Похожие презентации:
Матрицы и определители
1. Матрицы и определители
2.
Матрицей размера m x n называетсяпрямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы.
3.
Обозначение:A
- матрица размерности m x n
a ij
- элемент матрицы i –ой строки и j -го
столбца,
m n
где
i=1,2…m
j=1,2…n
4.
a11 a12a21 a22
A (aij )
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
5.
Две матрицы называются равными, еслиу них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
6.
0 21
A 2 4
5
0 3 1
- квадратная матрица размерности 3х3
7.
Элементы матрицы aij , у которых номерстолбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.
8.
10
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
9.
Матрица любого размера называетсянулевой, если все ее элементы равны 0.
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0
10.
Матрица, состоящая из одной строки,называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
A (a11 a12 ... a1n )
11.
Матрица, состоящая из одного столбца,называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
b11
b21
B
b
n1
12.
Спомощью матриц удобно
различного рода зависимости.
Например:
Распределение
экономики:
ресурсов
по
описывать
отраслям
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл.
энергия
Труд.
ресурсы
Водные
ресурсы
8
7.2
5
3
4.5
5.5
13.
Эту зависимость можно представить в видематрицы:
8 7.2
A 5
3
3 2
4.5 5.5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.
14.
Чтобы умножить матрицу на число, надокаждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные
произведения
итоговую матрицу.
образуют
15.
Пусть дана матрицаA (aij )
m n
Умножаем ее на число λ:
A B
Где каждый элемент матрицы В:
bij aij
Где:
i 1,2...m
j 1,2...n
16.
Например:Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8
17.
Складываются матрицы одинаковойразмерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
18.
Пусть даны матрицыСкладываем их:
A (aij )
B (bij )
A B C
Где каждый элемент матрицы С:
cij aij bij
Аналогично проводится вычитание матриц.
19.
Найти сумму и разность матриц:2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2
20.
2 1 3A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2
21.
Умножение матриц возможно, если числостолбцов первой матрицы равно числу строк
второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы
равен сумме произведений элементов i – ой
строки
первой
матрицы
на
соответствующие элементы j-го столбца
второй.
22.
Пусть даны матрицыУмножаем их:
A (aij )
m k
B (bij )
k n
A
B
C
m k k n
m n
Где каждый элемент матрицы С:
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... aik bkj
i 1,2...m
j 1,2...n
23.
Найти произведение матриц:2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2
24.
Число столбцов первой матрицы равночислу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8
25.
Теперь перемножим матрицы в обратномпорядке:
1 2 0 1 1 3 0 0 1 0 0 4 2 3 0
B A 1 2 4 1 1 3 4 0 1 0 4 4 6 3 16
3 2 2 3
0 2 2 1 0 3 4 0 0 0 2 4 2 0 8
Умножение
матриц
некоммутативно:
в
A B B A
общем
случае
26.
Перечисленные операции над матрицамиобладают следующими свойствами:
1
А+В=В+А
2
(А+В)+С=А+(В+С)
27.
3λ(А+В)= λА+λВ
4
А(В+С)=АВ+АС
5
А(ВС)=(АВ)С
28.
Матрица АТ называетсятранспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11
a21
A
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
... ...
n m
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn
29.
1(АТ)Т=А
2
(А+В)Т=АТ+ВТ
30.
3(λА)Т= λАТ
4
(АВ)Т=ВТАТ
31.
Транспонировать матрицу:1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
32.
1 4 7T
A 2 5 8
3 6 9
33. Определители. Свойства определителей.
34.
• Определителем(детерминантом)
матрицы n-го порядка называется число:
a11
a 21
n det A
...
a n1
a12
a 22
...
an 2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
35.
a11 a122
a11a22 a12a21
a21 a22
2
36.
a113 a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 a11a 22 a33 a 21a32 a13 a12 a 23 a31
a33
a13 a 22 a31 a32 a23 a11 a21a12 a33
37.
• Правило Сарруса:a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
38.
a113 a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 a11a 22 a33 a 21a32 a13 a12 a 23 a31
a33
a a a a a a a a a
13 22 31
• Правило треугольника:
«+»
«-»
32 23 11
21 12 33
39.
Примеры:1)
3 2
3 5 2 1 15 ( 2) 17
1 5
2)
cos x sin x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
sin x cos x
3)
cos x sin x
2
2
cos x sin x 1
sin x cos x
40.
Примеры:4)
log 2 32 log 3 27
log 4 16 log 5 125
5 3
15 6 9
2 3
41.
Примеры:5)
4 7 2 4 7
3 1 5 3 1
5 0
7 5 0
4 ( 1) 7 7 5 5 ( 2) 3 0
5 ( 1) ( 2) 0 5 4 7 3 7
28 175 0 10 0 147 10
42. Свойства определителей.
1.Определитель не изменится, если егоT
транспонировать:
det A det A
3 5
det A
12 10 22
2 4
3 2
det A
12 10 22
5 4
T
43.
2.При перестановке двух строк илистолбцов определитель изменит свой
знак на противоположный.
