Матрицы. Определители

1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2. 1. Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов,
называется м а т р и ц е й размера m n и записывается в виде:
a11
a 21
A
a
m1
a12
a 22
am2
a1n
a2n
a mn
или
A aij , где i 1, m (т.е. i 1, 2, ..., m ),
j 1, n (т.е. j 1, 2, ..., n ).
Числа aij называются э л е м е н т а м и матрицы A . Каждый элемент
матрицы имеет два индекса: первый указывает номер строки, второй – номер
столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Если число столбцов матрицы n равно числу ее строк, то такая матрица
называется к в а д р а т н о й м а т р и ц е й n -го порядка.

3.

Пример 1.
a11
a
A 21
a
n1
a12
a 22
an2
a1n
a2n
- матрица n -го порядка,
a nn
3 1
- матрица второго порядка,
В
2 0
4 1 3
С 2 0 4 - матрица третьего порядка.
5 3 2
Элементы a11 , a22 , , ann квадратной матрицы порядка n образуют ее
главную диагональ.
Квадратная матрица называется д и а г о н а л ь н о й , если все ее
элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю
a11
A 0
0
0
a 22
0
0
0 .
a33

4.

Диагональная матрица называется е д и н и ч н о й , если все ее
элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.
Пример 2.
1 0 0
E 0 1 0 - единичная матрица третьего порядка.
0 0 1
Матрица называется н у л е в о й , если все ее элементы равны нулю.
Матрица называется т р е у г о л ь н о й , если все ее элементы,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором.
Пример 3.
Х х1 х2 ... хn - вектор-строка,
y1
y
Y 2 - вектор-столбец.
...
y
m

5.

Матрица называется т р а н с п о н и р о в а н н о й к данной
матрице А , если каждую строку данной матрицы А заменить
столбцом с тем же номером, и обозначается АТ .
Пример 4.
2 3 1
2 4 1
Если А 4 0 3 , то АТ 3 0 2 .
1 2 5
1 3 5
1 2
1
0
2
, то ВТ 0 1 .
Если В
2 1 4
2 4
Заметим, что АТ А , А В Т АТ ВТ , А В Т ВТ АТ .
Т

6. Основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц
Эти операции вводятся только для матриц одинаковой размерности.
Суммой (разностью)
матрица C cij такая, что
двух матриц A aij и B bij называется
cij aij bij
i 1, m; j 1, n .
Пример 5.
2 - 3 0 3 3 - 1 5 0 - 1
.
4 5 6 - 2 - 5 4 2 0 10
2. Умножение матрицы на число
П р о и з в е д е н и е м м а т р и ц ы A aij н а ч и с л о называется матрица
B bij такая, что
bij aij
i 1, m; j 1, n .
Пример 6.
0 -1 2
0 - 2 4
.
, то 2A
6
8
10
3
4
5
Если A

7.

3.Произведение матриц
Матрицу А можно умножить на матрицу В , (т.е. найти А В ) только в том
случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .
Произведением матрицы
называется матрица C cik такая, что
cik ai1b1k ai 2b2k ... ainbnk
A aij
на
матрицу
B b jk
i 1, m; j 1, n; k 1, p .
Пример 7.
3 2
2 -1 3
Даны матрицы A
и В 1 2 . Найти произведения А В и В А
4 0 - 2
5 1
3 2
2 3 1 1 3 5 2 2 1 2 3 1 8
3
2 1 3
1 2
А В
4
0
2
4
3
0
1
2
5
4
2
0
2
2
1
22
10
5 1
3 13
3 2
6 8 3 0 9 4 2
2 1 3
2 8 1 0 3 4 6 1 7 .
В А 1 2
5 1 4 0 2 10 4 5 0 15 2 6 5 17

8.

Отсюда получаем, что А В В А , т.е. умножение матриц не обладает
перестановочным свойством.
Матрицы А и В называются п е р е с т а н о в о ч н ы м и , если
А В В А.
Пример 8.
1 2 1
1 3
,
B найти А В и В А .
1 2
2 1 0
Для матриц A
Произведение матриц А В неопределенно, так как число столбцов
матрицы А , равное трем, не совпадает с числом строк матрицы В , равным
двум.
При этом определено произведение В А :
1 3 1 2 1 1 9 2 3 1 0 10 5 1
=
.
=
B A •
1 2 3 1 0 1 6 2 2 1 0 7 4 1

9. 2. Определители

Определителем
(или
детерминантом)
п о р я д к а , соответствующим матрице
a
А 11
a 21
второго
a12
a 22
называется число a11 a22 a21 a12 . Определитель второго порядка матрицы А
обозначается det A .
Таким образом,
det A =
a11 a12
a11 a22 a21 a12 .
a21 a22
Числа ai11 , а12 , а21 , а22 называются э л е м е н т а м и о п р е д е л и т е л я .
Пример 9.
Вычислить определитель
2 5
.
3 4
2 5
= 2 4 5 3 8 15 8 15 23.
3 4

10.

