная 3-го порядка.
f
(4)
( x) f ( x) - производная 4-го порядка.
………………………………………………………..……..
f
(n)
( x) f
( n 1)
( x)
- производная n-го
порядка.