Матрицы и определители

1. ТЕМА 1. Матрицы и определители

2.

Матрицей А размера m n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк (i) и n столбцов (j).
Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы (aij).

3.

m n
А
Am n
a11
a21
(aij )
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

4.

Матрицы обозначаются прописными
буквами латинского алфавита: А, В,
С, D и т.д. ;
Матрицы обозначаются скобками: ( ) или
[ ];
Am n
a
ij
матрица размерности m x n ;
элемент матрицы i –ой строки
и j -го столбца, где i = 1, 2,…, m и
j = 1, 2,…, n

5.

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.

6.

В случае квадратной матрицы
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
21
22
2n
A
.
.
.
.
an1 an 2 ... ann
побочная диагональ
главная диагональ
элементы a11, a22, …, ann образуют главную
диагональ – диагональ идущая с левого
верхнего угла в правый нижний,
элементы an1, …, a22, …, a1n – побочную
диагональ матрицы – диагональ идущая с
верхнего правого угла в левый нижний.

7.

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

8.

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой.
A (a11 a12 ... a1n )

9.

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом.
b11
b21
B
b
n1

10.

а1 1 а1 2 а1 3
0 2 - квадратная матрица
1
а2 1 а2 2 а2 3 размера m n = 3 3, где
A 2 4
5
а3 1
а3 2
а3 3
а11= 1, а22= 4, а33= 1 0 3 1 элементы
главной
диагонали, а = 0, а = 4,
31
22
а13=-2
элементы
побочной диагонали
1
В 0 матрица столбец
2
С 1 2 5 4 0 матрица строка

11.

1
0
E
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1

12.

С помощью матриц удобно описывать
различного рода зависимости.
Распределение
экономики:
ресурсов
по
отраслям
Ресурсы
Промышленность
с/х
Эл. энергия
8
7.2
Труд. ресурсы
5
3
Водные ресурсы
4.5
5.5

13.

Эту зависимость можно представить в
виде матрицы:
8 7 .2
A 5
3
3 2
4 . 5 5 .5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.

14.

Чтобы умножить матрицу
на произвольное число (λ),
надо каждый элемент этой матрицы (aij )
умножить на это число.
Полученные произведения образуют итоговую матрицу.
3 4 21 28
7
70
1 10 7

15.

Пусть дана матрица:
Умножаем ее на число λ:
Am n (aij )
A (aij )
Где каждый элемент матрицы:
Где: i 1,2...m
аij aij
j 1,2...n
2 3 0
Умножая матрицу A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8

16.

Складываются (вычитаются) матрицы
только одинаковой размерности.
Получается матрица C A B
той же размерности, каждый элемент
которой равен сумме (разности)
соответствующих элементов
исходных матриц:
A (aij ) и B (bij )
Где каждый элемент матрицы С:
cij aij bij

17.

Найти: 1) сумму и 2) разность матриц:
2 3 0
0 2 3
и B
A
1 0 4
1 5 2
2 1 3
2 5 3
; 2) A B
1) A B
2 5 6
0 5 2

18.

Найти: 1) сумму и 2) разность матриц:
2 5 6
3 2 4
5
7 .
A 1 4 1 , и B 0
1 0 3
5 1 2
7 10
3 2
1
5
6 , 2) A B 1 1 8
1) A B 1 9
5
1
1
6 1
4

19. 3) Умножение матриц

Умножение матриц возможно, если
число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной
матрицы равен сумме произведений
элементов i – ой строки первой
матрицы
на
соответствующие
элементы j-го столбца второй.

20.

Результатом умножения двух матриц
A иB
m k
k n
где элемент матрицы aij , а элемент матрицы bij
является матрица C размера m n, т.е. :
C A B
m n
m k k n
где каждый элемент матрицы С, т.е. сij равен:
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... aik bkj
i 1,2...m
j 1,2...n

21.

Даны две матрицы:
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A 21
.
.
.
.
a
a
...
a
mn
m1 m 2
b11 b12 ... b1k
b
b
...
b
2k
и B 21 22
.
.
.
.
bn1 bn 2 ... bnk
размера
m n
и
n k соответственно.
Произведением матрицы Аm n на матрицу
Вn k называется матрица Сm k с элементами сij
равными сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы В,
т.е.
сij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj, где i = 1, 2, ..., m; j = 1,
2, ..., k

22.

Умножаем по принципу: строка на столбец:

23.

Найти
1 0
произведение
2 3 0
и B 1 4
A
матриц:
1 0 4
0 2
Число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8

24.

Эти две матрицы так же можно перемножить и в
обратном порядке, так как число столбцов
первой матрицы равно числу строк второй (это
исключение, см. свойство 3):
1 2 0 1 1 3 0 0 1 0 0 4
B A 1 2 4 1 1 3 4 0 1 0 4 4
3 2 2 3
0 2 2 1 0 3 4 0 0 0 2 4
2 3 0
6 3 16
2 0 8

25.

m = n, значит, умножать
можно
, значит, умножать
нельзя

26.

Найти произведение матриц
2 4 1
1 1
и B
A
.
1 0
0 3 1
1 2 ( 1) 0 1 4 ( 1) 3 1 1 ( 1) ( 1)
A B
1 4 0 3
1 1 0 ( 1)
1 2 0 0
2 1 2
.
2 4 1

27.

Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11
a21
A
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
n m
... ...
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

28.

1 2 3
Транспонировать матрицу: A 4 5 6
7 8 9
1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9

29.

