Матрицы и определители. Лекция № 1

1.

Лекция № 1
Матрицы и
определители

2. Определение матрицы. Виды матриц

Матрицей
размера m×n называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая
m строк и n столбцов. Обозначается матрица:
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 am 2
a1n
a11 a12
a2 n
a21 a22
, или А
amn
am1 am 2
a1n
a2 n
amn
Числа, образующие матрицу, называются элементами
матрицы.

3.

A (aik ) m, n
Каждый элемент матрицы имеет два индекса:
m – номер строки и n – номер столбца.
Например, в матрице размера 3 4
5 7 4 3
A 2
0 8 1
3 4 9 6
a11 5
a23 8 a34 6
Другой способ записи (обозначения) матрицы
A aij
или А aij m n
где i – номер строки i = 1, 2, 3..., m;
j – номер столбца j = 1, 2, 3..., n;
m – количество строк;
n – количество столбцов.

4.

Впервые матрицы упоминались ещё в
древнем Китае, называясь тогда
«волшебным квадратом» или «магическим
квадратом». Согласно легенде, во времена
правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.)
из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла
священная черепаха, на панцире которой
были начертаны таинственные иероглифы и
эти знаки известны под названием Ло Шу.
Символ, изображенный на черепахе,
использовался при заклинаниях. Что же в
нем магического? Девять порядковых чисел
размещены в девяти клетках квадрата так,
что суммы чисел вдоль каждой строки,
каждого столбца и каждой из двух
диагоналей одинаковы - это основное
свойство волшебного квадрата.

5.

Более поздние сведения о волшебных квадратах, относящиеся к I веку,
получены из Индии. Вот один из таких древне индусских памятников
почти 2000-летней давности.
Здесь 16 порядковых чисел расположенных в 16 клетках так, что
выполняется основное свойство волшебного квадрата - сумма равна 34.

6.

В начале XVII в. в Европе появились первые сочинения, в которых
магические квадраты предстали в качестве объектов математического
исследования. Так было положено начало их новой жизни.
Современный термин «матрица» ввел английский математик Джеймс
Сильвестр в 1850 году.
Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704-1752) внес огромный
вклад в развитие линейной алгебры. Самая известная из его работ —
это трактат «Введение в анализ алгебраических кривых»,
опубликованный в 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему
линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного
позже его именем: метод Крамера.
Большой вклад в развитие линейной алгебры внес немецкий математик,
механик, физик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855).
Метод Гаусса - это метод решения системы линейных уравнений.

7. 2. Виды матриц

8.

9.

10.

11.

12.

13.

1
0
Е
0
0
1
0
0
0
1

14.

15.

Если количество строк в прямоугольной
матрице равно 1, то эта матрица
называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ.
С= (1 -2 4 6 -2)

16.

17.

Квадратная матрица называется
ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ, если все
элементы,
расположенные
НИЖЕ
главной диагонали, равны 0

18.

Квадратная матрица называется
НИЖНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ, если все
элементы,
расположенные
ВЫШЕ
главной диагонали, равны 0

19.

Равенство матриц
Две
матрицы
называются
РАВНЫМИ,
если
они
имеют
одинаковое число строк и столбцов и их
соответствующие элементы равны.

20. Использование матриц 1. Матрицы в экономике. Для анализа многомерных статистических данных

21.

2. Матрицы в биологии

22.

3. Матрицы в физике

23.

4. Матрицы в информатике

24.

25.

5. Компьютерная графика и видеоигры
Матрицы используются для создания реалистического
изображения и обеспечения быстрой обработки графики.
Кроме того, матрицы используются для описания
положения и движения игрока и других объектов на экране.
6. Системы управления и робототехника
Матрицы используются для расчета движения роботов или
прогнозирования поведения системы.
7. Криптография и безопасность
Матрицы используются для шифрования и дешифрования
информации, например, матричное умножение может
использоваться для шифрования данных.
8. В медицине
Матрицы используются для обработки результатов
томографических изображений.

26.

Матричная алгебра применима к решению
большого круга важных задач, т.к. упрощает
процедуру вычисления и облегчает
понимание процесса. Если в математике и
физике они используются в качестве
компактной записи, то в биологии в решении
реальных задач генетики, популяции и
систематики. В экономике матрицы
позволяют с минимальными затратами труда
и времени обрабатывать огромный и весьма
разнообразный статистический материал, а
также вести расчеты с ними.