Определителем
(или
п о р я д к а , соответствующим матрице
детерминантом)
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
третьего
a13
a23
a33
называется число, определяемое равенством
a11
a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 a11a 22 a33 a12 a 23 a31 a 21a32 a13 a13 a 22 a31 a 21a12 a33 a 23 a32 a11 .
a33
Правая часть формулы получается по правилу треугольников
(правилу Саррюса)
или по правилу
( )
( )

11.

Пример 10.
3 2 4
Вычислить определитель 5 1 6 .
2 0 3
3 2 4
5 1 6 = 3 1 3 2 6 2 5 0 4 4 1 2 5 2 3 0 6 3
2 0 3
9 24 8 30 11.
или
3 2 4 3 2
5 1 6 5 1 = 3 1 3 2 6 2 5 0 4 4 1 2 0 6 3 2 5 3 -11.
2 0 3 2 0

12.

М и н о р о м M i j элемента a i j определителя n -го порядка называется
определитель (n 1) -го порядка, полученный путем вычеркивания i -ой строки и
j -го столбца данного определителя.
Пример 11. Для определителя
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
найти миноры элементов a11 и a 23 .
Минором элемента
a11
минором будет M 23
a31
a11 является M 11
a 22
a32
a 23
, а для элемента
a33
a 23
a12
.
a32
А л г е б р а и ч е с к о е д о п о л н е н и е Ai j элемента a i j определяется
по формуле:
i j
Ai j 1 M i j .

13.

Пример 12. Для определителя
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
найти алгебраические дополнения элементов a11 и a 23 .
Алгебраические дополнения элементов a11 и a 23 соответственно равны
A11 и A23 :
A11 1
1 1
A23 1
2 3
M 11 M 11
a 22
a32
a
M 23 M 23 11
a31
a 23
,
a33
a12
.
a32
Таким образом, для определителя третьего порядка схема знаков
алгебраических дополнений имеет вид:
.

14.

Теорема (о разложении определителя по строке или по столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Например,
a11
a12 a1n
ai1
ai 2 ain
a n1 a n 2 a nn
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain ,
i 1, 2, n .

15. Основные свойства определителей

1)
Значение определителя не меняется после замены всех его строк
соответствующими столбцами, и наоборот
a11 a12
a
11
a 21 a 22 a12
2)
a 21
.
a 22
Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно
вынести за знак определителя
k a11 k a12
a
a
k 11 12 .
a21
a22
a21 a22
3)
При перестановке двух строк (столбцов) определителя знак его
меняется на противоположный
a11
a 21
a12
a
12
a 22
a 22
a11
.
a 21

16.

4)
Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными
строками (столбцами) равен нулю
a11
k a11
5)
a12
0.
k a12
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны
нулю, то определитель равен нулю
0
0
0.
a 21 a22
6)
Определитель не изменится, если к элементам одной строки
(столбца) определителя прибавить соответственные элементы
другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число
a11 a12 a11 a21 k a11
.
a21 a22 a21 a22 k a21
7)
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой
строки (столбца) равна нулю
a11 A21 a12 A22 0 .

17.

Пример 13.
3 2 4
Вычислить определитель 5 1 6 ,
2 0 3
а) разложив его по элементам первой строки;
3 2 4
1 6
5
6
5 1
2
4
3 3 0 2 15 12 4 0 2
5 1 6 3
0 3
2 3
2 0
2 0 3
9 6 8 11 .
б) разложив его по элементам второго столбца.
3 2 4
5
6
3 4
3 4
1
0
2 15 12 1 9 8
5 1 6 2
2 3
2 3
5 6
2 0 3
6 17 11 .
Замечание. Можно, используя свойство 6, не изменяя величины
определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранной строке (или столбце)
все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

18. 3. Обратная матрица

Матрица A 1 называется о б р а т н о й для квадратной матрицы А ,
если
A A 1 A 1 A E ,
где E - единичная матрица.
Квадратная матрица А называется
невырожденной
(неособенной), если ее определитель det A 0 . В противном случае
матрица А называется в ы р о ж д е н н о й (особенной).
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную
обратную матрицу.

19.