3 5
12 10 22
2 4
2 4
10 12 22
3 5
44.
3. Общий множитель всех элементовстроки или столбца можно вынести за
знак определителя.
a11 ka12
a11 a12
k
a21 ka22
a21 a22
45.
12
2
1 2 2
1 2 1
36 12 24 12 3 1 2 12 2 3 1 1
1 3 4
1 3 4
1 3 2
24 2 9 2 1 12 3 24 15 360
46.
4. Определитель с двумя одинаковымистроками или столбцами равен нулю.
1 1 3
1 1 3
2 1 4
4 3 6 6 3 4 0
47.
5. Если все элементы двух строк (илистолбцов) определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.
3 7 1
3 7 1
2 3 1 2 2 3 1 2 0 0
2 3 1
4 6 2
48.
6. Если каждый элемент какого-либо рядаопределителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то такой определитель
равен сумме двух определителей, в первом
из которых соответствующий ряд состоит из
первых слагаемых, а во втором- из вторых
слагаемых.
49.
a11a21
...
an1
a11
a21
...
an1
... a1 j
... a2 j
... ...
... anj
... a1 j b1 j
... a2 j b2 j
...
...
... anj bnj
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
... a1n
a11
... a2 n
a21
... ...
...
... ann
an1
... b1 j
... b2 j
... ...
... bnj
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
50.
2 1 42 2 1 4
2 2 4
2 1 4
7 2 3 7 3 1 3 7 3 3 7 1 3
7 5 5
7 2 3 5
7 2 5
7 3 5
60
38
98
51.
7. Если к какой-либо строке (или столбцу)определителя прибавить соответствующие
элементы другой строки (или столбца) ,
умноженные на одно и то же число, то
определитель не изменится.
a11 a12
a21 a22
×
к
a11
a12
ka11 a21 ka12 a22
52.
5 110 0 10
0 2
5 1 ×2
5 1
0 10 10
+
0 2
10 0
53.
8.Треугольный
произведению
диагонали.
a11 0
a21 a22
a31 a32
определитель
равен
элементов
главной
0
a11 a12
0 0 a22
a33
0
0
a13
a23 a11 a22 a33
a33
54. Привести определитель к треугольному виду и вычислить его:
2 1 41 2 4 ×(-2)
7 2 3 2 7 3
7 5 5
5 7 5
1 2
4
0 3 5
0 3 15
×(-5)
=
1 2
4
0 3 5 60
+
0 0 20
55. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
• Минором Mij элемента aij det Dназывается такой новый определитель,
который
получается
из
данного
вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца содержащих данный элемент.
56.
a11 a12det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a21 a23
M12
a31 a33
a11 a12
det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
M 23
a31 a32
57. Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43
1 23
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4
2
4
2
2
3 4
M 31 1 5 2 36
1 3 2
1 3 4
M 22 3 1 4 28
1 3 2
1 2 4
M 43 0 1 2 16
3 2 4
58.
• Алгебраическимдополнением
Aij
элемента aij det D называется минор Mij
этого элемента, взятый со знаком 1 i j
т.е.
Aij 1
i j
M ij
59.
Aij 1i j
a11 a12
det D a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
M ij
a21 a23
M 12 1
a31 a33
A12 1
1 2
A22 1
2 2
a11 a13
M 22
a31 a33
60.
• Сумма произведений элементов любойстроки (или столбца) определителя на их
алгебраические дополнения равна этому
определителю.
61.
разложение по i-ой строке:n
det D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik , i 1,..., n
k 1
разложение по j-му столбцу:
n
det D a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj akj Akj ,
k 1
j 1,..., n
62. Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.
1 23
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4
2
4
2
63. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:
1) Разложим данныйэлементам 3-ей строки:
определитель
по
det D a31 A31 a32 A32 a33 A33 a34 A34
a31 1 M 31 a32 1 M 32
4
5
a33 1 M 33 a34 1 M 34
6
7
64.
23 4
1 3 4
4
5
3 1 1 5 2 2 1 0 5 2
1 3 2
1 3 2
1 2 4
1 2
3
6
7
1 1 0 1 2 4 1 0 1 5
1 1 2
1 1 3
3 36 2 2 4 4 11 56
65. 2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:
2) Разложим данныйэлементам 1-го столбца:
определитель
по
det D a11 A11 a21 A21 a31 A31 a41 A41
a11 1 M 11 a21 1 M 21
2
3
a31 1 M 31 a41 1 M 41
4
5
66.
1 5 22 3 4
2
3
1 1 2 1 4 0 1 2 1 4
1 3 2
1 3 2
2
3 4
2 3 4
4
5
3 1 1 5 2 1 1 1 5 2
1 3 2
2 1 4
20 0 3 36 32 56
67. Основные методы вычисления определителя.
1. разложение определителя поэлементам строки или столбца;
2. метод эффективного понижения
порядка;
3. приведение определителя к
треугольному виду.
68.
Метод эффективного понижения порядка:Вычисление определителя n-го порядка
сводится
к
вычислению
одного
определителя (n-1)-го порядка, сделав в
каком-либо ряду все элементы, кроме
одного, равными нулю.