Матрица Ak A A ... A называется k степенью
k раз
квадратной матрицы А
5
2
2
A
A
A
...
A A A A
5 раз
3
1 0 1 0 1 0 1 0
2 3 2 3 2 3 2 3
1 0 1 0 1 0
.
4 9 2 3 14 27

30.

1
А· λ = λ· А
λ(А+В)= λА+λВ
2
А ± В=В ± А
(А ± В) ± С=А ±(В ± С)

31.

3
А(В+С)=АВ+АС
А(ВС)=(АВ)С
Умножение матриц
некоммутативно:
в
общем
A B B A
случае

32.

(АТ)Т=А
4
(А+В)Т=АТ+ВТ
(λА)Т= λАТ
(АВ)Т=ВТАТ

33.

Понятие определителя (детерминанта)
матрицы вводится только для квадратных
матриц.
Определителем
или
детерминантом
(от лат. determinare - определять) квадратной
матрицы А называется некоторое число,
которое можно поставить ей в соответствие
следуя определённым правилам.

34.

, det(A),
.
Определители записываются в прямых
скобках .
1) Определителем первого порядка
называется число, соответствующее квадратной
матрице содержащей один элемент, т.е. А = (а11),
которое равно самому элементу = а11.
Вычислить определитель для матрицы: А = (5)
= 5.

35.

2) Определителем второго порядка
называется число, соответствующее A a11 a12
a
21
a22
квадратной матрице и вычисленное по
следующему правилу: произведение элементов,
стоящих по главной диагонали минус
произведение
элементов,
стоящих
по
побочной диагонали, т.е. = a11a22 - a12a21 –
правило диагоналей:
A
a11
a12
a21 a22
A
2 5
3
7
2 7 ( 5) 3 14 ( 15) 29.

36.

3)
Определителем
третьего
порядка
называется
число,
соответствующее
квадратной матрице размера 3 3 и вычисленное
по правилу Саррюса (франц. математик Пьер Фредерик
Саррюс) (правило параллельных полосок):
–
–
–
произведения
со знаком минус «–»
+ +
+произведения
со знаком плюс «+»

37.

со знаком минус «–» со знаком плюс «+»

38.

Можно свернуть форму вычисления по правилу
Саррюса и получить правило треугольников
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
" "
" "
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a a a
31 32 33
произведения
со знаком плюс «+»
+
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 =
a a
a
31 32 33
произведения
со знаком минус «–»
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
5 1 2
3 2
1 3
4 5 2( 1) 1 4 1 3 3( 2) 1 2( 2) 3 1( 1)
1
3 4 5 10 4 18 4 3 60 77.

39.

Приведение определителя к треугольному виду:
Определение. Определитель, у которого все элементы,
находящиеся над (под) главной (боковой) диагональю,
равны
нулю,
называются
определителем
треугольного вида.
Утверждение 1. Приведение любого определителя к
треугольному виду всегда возможно.
Теорема Гаусса. Определитель треугольного вида равен:
по главной диагонали - произведению элементов его
главной диагонали.
по боковой диагонали - произведению элементов его
боковой диагонали со знаком "-"
1 2 2
1
3 0
I II
3 4 1 I * ( 3 ) Ш
1
0
0
2
5
2
2 II * ( 2 ) Ш
10 5
1 2
2
0
5
2 1 5 ( 1 ) 5
0
0 1

40.

4) Определителем n-го порядка называется
число, соответствующее квадратной матрице
размера n n и вычисленное по теореме Лапласа
Определитель квадратной матрицы n-го порядка
равен сумме попарных произведений элементов любой
строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Разложение по элементам i-й строки:
n
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain ais Ais
s 1
Разложение по элементам j-го столбца:
n
a1 j A1 j a 2 j A2 j ... a nj Anj a sj Asj
s 1

41.

a11 a1 j ......a1n
ai1 a ij ......ain
A
......................
a a .... a
nn
n1 nj
В квадратной матрице n-го порядка рассмотрим
элемент aij.
Вычеркнем i-ю строку и j-ый столбец, на пересечении
которых стоит элемент
матрица (n-1)-го порядка.
aij.
В результате получается

42.

к элементу aij матрицы n-го
порядка называется определитель матрицы
(n-1)-го порядка, полученной из исходной
матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го
столбца.
Aij 1 M ij к элементу aij матрицы n-го
i j
порядка называется его минор, взятый со
знаком «+», если сумма i + j четная, и со
знаком «-», если сумма нечетная.

43.

2
8
M12 1 2
2 2 8 ( 1 ) 12
M 31
5 1 3
1) A 2 4 8
1 0 2
1 3
4 8
1 8 4 3 4
5 1 3
2) A 2 4 8
1 0 2
где элемент aij : 1) a12 = 1; 2) a31 = -1
Aij 1
i j
A22 1
A32 1
2 2
3 2
M 22
M 32
5 3
1 2
5 3
2
8
M ij
10 3 7
( 40 6) 46

44.

1 1 1
2
1
1 Вычислить определитель разложением
1
1
2
по элементам 1-ой строки (т.е. а1 j)
a11 A11 a12 A12 a13 A13 1 1 1 3 1 1 5
1 1 1
A11 1
A12 1 1 2
A13 1
1 3
1
1 2
2 1
1 2
2 1
1 1
1
1 1 1
3
2
1
1
1
1
2
1
вычёркиваем по очереди
1-ая строка
вычёркиваем
для всех Аij