Если матрица
a11 a12
a
a
A 21 22
a
n1 an 2
a1n
a2 n
ann
невырожденная матрица, т.е. det A 0 , то для нее обратную матрицу можно
найти по формуле:
A 1
A11
A
~
где A 12
A
1n
A21
A22
A2 n
1
~
A,
det A
An1
An 2
- присоединенная (союзная) матрица к матрице А .
Ann
Здесь Aij - алгебраические дополнения элементов aij , ( i, j 1, n ).

20.

Пример 14.
Для матрицы А найти обратную матрицу A 1 , если
1 2 3
А 2 1 4 .
3 1 1
Решение.
Сначала найдем определитель матрицы А :
1 2 3
det A 2 1 4 = 1 24 6 9 4 4 10 .
3 1 1
Так как det A 0 , то матрица А - невырожденная, и, следовательно,
существует обратная ей матрица
A11
1
~
~
A 1
A , где A A12
det A
A
13
A21
A22
A23
A31
A32 .
A33

21.

Вычислим алгебраические дополнения:
A11= 1 2
1 4
1 4 3 ,
1 1
A12= 1 3
2 4
( 2 12) 14 ,
3 1
A13= 1 4
2 1
2 3 5,
3 1
A21= 1 3
2 3
( 2 3) 1 ,
1 1
A22= 1 4
1 3
1 9 8 ,
3 1
A23= 1 5
1 2
(1 6) 5 ,
3 1
A31= 1 4
2 3
8 3 5,
1 4
A32= 1 5
A33= 1 6
1 3
4 6 10 ,
2 4
1 2
1 4 5 .
2 1

22.

Тогда получим:
3 1 5 0,3 0,1 0,5
1
1
A 14 8 10 1,4
0,8
1 .
10
5 5 0,5
0,5 0,5
5
Проверим выполнение условия А А 1 Е .
1 2 3 3 1 5
10 0 0 1 0 0
1
1
1
А A 2 1 4 14 8 10 0 10 0 0 1 0 Е .
10
5
10 0 0 10 0 0 1
3
1
1
5
5

23. 4. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу
a11
a
A 21
a
m1
a12
a 22
am2
a1n
a2n
.
a mn
Выберем в матрице А произвольные k строк и k столбцов ( k min m, n ) .
Определитель порядка k , составленный из элементов, стоящих на
пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется м и н о р о м k го порядка этой матрицы.
Р а н г о м матрицы А называется наибольший порядок ее миноров,
отличных от нуля, и обозначается rang A или r A .
Если rang A = rang В , то матрицы А и В называются эквивалентными
и обозначаются А ~ В .

24.

Вычисление ранга матрицы можно производить методом окаймляющих
миноров и методом элементарных преобразований.
1. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Если в матрице А имеется минор k -го порядка неравный нулю, а все ее
миноры k 1 -го порядка, окаймляющие этот минор, равны нулю, то ранг
матрицы А равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров
найдется ненулевой минор k 1 -го порядка, и вся процедура повторяется.
2. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований
К э л е м е н т а р н ы м п р е о б р а з о в а н и я м матрицы относятся:
1) перестановка двух параллельных рядов матрицы;
2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на некоторое число;
4) вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю.

25.

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.
Используя элементарные преобразования, матрицу приводят к виду, когда все
ее элементы, кроме а11, а22 , ..., аrr r min( m, n) равны нулю. Отсюда, ранг матрицы
равен r .
Пример 15.
2 1 4 3
Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы А 4 15 8 7 .
2 17 4 13
Так как минор второго порядка
2 1
26 0 , то ранг матрицы А не меньше 2.
4 15
Найдем для этого минора окаймляющие миноры третьего порядка.
2 1 4
2 1 4
4 15 8 I строка - 2 II строка 0 13 0 0 ,
2 17 4
2 17 4
2 1 3
2 1 3
I строка - 2 II строка
4 15 7
0 13 13 0 .
I строка - 1 III строка
2 17 13
0 16 16
Итак, все окаймляющие миноры равны нулю. Следовательно, rang A =2.

26.

Пример 16.
Вычислить ранг матрицы В методом элементарных преобразований
2 4
0
В 1 4 5 .
3
1
7
Решение.
2 4
0
0 2 4
1 4 5
1 4 5 ~ II строка - 1 ~ 1 4 5 ~ I строка II строка ~ 0 2 4 ~
3
3 1 7
3 1 7
1
7
1 4 5
1 4 5
~
~ 0 1 2 ~ II строка 11 III строка ~ 0 1 2 ~
I строка - 3 III строка
0 0 0
0 11 22
II строка 12
1 4 5
.
~
0
1
2
Отсюда rang В 2 , так как
1 4
1 0.
0 1