69.
1 23
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4 ×(-3)
2
4
2
×(-1)
1 2
3
4
0 1 5
2
0 4 10 8
0 1 6 2
70.
1 23
4
1 2
0 1 5
2
0 1
2
2 2 1
0 2
5
4
0 2
0 1 6 2
0 1
1 5 1
2
4 1 1 2 5 2 4 14 56
1 6 1
3
5
5
6
2
1
2
1
71. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.
1 23
0 1 5
3 2 1
1 1 3
4 ×(-3)
2
4
2
×(-1)
1 2
3
4
0 1 5
2
0 4 10 8
0 1 6 2
72.
1 23
4
1 2
0 1 5
2
0 1
2
2 2 1
0 2
5
4
0 2
0 1 6 2
0 1
1 2
0 1
4
0 2
0 1
3
5
5
6
2
1 ×2
2
+
1
3
5
5
6
2
1
2
1
1 2 3 2
0 1 5 1
4
0 0 15 4
0 0 11 2
73.
1 20 1
4
0 0
0 0
2 3
1 5
4 15
2 11
1 2
0 1
4
0 0
0 0
1 2
0 1
4
0 0
0 0
2 3
1 5
4 14 56
2 11
0 7
2 3
1 5
2 11 ×(-2)
4 15
74. Обратная Матрица
75. Определение. Матрица называется о б р а т н о й к квадратной матрице , если
A B B A EОбратная матрица обозначается символом
1
1
A
1
A A A A E
Примечание. Операция деления для матриц не
определена. Вместо этого предусмотрена операция
обращения (нахождения обратной) матрицы.
76. Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы , называется с о ю з н о й м а т
Определение. Матрица, составленная изалгебраических дополнений для элементов
исходной матрицы , называется
союзной матрицей.
A11
A A21
A
31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
77. Формула для нахождения обратной матрицы
11
T
A
A
det A
78.
A11 A21 A311
1
A
A12 A22 A32
det A
A
A
A
13 23 33
79. Алгоритм нахождения
• 1. Находим определительматрицы А. Он должен быть
отличен от нуля.
• 2. Находим алгебраические
дополнения для каждого
элемента матрицы А.
• 3. Составляем союзную
матрицу и транспонируем ее.
• 4. Подставляем результаты
п.1 и п.4 в формулу обратной
матрицы.
A
1
80. Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:
1 2A
4
3
81.
Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму:1. Находим определитель матрицы:
1 2
det A =
3 4
= 4- 6 = - 2
Определитель отличен от нуля det A № 0 ,
следовательно, обратная матрица существует.
82.
2. Находим алгебраические дополнения:83.
A11 = 4A21 = - 2
A12 = - 3
A22 = 1
84.
3. Составляем союзную матрицу:~ 4 3
A
2 1
85.
4. Записываем обратную матрицу поформуле
1
T
1 4 2
A
A
2 3 1
det A
1
86. 5. Проверка
• Воспользуемся определением обратнойматрицы и найдем произведение
1
A A
1 4 2 1 2
2 3 1 3 4
1 4 1 2 3 4 2 2 4 1 2 0 1 0
0 2 0 1
2
2 3 1 1 3 3 2 1 4
87. Задача. Найти матрицу, обратную к данной
2 1 1A 3 2 1
1 2 1
88. 1. Находим определитель
2 1 1det A 3 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1
1 2 1
1 2 1 1 2 2 3 1 1
4 6 1 2 4 3 3 5 2 0.
89. 2. Алгебраические дополнения для первой строки:
2 1A11
2 2 4,
2 1
3 1
A12
3 1 2,
1 1
3 2
A13
6 2 8,
1 2
90. Алгебраические дополнения для второй строки:
1 1A21
1 2 1,
2 1
2 1
A22
2 1 1,
1 1
2 1
A23
4 1 3,
1 2
91. Алгебраические дополнения для третьей строки:
1 1A31
1 2 3,
2 1
2 1
A32
2 3 1,
3 1
2 1
A33
4 3 7.
3 2
92. Обратная матрица:
4 1 31
1
A 2 1 1
2
8 3 7
93. Элементарные преобразования матриц
• перестановка строк (столбцов) местами;• исключение из матрицы строк (столбцов),
состоящих из нулей;
• умножение всех элементов какой-либо строки
(столбца) матрицы на любое число, отличное от
нуля;
• прибавление к одной строке (столбцу) другой,
предварительно умноженной на любое число,
отличное от нуля.
94.
Определение. Э к в и в а л е н т н ы м и называютсяматрицы, полученные одна из другой путем элементарных
преобразований.
Важным понятием для матриц является понятие РАНГА.
Существует несколько определений этого понятия. Мы
остановимся на одном из них, основанном на элементарных
преобразованиях.
Определение. Р а н г о м м а т р и ц ы называется
число ненулевых строк в матрице, после приведения ее к
ступенчатому виду (путем элементарных преобразований).
Обозначение. Ранг матрицы будем обозначать r ( A)
или
rang ( A)
.
Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях.