ГИА - 2012. Открытый банк заданий по математике. Задача №15

1.

ГИА - 2012
Открытый банк заданий
по математике.
Задача №15
Каратанова Марина Николаевна
МОУ СОШ №256 городского округа ЗАТО
г.Фокино Приморского края

2.

Задание 15
(№ 169915)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если угол равен 450, то
вертикальный с ним угол равен 450.
2
Любые две прямые имеют ровно
одну общую точку.
3
Через любые три точки проходит ровно
одна прямая.
4
Если расстояние от точки до прямой меньше 1,
то и длина любой наклонной, проведенной
из данной точки к прямой, меньше 1.

3.

Два угла называются
вертикальными, если стороны
одного угла являются
продолжениями сторон другого.
2
1
3
4
Вертикальные углы равны.

4.

а
а
b
1
2
O
Две прямые либо имеют только
одну общую точку, либо
не имеют общих точек.
b

5.

А
1
С
а
2
А
В
В
С
Не всегда через три точки
можно провести одну прямую.

6.

А
а
Перпендикуляр, проведённый из
точки к прямой, меньше любой
наклонной, проведённой из той же
точки к этой прямой.

7.

Задание 15
(№ 169916)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если при пересечении двух прямых третьей
прямой соответственные углы равны 650,
то эти две прямые параллельны.
2
Любые две прямые имеют не менее
одной общей точки.
3
Через любую точку проходит
не более одной прямой.
4
Любые три прямые имеют не менее одной
общей точки.

8.

c
1
а
3
2
4
Если при пересечении двух
прямых секущей соответственные
углы равны, то прямые
параллельны.
b

9.

а
а
b
1
2
O
Две прямые либо имеют только
одну общую точку, либо
не имеют общих точек.
b

10.

а
1
b
2
3

11.

А
1
2
В
С
3
А
А
В
4
Не всегда три прямые имеют
не менее одной общей точки.

12.

Задание 15
(№ 169917)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если при пересечении двух прямых секущей
внутренние накрест лежащие углы составляют
в сумме 900, то эти две прямые параллельны.
2
Если угол равен 600, то смежный
с ним равен 1200.
3
Если при пересечении двух прямых секущей
внутренние односторонние углы равны
700 и 1100, то эти две прямые параллельны.
4
Через любые три точки проходит
не более одной прямой.

13.

c
1 4
а
1 3
b
2 4
Если при пересечении двух
прямых секущей сумма
накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.
2 3

14.

Два угла, у которых одна сторона
общая, а две другие являются
продолжениями одна другой,
называются смежными.
180 0 60 0 120 0
О
Сумма смежных углов равна 1800.

15.

c
1 70
0
2 110
0
1 2 180
1
а
1
b
3
2
4
2
Если при пересечении двух
прямых секущей сумма
односторонних углов равна 1800,
то прямые параллельны.
0
1 50
0
2 130
0
1 2 180
0

16.

А
1
С
а
2
А
В
В
С
Не всегда через три точки
можно провести одну прямую.

17.

Задание 15
(№ 169918)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Каждая сторона треугольника меньше
разности двух других сторон.
2
В равнобедренном треугольнике имеется
не более двух равных углов.
3
Если сторона и угол одного треугольника
соответственно равны стороне и углу другого
треугольника, то такие треугольники равны.
4
В треугольнике ABC, для которого АВ = 3,
ВС = 4, АС = 5, угол С наименьший.

18.

Каждая сторона треугольника
меньше суммы двух
других сторон.
В
С
АВ BС AC
ВС АB AC
АС АB ВC
А

19.

В
Р
М
А
С
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны.
К

20.

Равенство
Вспомним
треугольников
признаки
определяется
равенствапо
треугольников
трём элементам.
1
2
3

21.

В
4
С
3
5
А
В треугольнике против
большей стороны лежит
больший угол.

22.

Задание 15
(№ 169919)
Какие из следующих утверждений верны?
1
В треугольнике против меньшего угла
лежит большая сторона.
2
Если один угол треугольника больше 1200,
то два других его угла меньше 300.
3
Если все стороны треугольника меньше 1,
то и все его высоты меньше 1.
4
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника не превосходит 900.

23.

В
4
С
3
5
А
В треугольнике против
большего угла лежит
большая сторона.

24.

В
С
А
А В С 180
Сумма углов треугольника
равна 1800.
0

25.

А
а
Перпендикуляр, проведённый из
точки к прямой, меньше любой
наклонной, проведённой из той же
точки к этой прямой.

26.

А
А В 180 90
0
А В 90
0
С
Сумма острых углов
прямоугольного треугольника
равна 900.
В
0

27.

Задание 15
(№ 169920)
Какие из следующих утверждений не верны?
1
В треугольнике АВС, для которого угол А = 500,
угол В = 600, угол С = 700,
сторона ВС — наименьшая.
2
В треугольнике АВС, для которого АВ = 4,
ВС = 5, АС = 6, угол В — наибольший.
3
Внешний угол треугольника больше
каждого внутреннего угла.
4
Треугольник со сторонами 1, 2, 3
не существует.

28.

С
700
500
600
В
В треугольнике против
меньшего угла лежит
меньшая сторона.
А

29.

В
5
С
4
6
А
В треугольнике против
большей стороны лежит
больший угол.

30.

Внешним углом треугольника
называется угол, смежный
с каким-нибудь углом
этого треугольника.
В
1
А
2
С
3

31.

В
С
А
АВ BС AC
ВС АB AC
АС АB ВC
Каждая сторона треугольника
меньше суммы
двух других сторон.

32.

Задание 15
(№ 169921)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если расстояние между центрами двух
окружностей равно сумме их диаметров,
то эти окружности касаются.
2
Вписанные углы окружности равны.
3
Если вписанный угол равен 300, то дуга
окружности, на которую опирается этот угол,
равна 600.
4
Через любые четыре точки, не принадлежащие
одной прямой, проходит единственная
окружность.

33.

О1О2 r1 r2
r1
О1
r2
А
О2
Если расстояние между центрами
двух окружностей равно сумме
их радиусов,
то эти окружности касаются.

34.

Угол, вершина которого лежит
на окружности, а стороны
пересекают окружность,
называется вписанным углом.
О1

35.

Вписанный угол измеряется
половиной дуги,
на которую он опирается.
О1

36.

А
1
В
2
С
А
В
D
В
3
D
А
С
D
С

37.

Задание 15
(№ 169922)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же хорду окружности, равны.
2
Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7,
а расстояние между их центрами равно 3,
то эти окружности не имеют общих точек.
3
Если радиус окружности равен 3, а расстояние
от центра окружности до прямой равно 2,
то эти прямая и окружность не пересекаются.
4
Если вписанный угол равен 300, то дуга
окружности, на которую опирается этот угол,
равна 600.

38.

Вписанный угол измеряется
половиной дуги,
на которую он опирается.
О1

39.

l 3
А
r1
r2
О2
О1
В
r1 r2 r1 7 r2 5
r1 r2 2
2 l
Окружности имеют
две общие точки.

40.

Если расстояние от центра
окружности до прямой меньше
радиуса, то прямая и окружность
имеют две общие точки.
А
r1
О1
В

41.

Вписанный угол измеряется
половиной дуги,
на которую он опирается.
О1

42.

Задание 15
(№ 169924)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Сумма углов выпуклого
четырехугольника равна 1800.
2
Если один из углов параллелограмма равен 600,
то противоположный ему угол равен 1200.
3
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
4
Если в четырехугольнике две
противоположные стороны равны,
то этот четырехугольник — параллелограмм.

43.

Прямоугольник называется
Сумма если
угловон
выпуклого
выпуклым,
лежит по одну
п – угольника
сторону
от каждойравна
прямой,
проходящей
его
(п – 2)через
1800две
.
соседние вершины.

44.

В параллелограмме
противоположные стороны и
противоположные углы равны.
В
А
С
D

45.

Диагонали квадрата равны,
взаимно перпендикулярны, точкой
пересечения делятся пополам,
делят углы квадрата пополам.

46.

Если в четырёхугольнике две
стороны равны и параллельны,
то этот четырёхугольник –
параллелограмм.

47.

Задание 15
(№ 169925)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если противоположные углы
выпуклого четырехугольника равны,
то этот четырехугольник — параллелограмм.
2
Если сумма трех углов выпуклого
четырехугольника равна 2000,
то его четвертый угол равен 1600.
3
Сумма двух противоположных углов
четырехугольника не превосходит 1800.
4
Если основания трапеции равны 4 и 6,
то средняя линия этой трапеции равна 10.

48.

Вспомним признаки
параллелограмма
Четырёхугольник является параллелограммом,
если:
1
2
3

49.

Сумма углов выпуклого
четырёхугольника
равна 3600.

50.

В
А
С
D
K
B D 180
R
M
N K 180
0
Р Т 180
N
P
F
0
L
T
0

51.

Средняя линия трапеции
параллельна основаниям и
равна их полусумме.
В
М
А
С
Р
D
1
МР AD BC
2

52.

Задание 15
(№ 169927)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Около любого ромба можно описать
окружность.
2
В любой треугольник можно вписать
окружность.
3
Центром окружности, описанной около
треугольника, является точка
пересечения биссектрис.
4
Центром окружности, вписанной в треугольник,
является точка пересечения серединных
перпендикуляров треугольника.

53.

Около любого правильного
многоугольника можно описать
окружность, и притом только
одну.
Правильным многоугольником
Называется выпуклый
многоугольник, у которого
все углы и все стороны равны.
В
А
O
D
С

54.

В любой треугольник можно
вписать окружность.

55.

В
А
А
Центром описанной около
треугольника окружности является
точка пересечения серединных
перпендикуляров треугольника.

56.

В
К
С
М
О
Р
А
Центром вписанной в треугольник
окружности является точка
пересечения биссектрис
треугольника.

57.

Задание 15
(№ 169929)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Около любого правильного многоугольника
можно описать не более одной окружности.
2
Центр окружности, описанной около
треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5,
находится на стороне этого треугольника.
3
Центром окружности, описанной около квадрата,
является точка пересечения его диагоналей.
4
Около любого ромба можно описать
окружность.

58.

Правильным многоугольником
наз. выпуклый многоугольник,
у которого все углы равны и все
стороны равны.

59.

а 3; b 4; c 5
2
2
2
с а b 2аb cos С
0
cos С 0
С 90
А
С
В

60.

Если сумма противоположных
углов четырёхугольника
равна 1800,то около него можно
описать окружность.
Диагонали квадрата равны и
точкой пересечения делятся пополам
В
С
О
А
D

61.

Около любого правильного
многоугольника можно описать
окружность, и притом только
одну.
Правильным многоугольником
Называется выпуклый
многоугольник, у которого
все углы и все стороны равны.
В
А
O
D
С

62.

Задание 15
(№ 169930)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Окружность имеет бесконечно много
центров симметрии.
2
Центром симметрии равнобедренной трапеции
является точка пересечения ее диагоналей.
3
Правильный пятиугольник имеет пять
осей симметрии.
4
Квадрат не имеет центра симметрии.

63.

Плоская фигура обладает
центральной симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно центра.
С
В
А

64.

Плоская фигура обладает
центральной симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно центра.
В
А
С
D

65.

Плоская фигура обладает
осевой симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно оси,
лежащей в плоскости фигуры .

66.

Плоская фигура обладает
центральной симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно центра.
В
С
А
D

67.

Задание 15
(№ 169931)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Правильный шестиугольник имеет
двенадцать осей симметрии.
2
Окружность имеет одну ось симметрии.
3
Равнобедренный треугольник имеет
три оси симметрии.
4
Центром симметрии ромба является точка
пересечения его диагоналей.

68.

Плоская фигура обладает
осевой симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно оси,
лежащей в плоскости фигуры .

69.

Плоская фигура обладает
осевой симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно оси,
лежащей в плоскости фигуры .
С
В
А

70.

Плоская фигура обладает
осевой симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно оси,
лежащей в плоскости фигуры .
А
В
С

71.

Плоская фигура обладает
центральной симметрией, если
она симметрична сама себе
относительно центра.
В
А
С
D

72.

Задание 15
(№ 169933)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если катет и гипотенуза прямоугольного
треугольника равны соответственно 6 и 10,
то второй катет этого треугольника равен 8.
2
Любые два равнобедренных треугольника
подобны.
3
Любые два прямоугольных треугольника
подобны.
4
Треугольник ABC, у которого АВ=3, ВС=4, АС=5,
является тупоугольным.

73.

В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.
А
c a b
Катет
2
С
2
a с b
2
b
2
c
a
Катет
В
2

74.

Вспомним признаки
подобия треугольников
1
2
3

75.

Вспомним признаки
подобия треугольников
1
2
3

76.

Теорема косинусов
А
c a b 2ab cos C
2
2
2
a c b 2cb cos A
2
2
2
b a c 2ac cos B
2
b
c
В
a
cos 0
cos 0
cos 0
2
С
- угол острый
- угол прямой
- угол тупой
2

77.

Задание 15
(№ 169935)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произвед-ия этих сторон на sin угла между ними.
2
Если катеты прямоугольного треугольника
равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
3
Треугольник ABC, у которого АВ=5, ВС=6, АС=7,
является остроугольным.
4
В прямоугольном треугольнике
квадрат катета равен разности квадратов
гипотенузы и другого катета.

78.

Теорема косинусов
А
c a b 2ab cos C
2
2
2
a c b 2cb cos A
2
2
2
b a c 2ac cos B
2
b
c
В
a
2
2
С
Теорема синусов
a
b
c
sin A sin B sin C

79.

В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.
c a b
Катет
2
С
2
с a b
2
b
2
c
a
Катет
В
2

80.

Теорема косинусов
А
c a b 2ab cos C
2
2
2
a c b 2cb cos A
2
2
2
b a c 2ac cos B
2
b
c
В
a
cos 0
cos 0
cos 0
2
С
- угол острый
- угол прямой
- угол тупой
2

81.

В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.
А
c a b
Катет
2
С
2
2
a c b
2
b
c
a
Катет
В
2
2

82.

Задание 15
(№ 169936)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если площади фигур равны,
то равны и сами фигуры.
2
Площадь трапеции равна произведению
суммы оснований на высоту.
3
Если две стороны треугольника равны 4 и 5,
а угол между ними равен 300,
то площадь этого треугольника равна 10.
4
Если две соседние стороны параллелограмма
равны 4 и 5, а угол между ними равен 300,
то площадь этого параллелограмма равна 10.

83.

S1 S2

84.

Площадь трапеции равна
произведению полусуммы
её оснований на высоту.
В
А
Н
С
D
1
S AD BC BH
2

85.

Площадь треугольника равна
половине произведения двух
Сторон на синус угла между ними.
В
С
А
1
S АB AC sin A
2

86.

Площадь параллелограмма равна
произведению двух
соседних сторон на синус угла
между ними.
В
А
С
D
S АB AC sin A

87.

Задание 15
(№ 169938)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Площадь многоугольника, описанного около
окружности, равна произведению его
периметра на радиус вписанной окружности.
2
Если диагонали ромба равны 3 и 4,
то его площадь равна 6.
3
Площадь трапеции меньше произведения
суммы оснований на высоту.
4
Площадь прямоугольного треугольника
меньше произведения его катетов.

88.

О
r
1
S P r
2
Площадь многоугольника описанного
около окружности, равна половине
произведения периметра
многоугольника на радиус окружности.

89.

Площадь ромба равна половине
произведения его диагоналей.
В
А
О
D
1
S АС BD
2
С

90.

Площадь трапеции равна
произведению полусуммы
её оснований на высоту.
В
А
Н
С
D
1
S AD BC BH
2

91.

Площадь прямоугольного
треугольника равна половине
произведения его катетов.
А
1
S АС BС
2
С
В

92.

Задание 15
(№ 169939)
Какие из следующих утверждений верны?
1
В треугольнике ABC, для которого АВ=4, ВС=5,
АС=6, угол A наибольший.
2
Каждая сторона треугольника не превосходит
суммы двух других сторон.
3
Если два треугольника подобны, то
их сходственные стороны пропорциональны.
4
Площадь многоугольника, описанного около
окружности, равна произведению его периметра
на радиус вписанной окружности.

93.

В
5
С
4
6
А
В треугольнике против
большей стороны лежит
больший угол.

94.

В
С
А
АВ BС AC
ВС АB AC
АС АB ВC
Каждая сторона треугольника
меньше суммы
двух других сторон.

95.

Вспомним признаки
подобия треугольников
1
2
3

96.

О
r
1
S P r
2
Площадь многоугольника описанного
около окружности, равна половине
произведения периметра
многоугольника на радиус окружности.

97.

Задание 15
(№ 169941)
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если две стороны и угол между ними одного Δ
соответственно равны двум сторонам и углу
между ними другого Δ, то такие тр-ки подобны.
2
В равнобедренном треугольнике имеется
не менее двух равных углов.
3
Площадь трапеции не превосходит
произведения средней линии на высоту.
4
Если расстояние от точки до прямой меньше 1,
то и длина любой наклонной, проведенной из
данной точки к прямой, меньше 1.

98.

Вспомним признаки
подобия треугольников
1
2
3

99.

Р
М
А
С
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны.
К

100.

Площадь трапеции равна
произведению полусуммы
её оснований на высоту.
В
А
Н
С
D
1
S AD BC BH
2

101.

А
а
Перпендикуляр, проведённый из
точки к прямой, меньше любой
наклонной, проведённой из той же
точки к этой прямой.

102.

При создании презентации были использованы
задачи с сайта
«Открытый банк заданий по математике»
ГИА – 2012.
http://www.mathgia.ru:8080/or/gia12/Main.html?view=Pos